МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 88

22

т. е. p/Qж = µDl/h3, что в 1,5 раза меньше значения Rг, которое следует из точного решения. Этот пример показывает, что гидравлическое сопротивление канала при ламинарном течении надежнее находить путем непосредственного анализа исходной ММ.

Двустороннюю оценку гидравлического сопротивления канала произвольного поперечного сечения площадью F с полностью смоченным контуром можно получить при помощи двойственной вариационной формы ММ, включающей альтернативные функционалы

где r2 = (∂/∂xi)ei — дифференциальный оператор Гамильтона, дей-

ствующий в плоскости x1Ox2 поперечного сечения канала. Первый из этих функционалов допустимо рассматривать на функциях v3(M), M F , имеющих кусочно непрерывные производные и удовлетворяющих условию v3(P ) = 0, P , а второй — на векторных функциях f(M), M F , удовлетворяющих уравнению r2 ·f = p/l. Уравнением Эйлера — Лагранжа по отношению к J[v3] является обобщение урав-

где r22 — дифференциальный оператор Лапласа, определенный в плос-

кости x1Ox2.

Функция v3, удовлетворяющая (47), на допустимом множестве функций v3 минимизирует функционал J[v3], а функция f = −µDr2v3 на допустимом множестве функций f максимизирует функционал I[f], при этом выполняются неравенства J[v3] > J[v3] = I[f ] > I[f]. Исполь-

зуя теорему Остроградского — Гаусса и учитывая (47), находим

где n — единичный вектор внешней нормали к контуру . В итоге получаем двустороннюю оценку для Rг в виде

23

Например, в случае течения в канале с квадратным поперечным сечением площадью F = 4a2 при выборе начала координат в центре квадрата допустимой для J[v3] будет функция v3(x1,x2) = = C(a2 − x21)(a2 − x22), C = const. Подставляя эту функцию в первое равенство (47), получаем

Таким образом, учитывая (48), имеем 1,5µDl/a4 6 Rг 6 1,8µDl/a4. Из точного решения следует Rг ≈ 1,775µDl/a4, что достаточно близко к полученной верхней оценке. Для рассматриваемого канала dг = 2a, поэтому, согласно (45) и (45), получим Rг = p/Qж = 2µDl/a4, т. е. примерно на 11 % выше полученной верхней оценки и почти на 13 % выше значения Rг, которое следует из точного решения.

При прямолинейном движении вязкой жидкости в канале в некоторых случаях удается получить точное решение и для более сложных по сравнению с (7) реологических уравнений, описывающих свойства так называемых неньютоновских жидкостей. В частности, эти уравнения применяют для описания свойств широкого класса сред, используемых в технике и технологических процессах: расплавленных металлов, полимеров, нефтепродуктов, бетонов, силикатов, грунтов и т. п. В качестве примера рассмотрим уравнение

связывающее компоненту V23 тензора скоростей с возникающим при этом касательным напряжением τ.

26

является непроницаемым, то на нем можно принять ψ3 = 0. На участке (рис. 0.9), через который жидкость вытекает из области F (или поступает в эту область) и на котором задана скорость течения v◦(P ), P , нетрудно вычислить изменение функции тока

s(P )

Z

ψ3(P ) = ψ3(A) + v◦(P 0)n(P 0) ds(P 0), P ,

0

где ψ3(A) — значение функции тока в точке A , от которой отсчитывают длину s(P 0) дуги до текущей точки P 0 с единичным вектором n(P 0) внешней нормали. Это позволяет задать одно граничное условие. Второе граничное условие на этом участке контура следует из (51) и

принимает вид ∂ψ3(P ) = v◦ ·t(P ), где t(P ) — единичный вектор в напра-

∂n(P )

влении касательной к контуру в точке P , повернутый относительно n(P ) против хода часовой стрелки.

Если в области F до решения задачи можно установить линию0 симметрии течения (см. рис. 0.9), то она будет совпадать с одной из линий тока, на которой ψ3 = C0 = const, а в точках P 0 частицы жидкости не будут вращаться, т. е. W3(P ) = 0, и в соответствии с (52) r2ψ3(P ) = 0. Совмещая в любой точке P 0 оси координат с направлениями t(P ) касательной и n(P ) нормали к линии симметрии, в силу инвариантности дифференциального оператора Лапласа относительно поворота прямоугольной системы координат по-

Аналогичные рассуждения можно провести применительно к свободной поверхности жидкости (участок e на рис. 0.8), если пренебречь

29

где νD — кинематическая вязкость.

Наряду с (56), (57) и (59) в ММ, описывающую процесс тепломассопереноса, должны входить так называемые условия однозначности. Они состоят из геометрических, физи-

ческих и краевых условий.

