МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 33

21

приводит к выравниванию этого распределения. В изотропной среде, свойства которой одинаковы во всех направлениях, диффузионный перенос физической субстанции, вызванный неравномерным пространственным распределением скалярной величины C, происходит в направлении убывания объемной плотности, т. е. в направлении, противоположном направлению градиента rxC скалярного поля, задаваемого в пространстве в текущий момент времени t функцией C(x,t).

При построении математических моделей (ММ) широко используют эмпирический закон диффузионного переноса

где j(C) — вектор плотности потока физической субстанции при диффузионном переносе; K(C) — эмпирический коэффициент диффузионного переноса этой субстанции. Функцию C(x,t) обычно предполагают непрерывно дифференцируемой необходимое число раз по всем ее аргументам. Она выполняет роль потенциальной функции по отношению к векторному полю плотности потока этой субстанции при ее диффузионном переносе.

Например, функция C(x,t) может задавать распределение в среде объемной плотности некоторого вещества (примеси в жидкости или газе, ионов в плазме, легирующего элемента

всплаве). В этом случае C, K(C) и j(C) называют соответственно объемной концен-

трацией вещества, измеряемой в кг/м3, коэффициентом концентрационной диффузии,

измеряемым в м2/c, и вектором плотности потока данного вещества в этой среде, модуль которого измеряют в кг/(м2·с), а (31) выражает закон Фика, описывающий явление концентрационной диффузии. При неоднородном пространственном распределении температуры T (x,t) и давления p(x,t) возникают явления термодиффузии и бародиффузии,

всвязи с этим (31) следует заменить уравнением

где K(T ) и K(p) — коэффициенты термодиффузии и бародиффузии, измеряемые в м2/c.

Интенсивность диффузионного переноса физической субстанции не всегда связывают с градиентом скалярного поля объемной плотности этой субстанции. Так, в ММ процесса теплопроводности — процесса диффузионного переноса в среде теплоты как одной из форм энергии — в качестве потенциальной функции вместо ε используют функцию T = T (x,t) распределения в пространстве в текущий момент времени t абсолютной температуры, характеризующей при определенных условиях объемную плотность тепловой энергии среды. Это приводит к эмпирическому закону теплопроводности (закону Био — Фурье)

где q — вектор плотности теплового потока, модуль которого измеряют в Вт/м2;

λ(T ) — теплопроводность среды, Вт/(м·К).

Линейную связь вектора плотности потока физической субстанции с градиентом некоторой потенциальной функции используют и в тех случаях, когда перенос этой субстанции происходит путем движения микрочастиц под действием внешнего поля. Так, электрическое поле, сила действия которого на электрические заряды не зависит от их скорости, вызывает в электропроводящей среде электрический ток, вектор плотности которого равен

где σ(e) — электрическая проводимость среды; Ue = Ue(x,t) — электрический потен-

циал этого поля, В. Если ввести вектор E = −rxUe напряженности электрического поля, то из (23) получим уравнение

обобщающее закон Ома на случай сплошной среды (модули векторов j(e) и E измеряют в А/м2 и В/м соответственно).

22

При неравномерном распределении давления, заданном функцией p = p(x,t) и измеряемом в Па = Н/м2 = кг/(м · с2), через пористую среду может просачиваться жидкость или газ. Тогда вектор скорости частиц жидкости или газа подчиняется закону Дарси

где κp — коэффициент фильтрации, м2/(c·Па).

Потенциальная функция в (31) может зависеть от пространственных распределений нескольких физических величин. Например, в случае многокомпонентной смеси химически реагирующих веществ диффузионный перенос физических субстанций связан с выравниванием неравномерного пространственного распределения так называемого химического потенциала, который зависит от концентраций этих веществ, температуры и давления. В этом случае вектор плотности потока конкретной субстанции можно представить линейной комбинацией векторов, коллинеарных градиентам концентрации, температуры и давления соответственно. Тогда говорят о концентрационной диффузии, термо- и бародиффузии субстанции.

