
МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 33
.pdf
1
Задания для самопроверки
1.Что понимают под материальной системой в аналитической механике? Что называют конфигурацией материальной системы? Какую конфигурацию называют начальной/актуальной?
2.Какое тело называют абсолютно твердым?
3.Сформулируйте законы сохранения количества движения и сохранения момента количества движения материальной систе-
мы.
4.Дайте определение тензора и алгебраических операций над тензорами: сложение, умножение на скаляр, тензорное умножение, свертка, перестановка, симметрирование и антисимметрирование (альтернирование). Сформулируйте свойства алгебраических операций. Приведите примеры тензоров нулевого, первого, второго рангов.
5.Как определяют символ Кронекера δij, символ Леви–Чиви-
ты eijk? Вычислите: а) δij; б) δijδij; в) eijkekij.
6.Дайте определение инвариантов тензора второго ранга.
7.Найдите главные направления и главные значения тензора вто-
3 −1 0
рого ранга, который представлен матрицей (Tij) = |
|
−1 |
3 |
|
0 . |
||
Вычислите первый, второй и третий инварианты |
|
|
0 |
0 |
. |
1 |
|
этого тензора |
|
||||||
|
|
|
|
|
8.Каковы основные свойства и правила вычисления криволинейного интеграла? В каком случае его значение не зависит от пути интегрирования?
9.Запишите с помощью дифференциального оператора Га-
мильтона основные дифференциальные операции векторного анализа:
градиент скалярного и векторного поля, дивергенцию векторного и тензорного поля, ротор векторного поля.
10.Сформулируйте теорему Остроградского–Гаусса.

2
Движение и равновесие сплошной среды
Наряду с математическими моделями материальных систем в
механике рассматривают модели тел, объем которых заполнен непрерывной материальной средой (так называемой сплошной средой). При изучении свойств сплошной среды слово «точка» часто используют применительно как к точке пространства, так и к частице этой среды. В дальнейшем термин точка будем использовать только для обозначения места в неподвижном пространстве, а термин частица сплошной среды — для обозначения малого элемента сплошной среды.
В любой момент времени t объем V сплошной среды, ограниченный поверхностью S, занимает некоторую область пространства. Если в выбранной системе координат в этот момент времени установлено соответствие частиц некоторого объема сплошной среды и точек пространства, то это означает, что определена конфигурация сплошной среды. Непрерывный переход от начальной конфигурации в момент времени t = t0 к некоторой последующей (актуальной) конфигурации, сопровождаемый изменением расстояний между частицами, называют
процессом деформирования или просто деформированием. При изучении этого процесса учитывают только начальную и конечную конфигурации. Промежуточные состояния, или последовательность конфигураций, через которые происходит деформирование, при этом не рассматривают. Под деформацией понимают изменение формы или размеров области, занятой сплошной средой. Используемый в дальнейшем термин течение служит для обозначения непрерывного (или мгновенного) изменения состояния среды. Изучение истории изменения конфигурации среды является частью исследования течения, для которого задано переменное во времени и в пространстве поле скоростей частиц среды.
1. Способы описания движения среды и деформация
Пусть в начальный момент времени t = t0 частица сплошной среды находится в точке P0 пространства, определяемой радиус-вектором a с проекциями aI (I = 1, 2, 3) на оси OaI прямоугольной системы координат Oa1a2a3 (рис. 1). Координаты aI , определяющие положе-
ние частицы в начальной конфигурации, называют материальными.
В деформированном состоянии эта частица займет положение P , определяемое радиус-вектором x с проекциями xk (k = 1, 2, 3) на оси O0xk в общем случае иной прямоугольной системы координат O0x1x2x3. Координаты xk, задающие положение частицы в актуальной конфигурации,
называют пространственными.