В уравнениях (56), (57) и (59), входящих в ММ теплопереноса, перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве масштабов длины, скорости, давления, температуры и объемной концентрации L, v0, p0, T0 и C0 соответственно (выбор масштабов целесообразно согласовывать с набором параметров, которые входят в условия однозначности). Тогда получим

= |w|L3C0 — концентрационное число Рэлея.

ρνDD(C)

Не все безразмерные комплексы в (60), являющиеся критериями подобия процессов тепломассопереноса, независимы (например, Ho = FoRePr и Pe = RePr). Совокупность комплексов, состоящих из параметров, входящих в условия однозначности, называют определяющими критериями подобия. Эти критерии могут быть вычислены по исходным данным до количественного анализа ММ процесса или его экспериментального исследования. При геометрическом подобии областей протекания двух процессов, имеющих одинаковую физическую природу, подобии их условий однозначности и попарном равенстве значений одноименных определяющих критериев говорят, что эти процессы подобны, т. е. для таких процессов в моменты времени t, соответствующие равенству значений Fo и Ho, совпадают зависимости безразмерных распределений θ, C, p и vi от безразмерных координат xi.

Для установления совокупности независимых определяющих критериев подобия удобно использовать основные положения теории размерностей, которая на основе анализа связей между размерными параметрами, характеризующими рассматриваемый процесс, позволяет определить структуру ММ этого процесса в виде зависимости между безразмерными комбинациями, составленными из таких параметров.

Размерностью величины или параметра называют произведение степеней независимых единиц измерения физических величин, принятых в качестве основных (стандартных). Известно, что в качестве основных в Международной системе единиц СИ (Systˆeme

30

International) приняты следующие единицы измерения: длины — метр (м), массы — килограмм (кг), времени — секунда (с), силы электрического тока — ампер (А), температуры — кельвин (К), силы света — кандела (кд), количества вещества — моль. Дополнительными (безразмерными) единицами являются радиан (рад) для измерения плоского угла и стерадиан (ср) для измерения телесного угла.

Например, размерность модуля w вектора w ускорения записывают в виде [w ] = = [l]ψl(w) [t]ψt(w) = м/с2, где [l] = м и [t] = с — размерности длины и времени соответственно,

(w) (w)

ψl = 1 и ψt = −2 — показатели этих размерностей в выражении для размерности ускорения. Размерность силы P в системе СИ вводят на основе второго закона Ньютона

P = mw, где m — масса. Отсюда [P ] = [m][w ] = [m]ψm(P ) [l]ψl(P ) [t]ψt(P ) = кг · м · с−2 =

= кг · м/с2 = Н (ньютон), где ψm(P ) = 1, ψl(P ) = 1, ψt(P ) = −2 — показатели размерности массы, длины и времени соответственно в выражении для размерности силы. Ясно, что для величины, равной произведению размерных величин, показатели размерности равны алгебраической сумме соответствующих показателей сомножителей. Например, размерность мощности Q следует из выражения

где ψl(l) = ψt(t) = 1. В итоге получаем [Q] = [m][l]2[t]−3 = кг · м2/с3 = Вт (ватт). Отметим, что для принятой системы основных единиц измерения размерность любой

величины может быть представлена лишь единственным образом. Итак, наиболее важное предположение теории размерностей состоит в том, что размерность любой рассматриваемой величины ζj можно представить в виде так называемого степенного одночлена

где [Li ] — размерности k величин, принятые в качестве основных единиц измерения; ψij — некоторые показатели степени.

Наименьшую совокупность размерных и безразмерных величин, необходимых и достаточных для однозначного описания рассматриваемого процесса, в теории размерностей называют определяющими параметрами. К ним относят геометрические и физические характеристики процесса и независимые переменные, включая пространственные координаты и время. Величины, зависящие от определяющих параметров, называют определяемыми параметрами. Определяющие и определяемые параметры образуют совокупность

основных параметров данного процесса.

Пусть рассматриваемый процесс характеризуют n основных параметров ζj > 0, j = 1, n, для каждого из которых справедливо (61). Рассмотрим степенной одночлен

где zj — некоторые показатели степени, и найдем число n степенных одночленов этого вида при условии, что они являются независимыми (т. е. ни один из них нельзя представить произведением степеней других) и безразмерными. При помощи (61) выразим размерность Π, равную единице, через размерности k величин, принятых в качестве основных единиц измерения:

Таким образом, условием равенства единице размерности степенного одночлена Π является выполнение k равенств βi = 0, i = 1, k, или

n

X

j=1