МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 22
.pdf
1.6. Основные вариационные принципы аналитической механики |
21 |
отрезка времени (интегральный принцип). Например, закон сохранения энергии в виде (1.35) является интегральным невариационным принципом, а второй закон Ньютона в виде (1.27) — дифференциальным невариационным принципом. Вариационный принцип аналитической механики дает признак, по которому отличают действительное поведение (движение или равновесие) материальной системы от любого кинематически возможного при тех же условиях. При таком поведении определенная функция, зависящая от координат и их производных, имеет стационарную точку, которая в некоторых случаях может быть и экстремумом этой функции. Ниже рассмотрим лишь вариационные принципы, сначала дифференциальные, а затем интегральные.
Исторически первым вариационным принципом аналитической механики считают ее «золотое правило» — принцип возможных пе-
ремещений, или принцип Лагранжа,
N |
|
Xς |
|
PΣ(ς) · δx(ς) = 0, |
(1.45) |
=1 |
|
где P(Σς) — равнодействующие сил, действующих на материальные точки с номерами ς = 1, N; δx(ς) — возможные перемещения этих точек. Этот принцип равносилен условию равновесия материальной системы с голономными стационарными связями. Действительно, в
положении равновесия для каждой ее материальной точки P(Σς) = 0, и после умножения этого равенства скалярно на δx(ς) получим, что (1.45) — необходимое условие равновесия. Но (1.45) является и достаточным условием равновесия. В самом деле, предположим, что возможная работа (1.45) всех действующих сил равна нулю, но система не находится в равновесии и хотя бы для одной материальной точки P(Σς) 6= 0. Тогда за малый промежуток времени возникнет неко-
торое действительное перемещение dx(ς), для которого P(Σς) · dx(ς) 6= 0. В случае голономных стационарных связей действительное перемещение совпадает с одним из возможных (см. 1.4), и поэтому, суммируя по ς, получаем отличие возможной работы от нуля, что противоречит исходному предположению.
Если связи, наложенные на материальную систему, к тому же еще и идеальные, для которых возможная работа реакций связей равна нулю, то вместо (1.45) получим
N
X
P(ς) · δx(ς) = 0, |
(1.46) |
ς=1
22 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
где P(ς) — заданные активные силы. В этом случае нет необходимости рассматривать реакции связей. Поскольку возможную работу, согласно (1.20), можно выразить через обобщенные силы Qk и вариа-
ции обобщенных координат δqk, то (1.46) примет вид
Qk δqk = 0, k = 1, K. |
(1.47) |
Для голономных связей K в (1.47) совпадает с числом степеней свободы материальной системы, δqk произвольны и поэтому в положении равновесия Qk = 0. В случае стационарного силового поля его потен-
циальная энергия Π явно не зависит от времени и, следовательно, в положении равновесия такой системы в соответствии с (1.47) Qk δqk =
= −∂Π δqk = δΠ = 0, т. е. Π имеет стационарное значение. Согласно
∂qk
теореме Лагранжа [?], если это стационарное значение соответствует строгому локальному минимуму, то положение равновесия устойчиво.
Обобщением дифференциальных вариационных принципов (1.45) и (1.46) является принцип Даламбера — Лагранжа в виде
N |
|
Xς |
|
(P(ς) − mςw(ς)) · δx(ς) = 0 |
(1.48) |
=1 |
|
или с заменой P(ς) на P(Σς), где mς и w(ς) — масса и вектор ускорения материальной точки с номером ς = 1, N. Действительное движение материальной системы отличается от кинематически возможных тем, что для него возможная работа сил, включая силы инерции mςw(ς), равна нулю. Из этого принципа можно вывести уравнения движения системы, когда на нее наложены голономные связи или неголономные, но описываемые линейными соотношениями [?].
Пусть при кинематически возможных движениях каждая материальная точка материальной системы в фиксированный момент времени имеет одинаковые с действительным движением радиус-вектор и вектор скорости, но отличающиеся на δw(ς) векторы ускорения. Это за малый промежуток времени t с точностью порядка (Δt)3 приведет к возможному отличию на δx(ς) = 12 (Δt)2 δw(ς) ее радиус-вектора x(ς).
Подставив δx(ς) в (1.48) и сократив на (Δt)2, получим
N
X
P(ς) − mςw(ς) · δw(ς) = 0.
ς=1
1.6. Основные вариационные принципы аналитической механики |
23 |
Отсюда при mς = const и в силу
N m P(ς)
X ς
δ
ς=1 2 mς
независимости P(ς) от w(ς) следует
− w(ς) 2 |
= δZ = 0. |
(1.49) |
Неотрицательную величину, характеризующую меру отклонения действительного движения системы от сравниваемых с ним возможных движений,
N
Z =
X mς
ς=1 2
|
P(ς) |
− w(ς) |
|
2 |
N m P(ς) |
mς |
|
= ς=1 2ς mς |
X
2
− w(ς) (1.50)
ввел К. Гаусс и назвал ее принуждением. Для действительного движения она принимает наименьшее значение, равное нулю. При этом
(1.49) выражает принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса).