3
Рис. 0.1
Ориентацию осей OaI относительно осей O0xk (см. рис. 0.1) определяют направляющие косинусы αIk = αkI = jI ·ek, равные скалярным произведениям ортов jI и ek, входящих в реперы {jI } и {ek} принятых
систем координат. Условия ортогональности осей этих систем координат имеют вид αIkαkM = δIM , αkI αIm = δkm, M, m = 1, 2, 3, где δIM , δkm — символы Кронекера (здесь и далее, как и ранее, при записи формул использовано правило суммирования по одинаковым индексам).
Вектор u(a1,a2,a3,t), соединяющий на рис. 1 точки P0 и P , называют вектором перемещения. Проекции uI (a1,a2,a3,t) этого вектора в системе координат Оa1a2a3 являются функциями материальных координат и времени, причем
u(a1,a2,a3,t) = uI (a1,a2,a3,t)jI . |
(1) |
Этот же вектор в системе координат O0x1x2x3 имеет компоненты Uk(x1,x2,x3,t). Обозначив его в этой системе U(x1,x2,x3,t), запишем
U(x1,x2,x3,t) = Uk(x1,x2,x3,t)ek. |
(2) |
Если вектор b (см. рис. 1) определяет положение начала координат O0 относительно точки О, то u = b + x − a. В дальнейшем (без потери общности изложения) будем полагать b ≡ 0 и jK ≡ ek при K = = k = 1, 2, 3, т. е. будем полагать, что системы координат Oa1a2a3 и O0x1x2x3 совмещены с общим началом в точке O. Тогда
u = x − a = U и uk = xk − ak = Uk. |
(3) |
Движение частиц сплошной среды в пространстве можно описать с помощью уравнений вида
xi = xi(a1,a2,a3,t), i = 1, 2, 3, или x = x(a,t), |
(4) |

4
которые задают в пространстве положение частицы, занимавшей в начальной конфигурации положение с материальными координатами ai. Если в системе пространственных координат задано векторное поле v(x,t) скорости частиц среды с проекциями vi(x,t), то (4) будет решением нормальной системы дифференциальных уравнений
dxi |
= vi(x1,x2,x3,t), |
или |
dx |
= v(x,t) |
(5) |
|
dt |
dt |
|||||
|
|
|
|
при начальном условии (t = t0) x = a.
Учитывая (3), при заданной функции (1) находим вектор скорости
v = |
dx |
= |
d a + u(a,t) |
= |
du(a,t) |
= |
∂u |
, |
|
dt |
dt |
dt |
|
∂t |
|||||
|
|
|
|
|
|
так как a не зависит от t, а при заданной функции (2) —
v = |
dx |
= |
d a + U(x,t) |
= |
dU(x,t) |
= |
∂U |
+ |
∂U dxi |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dt |
dt |
dt |
|
∂t |
∂xi dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т. е. это равенство задает скорость в неявном виде.
В процессе движения частица среды следует по линии, называемой траекторией. В фиксированный момент времени линией тока называют кривую, касательная к которой в любой точке этой кривой совпадает по направлению с вектором скорости в этой точке. Движение сплошной среды считают установившимся (или стационарным),
если поле вектора скорости не зависит от времени. При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц.
Для функций xi = xi(a1,a2,a3,t), непрерывно дифференцируемых по материальным координатам, соответствие между векторами x и a будет в каждый момент времени взаимно однозначным тогда и только тогда, когда отличен от нуля якобиан
J = det |
∂xi |
|
= |
|
∂x1 |
|
|
∂x2 |
|
∂x3 |
∂x1 |
|
∂x3 |
|
∂x2 |
|
∂x3 |
|
∂x1 ∂x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||
∂ak |
|
|
∂a1 |
|
|
∂a2 |
∂a3 |
|
∂a1 |
|
|
∂a2 |
∂a3 |
|
∂a1 |
|
|
∂a2 ∂a3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
∂x1 |
∂x3 |
|
|
∂x2 |
∂x3 |
|
∂x1 |
|
∂x3 |
∂x2 |
|
∂x1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂a1 |
∂a2 |
|
∂a3 |
∂a1 |
∂a2 |
|
∂a3 |
∂a1 |
∂a2 |
∂a3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= eikm |
∂xi ∂xk ∂xm |
(6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂a1 |
|
∂a2 |
|
|
∂a3 |
системы (4). Здесь e — символ Леви-Чивиты. При J = 0 (4) можно |
|
ikm |
6 |
однозначно разрешить относительно материальных координат: |
|
ai = ai(x1,x2,x3,t), или a = a(x,t). |
(7) |