Не затрагивая особенностей различных процессов диффузионного переноса, ограничимся лишь констатацией того, что в большинстве случаев при построении математических моделей вектор j(C) плотности потока конкретной физической субстанции можно считать линейно зависящим от градиента некоторой потенциальной функции Φ(x,t), которая не всегда совпадает с объемной плотностью C этой субстанции. Эту зависимость можно записать

где K(Φ) — коэффициент пропорциональности. Если среда анизотропна, т. е. ее свойства различны в разных направлениях, то в (37) K(Φ) будет тензором второго ранга коэффициентов переноса конкретной субстанции.

Представленные соотношения характерны для диффузионного переноса субстанций, объемная плотность которых является скалярной величиной. Объемные плотности количества движения и момента количества движения являются векторными величинами, что усложняет выражения для плотностей потоков этих субстанций при диффузионном переносе.

4. Закон сохранения массы среды

Пусть в начальной конфигурации рассматриваемое тело занимает объем V0 и ограничено поверхностью S0. Тогда при переходе к актуальной конфигурации оно будет занимать объем V , ограниченный поверхностью S. Примем, что в начальной конфигурации объем dV0 является прямоугольным параллелепипедом с ребрами da1, da2, da3, параллельными осям системы Oa1a2a3 материальных координат, т. е. dV0 = da1da2da3.

При переходе к актуальной конфигурации элементарный объем сплошной среды не разрушается и в общем случае может быть представлен косоугольным параллелепипедом, проекции ребер которого на оси системы пространственных координат Ox1x2x3 будут dx(1)i , dx(2)i и dx(3)i , i = 1, 2, 3 (ребро da1 элементарного параллелепипеда в начальной конфигурации соответствует ребру dx(1) с проекциями dx(1)i в актуальной конфигурации и т. п.). Тогда с учетом (4) и (6) получим

dV = dx(1) × dx(2) · dx(3) = eijk dx(1)i dx(2)j dx(3)k =

где eijk (j, k = 1, 2, 3) — символ Леви-Чивиты; J — якобиан, опре-

деленный в (6) и характеризующий изменение элементарного объема сплошной среды при переходе от начальной конфигурации к актуальной. При таком переходе плотность среды в рассматриваемом элементарном объеме непрерывно изменяется во времени t от ρ0(a1,a2,a3) = = dm/dV0 до ρ(x1,x2,x3,t) = dm/dV , где при отсутствии обмена массой между телом и окружающей средой масса тела

Отсюда следует, что dm = ρ0dV0 = ρdV . Тогда с учетом (38) получим

уравнение неразрывности

в материальных координатах, выражающее в этих координатах закон сохранения массы.

Учитывая (5) и правила дифференцирования определителя, производную якобиана (6) по времени t можно записать в виде

где vm (m = 1, 2, 3) — проекции вектора v скорости частиц среды на оси Oxm системы пространственных координат, а нижний индекс x у дифференциального оператора Гамильтона rx означает диффе-

ренцирование по пространственным координатам. Таким образом, дивергенция rx · v вектора скорости, вычисленная в пространственных координатах, является локальной скоростью относительного изменения элементарного объема среды.

В силу независимости ρ0 от времени из (40) с учетом (41) следует

24

в системе пространственных координат, выражающее в этой системе закон сохранения массы среды. Учитывая выражение для полной производной dρdt = ∂ρ∂t + v ·rxρ, это уравнение можно записать в дивер-

гентной форме:

=∂(ρvi) — изменение плотности за счет конвективного переноса.

∂xi

Пример 4.1

Получить уравнение неразрывности для несжимаемой среды.

