МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 33

1

Задания для самопроверки

1.Что понимают под материальной системой в аналитической механике? Что называют конфигурацией материальной системы? Какую конфигурацию называют начальной/актуальной?

2.Какое тело называют абсолютно твердым?

3.Сформулируйте законы сохранения количества движения и сохранения момента количества движения материальной систе-

мы.

4.Дайте определение тензора и алгебраических операций над тензорами: сложение, умножение на скаляр, тензорное умножение, свертка, перестановка, симметрирование и антисимметрирование (альтернирование). Сформулируйте свойства алгебраических операций. Приведите примеры тензоров нулевого, первого, второго рангов.

5.Как определяют символ Кронекера δij, символ Леви–Чиви-

ты eijk? Вычислите: а) δij; б) δijδij; в) eijkekij.

6.Дайте определение инвариантов тензора второго ранга.

7.Найдите главные направления и главные значения тензора вто-

3 −1 0

8.Каковы основные свойства и правила вычисления криволинейного интеграла? В каком случае его значение не зависит от пути интегрирования?

9.Запишите с помощью дифференциального оператора Га-

мильтона основные дифференциальные операции векторного анализа:

градиент скалярного и векторного поля, дивергенцию векторного и тензорного поля, ротор векторного поля.

10.Сформулируйте теорему Остроградского–Гаусса.

2

Движение и равновесие сплошной среды

Наряду с математическими моделями материальных систем в

механике рассматривают модели тел, объем которых заполнен непрерывной материальной средой (так называемой сплошной средой). При изучении свойств сплошной среды слово «точка» часто используют применительно как к точке пространства, так и к частице этой среды. В дальнейшем термин точка будем использовать только для обозначения места в неподвижном пространстве, а термин частица сплошной среды — для обозначения малого элемента сплошной среды.

В любой момент времени t объем V сплошной среды, ограниченный поверхностью S, занимает некоторую область пространства. Если в выбранной системе координат в этот момент времени установлено соответствие частиц некоторого объема сплошной среды и точек пространства, то это означает, что определена конфигурация сплошной среды. Непрерывный переход от начальной конфигурации в момент времени t = t0 к некоторой последующей (актуальной) конфигурации, сопровождаемый изменением расстояний между частицами, называют

процессом деформирования или просто деформированием. При изучении этого процесса учитывают только начальную и конечную конфигурации. Промежуточные состояния, или последовательность конфигураций, через которые происходит деформирование, при этом не рассматривают. Под деформацией понимают изменение формы или размеров области, занятой сплошной средой. Используемый в дальнейшем термин течение служит для обозначения непрерывного (или мгновенного) изменения состояния среды. Изучение истории изменения конфигурации среды является частью исследования течения, для которого задано переменное во времени и в пространстве поле скоростей частиц среды.

1. Способы описания движения среды и деформация

Пусть в начальный момент времени t = t0 частица сплошной среды находится в точке P0 пространства, определяемой радиус-вектором a с проекциями aI (I = 1, 2, 3) на оси OaI прямоугольной системы координат Oa1a2a3 (рис. 1). Координаты aI , определяющие положе-

ние частицы в начальной конфигурации, называют материальными.

В деформированном состоянии эта частица займет положение P , определяемое радиус-вектором x с проекциями xk (k = 1, 2, 3) на оси O0xk в общем случае иной прямоугольной системы координат O0x1x2x3. Координаты xk, задающие положение частицы в актуальной конфигурации,

называют пространственными.

3

Рис. 0.1

Ориентацию осей OaI относительно осей O0xk (см. рис. 0.1) определяют направляющие косинусы αIk = αkI = jI ·ek, равные скалярным произведениям ортов jI и ek, входящих в реперы {jI } и {ek} принятых

систем координат. Условия ортогональности осей этих систем координат имеют вид αIkαkM = δIM , αkI αIm = δkm, M, m = 1, 2, 3, где δIM , δkm — символы Кронекера (здесь и далее, как и ранее, при записи формул использовано правило суммирования по одинаковым индексам).

Вектор u(a1,a2,a3,t), соединяющий на рис. 1 точки P0 и P , называют вектором перемещения. Проекции uI (a1,a2,a3,t) этого вектора в системе координат Оa1a2a3 являются функциями материальных координат и времени, причем

Этот же вектор в системе координат O0x1x2x3 имеет компоненты Uk(x1,x2,x3,t). Обозначив его в этой системе U(x1,x2,x3,t), запишем

Если вектор b (см. рис. 1) определяет положение начала координат O0 относительно точки О, то u = b + x − a. В дальнейшем (без потери общности изложения) будем полагать b ≡ 0 и jK ≡ ek при K = = k = 1, 2, 3, т. е. будем полагать, что системы координат Oa1a2a3 и O0x1x2x3 совмещены с общим началом в точке O. Тогда

Движение частиц сплошной среды в пространстве можно описать с помощью уравнений вида

4

которые задают в пространстве положение частицы, занимавшей в начальной конфигурации положение с материальными координатами ai. Если в системе пространственных координат задано векторное поле v(x,t) скорости частиц среды с проекциями vi(x,t), то (4) будет решением нормальной системы дифференциальных уравнений

при начальном условии (t = t0) x = a.