5
Описание движения или деформирования сплошной среды при помощи (4) называют лагранжевым, а при помощи (7) — эйлеровым. При этом материальные и пространственные координаты часто называют лагранжевыми и эйлеровыми соответственно. Лагранжево описание позволяет изучить движение любой фиксированной частицы среды, а эйлерово — поведение среды в любой фиксированной точке пространственной области, занятой этой средой. Эйлерово описание дает возможность найти начальное положение частицы, находящейся в момент времени t в заданной точке пространства.
Если в начальной конфигурации две бесконечно близкие частицы среды имеют материальные координаты ai и ai + αi, то в актуальной конфигурации, согласно (4), их пространственные координаты будут соответственно xi(a,t) и xi(a + α,t), где α — вектор с проекциями αi, имеющий бесконечно малую длину. Тогда для проекций вектора ξ, соединяющего эти частицы в актуальной конфигурации, получим
ξi = xi(a + α,t) − xi(a,t) = ∂xi αk + O(|α|2). ∂ak
Отсюда следует, что при конечных значениях ∂xi/∂ak расстояние |α| между двумя частицами, будучи бесконечно малым в начальной конфигурации, остается бесконечно малым и в актуальной конфигурации.
Пример 1.1
Ввести пространственную и материальную системы координат частиц и найти закон движения в следующих случаях:
а) твердое тело движется поступательно со скоростью, постоянной по направлению и имеющей постоянную величину v;
б) твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω.
Введем в пространстве деартову систему координат Ox1x2x3. В качестве материальных координат частицы примем координаты точки пространства, в которой частица находилась в момент t = 0.
а) Пусть ось Ox1 направлена по имеющему постоянное направление вектору скорости. Движение состоит в переносе тела в положительном направлении оси Ox1 на расстояние vt. Поэтому закон движения имеет вид
x1 = vt + ai , x2 = a2 , x3 = a3 .
б) Пусть ось Ox3 направлена по оси вращения, неподвижной в пространстве. Движение состоит в повороте вокруга нее на угол ωt. Преобразование вектора начального положения частицы в вектор ее положения в момент t осуществляется при таком повороте ортогональной

6
матрицей
x2 |
= sin ωt |
cos ωt |
0 |
a2 |
. |
|
x1 |
|
cos ωt |
−sin ωt |
0 |
a1 |
|
x3 |
0 |
0 |
1 a3 |
Поэтому закон движения имеет вид
x1 = a1 cosωt − a2 sinωt, x2 = a1 sinωt + a2 cosωt, x3 = a3 .
Другое решение. Используем систему цилиндрических координат
x1 = r , x2 = ϕ, x3 = z ,
где r — расстояние от конца вектора x до оси Ox3, ϕ — угол между плоскостью, проходящей через x и ось Ox3, и плоскостью x1Ox3, z = x3. При вращении вокруг оси Ox3 цилиндрические координты r и z частицы очевидно не меняются, а координата ϕ изменяется за время t на величину ωt, если угловая скорость постоянна. Поэтому закон движения в цилиндрических координатах имеет вид
r = r0 , ϕ = ωt + ϕ0 , z = z0 ,
здесь r0,ϕ0,z0 — материальные координаты частицы.
Таким образом, декартова система координат не всегда самая удобная. ]
Пример 1.2
Относительно совмещенных материальных осей Oai и пространственных осей Oxi задано поле вектора перемещения сплошной среды x1 = a1, x2 = a2 + Aa3, x3 = a3 + Aa2, где A — константа.
Определить компоненты вектора перемещения в материальной и пространственной форме (в лагранжевых и эйлеровых переменных).
Для поля вектора перемещения определить смещенное положение материальных частиц, которые первоначально составляли круг с границей a22 + a23 = 1/(1 − A2) в плоскости = 0. Нарисовать смещенные конфигурации, если A = 1/2.
Компоненты перемещения в материальной форме находим непосредственно из (3): u1 = x1 − a1 = 0, u2 = x2 − a2 = Aa3, u3 = x3 − − a3 = Aa2. Разрешая эту систему относительно ai, получаем a1 = x1, a2 = (x2 − Ax3)/(1 − A2), a3 = (x3 − Ax2)/(1 − A2). Пространственные компоненты вектора u будут равны u1 = 0, u2 = A(x3 − Ax2)/(1 − A2), u3 = A(x2 − Ax3)/(1 − A2).