В случае несжимаемой сплошной среды ее плотность неизменна, но неоднородная несжимаемая среда в различных точках пространства и в различные моменты времени может иметь разную плотность, поэтому (41) и (42) остаются в силе. Если же несжимаемая среда однородная (ρ = ρ0 = const), то из (42) или (43) следует

]

Уравнение неразрывности в виде (41) или (42) применимо и к смеси n разнородных веществ, заполняющих некоторый объем V . Для каждого ς-го вещества, ς = 1, n, можно ввести плотность ρ(ς), характеризующую его объемную концентрацию в смеси, а при помощи векторной функции v(ς)(x,t) можно задать векторное поле его скорости. Тогда для плотности смеси получим

ς=1

а из условия, что вектор ρv плотности потока смеси при конвективном переносе равен сумме векторов ρ(ς)v(ς) плотностей потоков отдельных веществ, найдем вектор средней скорости смеси

Пусть в смеси не происходит превращения веществ. Тогда для каждого ς-го вещества справедлив закон сохранения массы в виде (42) или (43)

Ясно, что, суммируя по ς вторые равенства (36) и учитывая (45) и (46), получим уравнение неразрывности смеси в виде (43).

Если же в смеси происходит превращение веществ за счет химических реакций или

(ς)

ионизации, то для каждого ς-го вещества такие процессы характеризует скорость m˙ V изменения массы этого вещества в единицу времени в единице объема, причем из условия сохранения массы смеси следует, что

25

В этом случае вместо второго уравнения (47) получим выражение, соответствующее закону сохранения массы ς-го вещества:

Суммируя (49) по ς с учетом (45), (46) и (48), снова получим (43).

Величина ρ(ς)v является вектором плотности потока ς-го вещества при конвективном переносе, определяемом движением смеси в целом, а величину j(ς) = ρ(ς)(v(ς) − v) можно рассматривать как вектор плотности потока этого вещества при диффузионном переносе, вызванном отличием скорости ς-го вещества от средней скорости смеси. Тогда (49) можно

Принимая во внимание (45) и (46), нетрудно установить, что сумма по ς всех векторов j(ς) равна нулевому вектору 0.

Скорости отдельных веществ в смеси обычно не известны. Но для описания концентрационной диффузии ς-го вещества в смеси можно применить закон Фика в виде (31), а в общем случае при наличии явлений термодиффузии и бародиффузии использовать (32). Тогда, обозначив объемную концентрацию ς-го вещества через Cς , т. е. Cς = ρ(ς), с учетом

(32) вместо (50) можно записать уравнение переноса этого вещества:

ционной диффузии, термодиффузии и бародиффузии ς-го вещества соответственно. Если средняя скорость смеси равна нулю, т. е. v = 0, а явления термодиффузии и бародиффузии не существенны и Dς(C) = const, то из (51) следует, что

Для нахождения объемной концентрации Cς (x,t) в объеме V , ограниченном неподвижной поверхностью S, необходимо математическую модель, включающую (52), дополнить краевыми условиями. В эти условия должны войти функция Cς◦(x) = Cς (x,t0), задающая в объеме V распределение Cς в момент времени t0, принимаемый за начальный, т. е.

начальные условия, и граничные условия на S.

(ς)

Если m˙ V не зависит от Cς или же зависит линейно, то (52) является линейным уравнением параболического типа. При установившемся процессе переноса и независимости

(ς)

m˙ V от Cς из (52) следует уравнение Пуассона, которое переходит в уравнение Лапласа,

(ς)

если m˙ V ≡ 0. Подчеркнем, что все эти варианты уравнений вытекают из локальной формы закона сохранения массы некоторого вещества в смеси.

5.Внешние силы и тензоры напряжений

Вмеханике сплошной среды различают два типа внешних сил, действующих на тело: распределенные в его объеме и по ограничивающей его поверхности.