Учитывая (3), при заданной функции (1) находим вектор скорости

так как a не зависит от t, а при заданной функции (2) —

т. е. это равенство задает скорость в неявном виде.

В процессе движения частица среды следует по линии, называемой траекторией. В фиксированный момент времени линией тока называют кривую, касательная к которой в любой точке этой кривой совпадает по направлению с вектором скорости в этой точке. Движение сплошной среды считают установившимся (или стационарным),

если поле вектора скорости не зависит от времени. При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц.

Для функций xi = xi(a1,a2,a3,t), непрерывно дифференцируемых по материальным координатам, соответствие между векторами x и a будет в каждый момент времени взаимно однозначным тогда и только тогда, когда отличен от нуля якобиан

5

Описание движения или деформирования сплошной среды при помощи (4) называют лагранжевым, а при помощи (7) — эйлеровым. При этом материальные и пространственные координаты часто называют лагранжевыми и эйлеровыми соответственно. Лагранжево описание позволяет изучить движение любой фиксированной частицы среды, а эйлерово — поведение среды в любой фиксированной точке пространственной области, занятой этой средой. Эйлерово описание дает возможность найти начальное положение частицы, находящейся в момент времени t в заданной точке пространства.

Если в начальной конфигурации две бесконечно близкие частицы среды имеют материальные координаты ai и ai + αi, то в актуальной конфигурации, согласно (4), их пространственные координаты будут соответственно xi(a,t) и xi(a + α,t), где α — вектор с проекциями αi, имеющий бесконечно малую длину. Тогда для проекций вектора ξ, соединяющего эти частицы в актуальной конфигурации, получим

ξi = xi(a + α,t) − xi(a,t) = ∂xi αk + O(|α|2). ∂ak

Отсюда следует, что при конечных значениях ∂xi/∂ak расстояние |α| между двумя частицами, будучи бесконечно малым в начальной конфигурации, остается бесконечно малым и в актуальной конфигурации.

Пример 1.1

Ввести пространственную и материальную системы координат частиц и найти закон движения в следующих случаях:

а) твердое тело движется поступательно со скоростью, постоянной по направлению и имеющей постоянную величину v;

б) твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω.

Введем в пространстве деартову систему координат Ox1x2x3. В качестве материальных координат частицы примем координаты точки пространства, в которой частица находилась в момент t = 0.

а) Пусть ось Ox1 направлена по имеющему постоянное направление вектору скорости. Движение состоит в переносе тела в положительном направлении оси Ox1 на расстояние vt. Поэтому закон движения имеет вид

x1 = vt + ai , x2 = a2 , x3 = a3 .

б) Пусть ось Ox3 направлена по оси вращения, неподвижной в пространстве. Движение состоит в повороте вокруга нее на угол ωt. Преобразование вектора начального положения частицы в вектор ее положения в момент t осуществляется при таком повороте ортогональной

6

матрицей

Поэтому закон движения имеет вид

x1 = a1 cosωt − a2 sinωt, x2 = a1 sinωt + a2 cosωt, x3 = a3 .

Другое решение. Используем систему цилиндрических координат

x1 = r , x2 = ϕ, x3 = z ,

где r — расстояние от конца вектора x до оси Ox3, ϕ — угол между плоскостью, проходящей через x и ось Ox3, и плоскостью x1Ox3, z = x3. При вращении вокруг оси Ox3 цилиндрические координты r и z частицы очевидно не меняются, а координата ϕ изменяется за время t на величину ωt, если угловая скорость постоянна. Поэтому закон движения в цилиндрических координатах имеет вид

r = r0 , ϕ = ωt + ϕ0 , z = z0 ,

здесь r0,ϕ0,z0 — материальные координаты частицы.

Таким образом, декартова система координат не всегда самая удобная. ]

Пример 1.2

Относительно совмещенных материальных осей Oai и пространственных осей Oxi задано поле вектора перемещения сплошной среды x1 = a1, x2 = a2 + Aa3, x3 = a3 + Aa2, где A — константа.

Определить компоненты вектора перемещения в материальной и пространственной форме (в лагранжевых и эйлеровых переменных).

Для поля вектора перемещения определить смещенное положение материальных частиц, которые первоначально составляли круг с границей a22 + a23 = 1/(1 − A2) в плоскости = 0. Нарисовать смещенные конфигурации, если A = 1/2.

Компоненты перемещения в материальной форме находим непосредственно из (3): u1 = x1 − a1 = 0, u2 = x2 − a2 = Aa3, u3 = x3 − − a3 = Aa2. Разрешая эту систему относительно ai, получаем a1 = x1, a2 = (x2 − Ax3)/(1 − A2), a3 = (x3 − Ax2)/(1 − A2). Пространственные компоненты вектора u будут равны u1 = 0, u2 = A(x3 − Ax2)/(1 − A2), u3 = A(x2 − Ax3)/(1 − A2).