7
Из полученных результатов видно, что первоначально прямая линия в материальной частице, представленная уравнениями a1 = 0, a2 + + a3 = 1/(1 + A) займет после деформации положение x1 = 0, x2 + x3 = 1. А материальная линия a1 = 0, a2 = a3 станет после деформации x1 = 0, x2 = x3. (Истолковать механический смысл этих результатов).
Замена координат a2 = (x2 − Ax3)/(1 − A2) и a3 = (x3 − Ax2)/(1 −
−A2) переводит круг в область, ограниченную эллипсом (1 + A2)x22 −
−4Ax2x3 + (1 −A2). При A = 1/2 уравнение эллипса 5x22 −8x2x3 + 5x23 = = 3; в главных осях Oxi (образующих углы 45◦ с Oxi, i = 2,3) оно
принимает вид x22 + x23 = 3. ]
Продифференцировав первую группу уравнений из (4) по материальным координатам aj, получим тензор второго ранга Fb с компо-
нентами Fij = ∂xi/∂aj, j = 1, 2, 3, называемый материальным гра-
диентом деформации. Если продифференцировать первую группу уравнений из (7) по пространственным координатам xj, то получим
тензор второго ранга H с компонентами Hij = ∂ai/∂xj, называемый |
||||||||||
|
|
b |
∂xi ∂ak |
|
∂ai ∂xk |
|
||||
пространственным градиентом деформации. Компоненты тен- |
||||||||||
зоров F и H связаны между собой соотношениями |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
||
∂ak |
∂xj |
∂xk |
∂aj |
|||||||
= δij, b b F− |
1 |
= H. |
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
, |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим изменение положений двух бесконечно близких частиц находящихся в начальной конфигурации в точках P0 и Q0 (рис. 2). Эти частицы в некоторой актуальной конфигурации будут занимать положения P и Q соответственно. Используя (7), квадрат расстояния между точками P0 и Q0 можно представить в виде
|da|2 = dakdak = |
∂ak |
dxi |
∂ak |
dxj = Cij dxi dxj, |
(8) |
∂xi |
∂xj |
или |da|2 = dxт ·Cb ·dx. Тензор второго ранга Cb = Hbт ·Hb с компонентами
Cij = ∂ak ∂ak называют тензором деформации Коши. Здесь и далее
∂xi ∂xj
одна точка между тензорами означает операцию свертки по одному
индексу. Аналогично при помощи |
(4) |
найдем квадрат |
расстояния |
||
между точками P и Q: |
|
|
|
|
|
|dx|2 = dxkdxk = |
∂xk |
dai |
∂xk |
daj = Gij dai daj, |
(9) |
∂ai |
∂aj |
или |dx|2 = daт ·Gb ·da. Тензор второго ранга Gb = Fbт ·Fb с компонентами
Gij = ∂xk ∂xk называют тензором деформации Грина.
∂ai ∂aj
Если сплошная среда совершает перемещение как абсолютно твердое тело, то разность |dx|2 − |da|2 ≡ 0. В общем случае эта разность

8
Рис. 0.2
служит мерой деформации окрестности двух бесконечно близких частиц среды. Используя (8) и (9), получаем
|dx|2 − |da|2 |
= |
∂xk ∂xk |
− δij dai daj = 2Lij dai daj, |
(10) |
∂ai ∂aj |
или |dx|2 − |da|2 = daт · (G − I2) · da = daт · 2L · da, где I2 — единич- |
||||||||
1 |
b b |
1 |
∂xk |
|
∂xk b |
b |
||
ный тензор второго ранга с компонентами δij. Тензор второго ранга |
||||||||
ром |
|
2 |
|
|
∂aj |
−δij |
|
|
L = 2 |
G−I2 с компонентами Lij = |
|
∂ai |
|
называют тензо- |
|||
b |
b b |
|
|
|
|
|
|
|
конечной деформации Грина или лагранжевым тензором конечной деформации. Ту же разность при помощи (8) и (9) представим в виде
2 2 ∂ak ∂ak
|dx| − |da| = δij − ∂xi ∂xj dxi dxj = 2Eij dxi dxj,
|
1 |
|
|
∂ak ∂ak |
|
||
где Eij = |
2 |
|
δij − |
∂xi ∂xj |
— компоненты тензора второго ранга Eb = |
||
|
|
|
|
|
|
|
= 12 bI2 − Cb , называемого тензором конечной деформации Аль-
манзи или эйлеровым тензором конечной деформации.
Пример 1.3
По условиям примера 1.2:
а) определить компоненты тензора конечной деформации Грина L.
Для тензора деформации Грина имеем Gb = Fbт · Fb. Компоненты тензора Fb материального градиента деформации
Fij = ∂ai = |
0 |
1 |
A . |
||||
|
∂x |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j |
0 |
A |
1 |