26

где F — вектор силы, распределенной в объеме V среды в окрестности точки M в актуальной конфигурации (предполагается, что предел в (53) существует, когда окрестность диаметром d стягивается к точке M). Часто используют также вектор f(M) = b(M)/ρ(M) (ρ(M) — плотность среды в окрестности точки M), характеризующий плотность массовых сил. Модули этих векторов измеряют в Н/м3 и Н/кг соответственно.

Если на элементарную площадку S поверхности S, ограничивающей тело объемом V в актуальной конфигурации, действует сила P с проекциями Pi (i = 1, 2, 3) на оси системы пространственных координат, то плотность поверхностных сил характеризуется вектором

P

S

(54)

при условии, что этот предел существует при стягивании окрестности S диаметром d0 к точке N. Модуль этого вектора измеряют в Па = Н/м2. Поверхностные силы вызывают на поверхности тела напряжения σ(n) = p (верхний индекс (n) в обозначении вектора напряжения означает, что положение в пространстве площадки dS задано единичным вектором n внешней нормали к этой площадке).

При приведении сил, действующих на элемент V объема или S поверхности, к некоторой точке такого элемента, в общем случае может возникнуть момент M. Примем, что

т. е. отсутствуют моменты, распределенные в объеме и по по-

верхности тела. Сосредоточенные внешние силы, приложенные в отдельных точках тела, можно рассматривать как предельный случай объемных или поверхностных сил, действующих в окрестности этих точек.

Напряжения возникают не только на площадках в окрестности точек, принадлежащих поверхности тела. Если тело объемом V , находящееся в равновесии под действием заданной системы внешних сил, рассечь на две части произвольно ориентированной плоскостью, проходящей через фиксированную точку M V тела и затем одну часть отбросить, то для сохранения равновесия оставшейся части в общем

27

случае необходимо к секущей плоскости приложить систему поверхностных сил. Эти силы заменят действие отброшенной части тела на оставшуюся и вызовут в окрестности точек этой плоскости соответствующие напряжения. Ясно, что вектор σ(n)(M) напряжения в окрестности точки M будет зависеть от того, каким образом через эту точку проведена секущая плоскость, т. е. от направления единичного вектора n внешней нормали к этой плоскости. Для точки M V совокупность пар векторов σ(n)(M) и n определяет напряженное состояние в окрестности этой точки.

Чтобы полностью описать напряженное состояние в окрестности рассматриваемой точки, нет необходимости принимать во внимание все возможные пары векторов σ(n) и n. Можно доказать, что для этого достаточно задать векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, содержащих рассматриваемую точку.

Пусть σ — вектор напряжения, действующий на площадке с единичной внешней нормалью n1. Тогда σ(n1) = σ1(n1) n1 + σ2(n1) n2 +

+ σ3(n1) n3, где σj(n1), j = 1,2,3, — проекции вектора σ(n1) на направления трех взаимно перпендикулярных единичных нормалей nj, задаю-

щих ориентацию элементарных площадок, содержащих рассматриваемую точку M V . Очевидно, что векторы σ(n2) и σ(n3) могут быть представлены аналогично, и в итоге можно записать

Если в качестве единичных внешних нормалей в (55) выбрать орты ei репера прямоугольной системы координат Ox1x2x3, то при эйле-

ровом описании движения сплошной среды девять компонент σj(ei) = = σji образуют тензор напряжений (тензор напряжений Ко-

ши) σb, являющийся тензором второго ранга. Этот тензор задает пространственную меру напряженного состояния в точке и зависит от пространственных координат x1, x2, x3 и времени t. Компоненты σ11, σ22, σ33, соответствующие проекциям на направления ортов ei векторов напряжения в площадках, перпендикулярных этим ортам,

называют нормальными напряжениями. Компоненты σij (i 6= j),

соответствующие проекциям этих векторов напряжения, лежащим в плоскостях указанных площадок, называют касательными напря-

жениями.