7

Из полученных результатов видно, что первоначально прямая линия в материальной частице, представленная уравнениями a1 = 0, a2 + + a3 = 1/(1 + A) займет после деформации положение x1 = 0, x2 + x3 = 1. А материальная линия a1 = 0, a2 = a3 станет после деформации x1 = 0, x2 = x3. (Истолковать механический смысл этих результатов).

Замена координат a2 = (x2 − Ax3)/(1 − A2) и a3 = (x3 − Ax2)/(1 −

−A2) переводит круг в область, ограниченную эллипсом (1 + A2)x22 −

−4Ax2x3 + (1 −A2). При A = 1/2 уравнение эллипса 5x22 −8x2x3 + 5x23 = = 3; в главных осях Oxi (образующих углы 45◦ с Oxi, i = 2,3) оно

принимает вид x22 + x23 = 3. ]

Продифференцировав первую группу уравнений из (4) по материальным координатам aj, получим тензор второго ранга Fb с компо-

нентами Fij = ∂xi/∂aj, j = 1, 2, 3, называемый материальным гра-

диентом деформации. Если продифференцировать первую группу уравнений из (7) по пространственным координатам xj, то получим

Рассмотрим изменение положений двух бесконечно близких частиц находящихся в начальной конфигурации в точках P0 и Q0 (рис. 2). Эти частицы в некоторой актуальной конфигурации будут занимать положения P и Q соответственно. Используя (7), квадрат расстояния между точками P0 и Q0 можно представить в виде

или |da|2 = dxт ·Cb ·dx. Тензор второго ранга Cb = Hbт ·Hb с компонентами

Cij = ∂ak ∂ak называют тензором деформации Коши. Здесь и далее

∂xi ∂xj

одна точка между тензорами означает операцию свертки по одному

или |dx|2 = daт ·Gb ·da. Тензор второго ранга Gb = Fbт ·Fb с компонентами

Gij = ∂xk ∂xk называют тензором деформации Грина.

∂ai ∂aj

Если сплошная среда совершает перемещение как абсолютно твердое тело, то разность |dx|2 − |da|2 ≡ 0. В общем случае эта разность

8

Рис. 0.2

служит мерой деформации окрестности двух бесконечно близких частиц среды. Используя (8) и (9), получаем

конечной деформации Грина или лагранжевым тензором конечной деформации. Ту же разность при помощи (8) и (9) представим в виде

2 2 ∂ak ∂ak

|dx| − |da| = δij − ∂xi ∂xj dxi dxj = 2Eij dxi dxj,

= 12 bI2 − Cb , называемого тензором конечной деформации Аль-

манзи или эйлеровым тензором конечной деформации.

Пример 1.3

По условиям примера 1.2:

а) определить компоненты тензора конечной деформации Грина L.

Для тензора деформации Грина имеем Gb = Fbт · Fb. Компоненты тензора Fb материального градиента деформации

9

б) определить |dx|2. Воспользовавшись формулой (9), имеем

|dx|2 = Gijdaidaj = (1 + A2)da22 + 4Ada2da3 + (1 + A2)da23 ;

в) вычислить разность |dx|2 − da|2.

|dx|2 − da|2 = (1 + A2)(da22 + da23) + 4Ada2da3 − (da22 + da23) =

A2(da22 + da23) + 4Ada2da3 .

Применение формулы (10) дает тот же результат. ]

Ясно, что тензоры C, G, L и E являются симметричными. Учи-

риальным и пространственным градиентами перемещения.

В фиксированный момент времени составляющие пространственного градиента поля вектора скорости v = v(x,t) с проекциями vi на оси

прямоугольной системы координат Ox1x2x3 можно представить в виде

∂vi

∂xj

(11)

c

вихренности W = rx ×v = eijkWkj ei. Поле вектора скорости является безвихревым, если W ≡ 0 во всех точках рассматриваемой области.

10

Пример 1.4

Течение сплошной среды задано полем скоростей v1 = 0, v2 = = A(x1x2 − x23)e−Bt, v3 = A(x22 − x31)e−Bt, где A и B — константы. Найти градиент скорости для этого движения и вычислить тензоры

скоростей с компонентами Vij и завихренности с компонентами Wij в точке P (1,0,3) в момент t = 0.

Вычислим градиент скорости ∂vi/∂xj, используя (11):

Значение градиента скорости в точке P (1,0,3) в момент t = 0:

]

Пример 1.5

Доказать, что поле скоростей

v = (Ax3 − Bx2)e1 + (Bx1 − Cx3)e2 + (Cx2 − Ax1)e3

представляет вращение абсолютно твердого тела.

Вычислим компоненты градиента скорости ∂vi/∂xj. Он оказывается антисимметричным тензором, а это значит, что