9
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
Gij = |
0 1 + A2 |
2A |
, |
|
то |
0 |
2A 1 + A2 |
Lij = 2 |
Gij |
|
δij |
= 2 |
0 |
A2 |
2A |
; |
|||||
1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|||
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
2A |
A2 |
|
б) определить |dx|2. Воспользовавшись формулой (9), имеем
|dx|2 = Gijdaidaj = (1 + A2)da22 + 4Ada2da3 + (1 + A2)da23 ;
в) вычислить разность |dx|2 − da|2.
|dx|2 − da|2 = (1 + A2)(da22 + da23) + 4Ada2da3 − (da22 + da23) =
A2(da22 + da23) + 4Ada2da3 .
Применение формулы (10) дает тот же результат. ]
Ясно, что тензоры C, G, L и E являются симметричными. Учи-
тывая (1) и (2), компоненты тензоров L и E можно выразить через |
|||||||||||||||||||||||||||||
векторы |
u(a1,a2,a3,t) |
U(x1 |
,x2,x3,t) |
b |
b |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
иb |
|
|
b |
|
b |
b |
перемещения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
∂ui |
∂uj |
∂uk ∂uk |
|
|
1 |
|
∂Ui |
|
∂Uj |
|
∂Uk ∂Uk |
|||||||||||||||
Lij = |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
и Eij = |
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
. |
|||
2 |
∂aj |
∂ai |
∂ai ∂aj |
|
2 |
∂xj |
|
∂xi |
∂xi |
∂xj |
|||||||||||||||||||
Тензоры с компонентами |
|
∂ui |
|
|
и |
∂Ui |
называют соответственно мате- |
||||||||||||||||||||||
∂aj |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
риальным и пространственным градиентами перемещения.
В фиксированный момент времени составляющие пространственного градиента поля вектора скорости v = v(x,t) с проекциями vi на оси
прямоугольной системы координат Ox1x2x3 можно представить в виде
∂vi
∂xj
(11)
|
1 |
|
∂vi |
|
|
∂vj |
|
где Vij = |
|
|
|
+ |
|
|
— компоненты симметричного тензора ско- |
|
2 |
|
∂xj |
|
∂xi |
ростей V; Wij = |
1 |
|
∂vi |
− |
∂vj |
— компоненты антисимметричного |
2 |
|
∂xj |
∂xi |
|||
тензораbзавихренности W, которому соответствует вектор за- |
c
вихренности W = rx ×v = eijkWkj ei. Поле вектора скорости является безвихревым, если W ≡ 0 во всех точках рассматриваемой области.

10
Пример 1.4
Течение сплошной среды задано полем скоростей v1 = 0, v2 = = A(x1x2 − x23)e−Bt, v3 = A(x22 − x31)e−Bt, где A и B — константы. Найти градиент скорости для этого движения и вычислить тензоры
скоростей с компонентами Vij и завихренности с компонентами Wij в точке P (1,0,3) в момент t = 0.
Вычислим градиент скорости ∂vi/∂xj, используя (11):
∂vi |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
= |
|
x2 |
x1 |
2x3 |
|
Ae−Bt . |
||
|
||||||||
∂xj |
−x3 2x2 −x1 |
|
Значение градиента скорости в точке P (1,0,3) в момент t = 0:
∂xi |
|
P (1,0,3) = |
0 |
|
|
|
|
|
A |
|
6A . |
|
||||||||||||||||||
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− A |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
j |
t = 0 |
|
3A |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда тензор скоростей имеет компоненты |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Vij = 1 ∂vi + ∂vj |
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
3A |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−3A |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂xj |
|
∂xi |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
3A |
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3A |
|
|
|
A |
|||||||
а тензор завихренности |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Wij = 1 ∂vi |
|
∂vj |
= |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
3A |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3A |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 ∂xj |
− ∂xi |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3A |
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3A |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]
Пример 1.5
Доказать, что поле скоростей
v = (Ax3 − Bx2)e1 + (Bx1 − Cx3)e2 + (Cx2 − Ax1)e3
представляет вращение абсолютно твердого тела.
Вычислим компоненты градиента скорости ∂vi/∂xj. Он оказывается антисимметричным тензором, а это значит, что
|
0 |
−B |
A |
|
∂vi/∂xj = |
B |
0 |
C |
= Wij |
−A |
C |
−0 |