Заменив в (55) σj(ei) на σji и nj на njei, где nj — направляющие косинусы внешней нормали n = niei произвольно ориентированной площадки, получим вектор напряжения в этой площадке

28

Нормальное напряжение в этой площадке равно

Если σn > 0, то такое напряжение называют растягивающим на-

пряжением, а если σn < 0 — сжимающим. Силовые граничные условия следуют из (56), если рассматривать окрестность точки N поверхности S с единичным вектором n(N) внешней нормали при заданном векторе p(N) плотности поверхностных сил с проекциями pi(N) на оси пространственных координат:

σb(N) · n(N) = p(N), или σji(N)nj(N) = pi(N), N S. (58)

Пример 5.1. В окрестности точки O задан тензор напряжений

7−5 0

σij = −5 3 1 .

01 2

Определить вектор напряжения на площадке, проходящей через точку O параллельно плоскости ABC, определенной уравнением 3x1 + + 6x2 + 2x3 = 12.

Вектор единичной нормали к ней определяет уравнение

n = 3/7e1 + 6/7e2 + 2/7e3 .

По формуле (57) вектор напряжения можно определить умножением матриц

Таким образом, σ(n) = −9/7e1 + 5/7e2 + 10/7e3. ]

В случае актуальной конфигурации для содержащей рассматривае-

тарной площадки dS, ориентацию которой задает единичный вектор n внешней нормали с направляющими косинусами nj, имеем

где dP — вектор приложенной к этой площадке элементарной силы с проекциями dPi на оси пространственных координат. Пусть в начальной конфигурации этой площадке соответствует площадка dS0 с

29

единичным вектором N внешней нормали, имеющим направляющие косинусы NJ (J = 1, 2, 3) в системе материальных координат. Тогда

где Tb — тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа с компонен-

тами TJI , являющийся материальной мерой напряженного состояния в точке и зависящий от материальных координат a1, a2, a3 и времени t; dPI и TI(N) — проекции на оси материальных координат векторов dP и T (N) соответственно.

Если переход от начальной конфигурации к актуальной вызван деформированием тела, то σb иногда называют тензором истинных напряжений, а Tb — тензором условных напряжений. Установим связь между этими тензорами. Используя (59) и (60), можно записать dP =

= σb · ndS = Tb · N dS0, или, учитывая, что dPI = ∂aI dPi,

∂xi

Для представления вектора ndS в актуальной конфигурации введем два ортогональных ему и неколлинеарных вектора db и db0, таких, что их векторное произведение дает ndS = db0 × db, или

где eijk — символ Леви-Чивиты. Аналогично в случае начальной конфигурации введем два ортогональных вектору N неколлинеарных вектора db0 и db00, таких, что N dS0 = db00 × db0, или

Непосредственным вычислением можно установить, что eIJK J =

30

∂xj/∂aJ и учитывая (63), получаем

где Fb — материальный градиент деформации. Обратное по отношению к (65) соотношение имеет вид

где Hb — пространственный градиент деформации.

Если в окрестности произвольной точки сплошной среды пространственный и материальный градиенты деформации удовлетворяют

условиям ∂xi = δiI , где δiI — символ Кронекера, то из (65) и (66)

∂aI

следует, что σji = TJI , или σb = Tb, т. е. тензоры напряжений Коши и Пиолы — Кирхгофа совпадают. Эти условия обычно используют при малой деформации твердого тела.

Ясно, что в случае симметрии тензора σb его можно привести к глав-

ным осям OXα. При этом главные значения σα (α = 1, 2, 3) этого тензо-

ра называют главными напряжениями. Площадку, равнонаклоненную к главным осям√и имеющую внешнюю нормаль с направляющими косинусами Nα = 1/ 3, называют октаэдрической, а составляющие σN и τN вектора напряжения σ(N) в ней по нормали и в ее плоскости — соответственно нормальным и касательным октаэдрическими напряжениями. С учетом (57) запишем

где I1σ— первый инвариант тензора σb. При помощи (56) получим

b