Пусть материальная система с идеальными связями переходит из начального положения, соответствующего моменту времени t0, в конечное, соответствующее моменту времени t1. При этом материальная
точка с номером ς = 1, N в фиксированный момент времени t (t0, t1) в своем действительном движении находится в точке с радиус-вектором x(ς)(t) в прямоугольной системе координат Ox1x2x3, а при некото-
ром кинематически возможном движении — в точке с радиус-вектором x(ς)(t) + δx(ς)(t), причем для всех материальных точек этой системы
δx(ς)(t0) = δx(ς)(t1) = 0. |
(1.51) |
Отличие кинетической энергии этой точки при возможном и действительном движениях с точностью до величин второго порядка ма-
лости составит 12 mς(x˙ (ς) + δx˙ (ς))2 − 12 mς(x˙ (ς))2 ≈ mςx˙ (ς) · δx˙ (ς) = δKς , а для материальной системы в целом
N |
N |
|
Xς |
X |
|
δK = |
δKς = mςx˙ (ς) · δx˙ (ς). |
(1.52) |
=1 |
ς=1 |
|
В данном случае δx˙ (ς) — изохронная вариация x˙ (ς), для которой операции варьирования и дифференцирования по времени перестановочны.
Действительно |
|
(ς) |
|
(ς) |
|
d |
|
(ς) |
|
(ς) |
|
|
(ς) |
|
d |
|
(ς) |
|
|
, x˙ |
|
+ δx˙ |
|
= dt x |
|
+ δx |
|
|
|
= x˙ |
|
+ dt δx |
|
, откуда сле- |
|||||
дует |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
δx˙ (ς) = |
dδx(ς) |
|
|
|
|
|
|
|
(1.53) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Преобразуем с учетом (1.53) интеграл по времени от левой части (1.48) интегрированием по частям:
t1 |
N |
t1 |
N |
Z |
Z |
XX
P(ς) · δx(ς) dt = |
mςw(ς) · δx(ς) dt = |
|
|||
ς=1 |
ς=1 |
|
|
|
|
t0 |
t0 |
|
|
t1 |
|
|
N |
|
t0 |
N |
|
|
= ς=1 mςx˙ (ς) · δx(ς) |
|
− Z |
ς=1 mςx˙ (ς) · δx˙ (ς) dt. |
|
|
X |
t1 |
t0 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, учитывая (1.51) и (1.52), получаем интегральный вариацион-
ный принцип Гамильтона — Остроградского в виде
t1 |
|
N |
|
|
Z |
|
|
|
|
δK + ς=1 P(ς) · δx(ς) |
dt = 0. |
(1.54) |
||
t0 |
X |
|
|
Если (1.54) выполнено для какого-либо кинематически возможного движения, то это движение является действительным, поскольку из (1.54) следует (1.40). В самом деле, так как
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xς |
∂K |
|
∂K |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
и δK = ∂qk |
δqk + |
∂q˙k |
δq˙k, k = 1, K, |
|||||
P(ς) · δx(ς) = Qk δqk |
||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Qk и qk — обобщенные силы и соответствующие им обобщенные координаты, то вместо (1.54) запишем
t1 |
∂q˙k |
δq˙k + |
|
∂qk |
+ Qk δqk dt = 0. |
(1.55) |
|
Z |
|
||||||
|
∂K |
|
|
∂K |
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
||
Аналогично (1.51) и (1.53) имеем δqk(t0) = δqk(t1) = 0 и δq˙k = d(δqk)/dt.
Учитывая эти равенства, интегрированием по частям найдем
t1 |
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
t1 |
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|||
Z |
∂q˙k |
δq˙k dt = |
|
∂q˙k |
|
|
− Z |
|
dt |
|
∂q˙k |
δqk dt = −Z |
dt |
|
∂q˙k |
δqk dt. |
||||
|
δqk t0 |
|
|
|
||||||||||||||||
t0 |
∂K |
|
|
∂K |
|
|
|
|
t0 |
|
d |
|
∂K |
|
t0 |
d |
|
∂K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя этот результат в (1.55), получаем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
− ∂qk − Qk δqk dt = 0. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Z dt ∂q˙k |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
∂K |
|
|
|
∂K |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.6. Основные вариационные принципы аналитической механики |
25 |
Отсюда в силу непрерывности подынтегральной функции вытекает
(1.39), что равносильно (1.40).
Если P(ς) являются потенциальными силами, то их возможная работа, входящая в (1.54), равна взятой с обратным знаком вариации
δΠ потенциальной энергии. Тогда вместо (1.54) получим
t1 |
t1 |
ZZ
|
(δK − δΠ )dt = δLdt = 0. |
t0 |
t0 |
Здесь L = K − Π — кинетический потенциал, причем δL будет изохронной вариацией, для которой операции варьирования и интегрирования по времени перестановочны [?], что позволяет записать
δSH = 0, где
t1 |
|
SH = Z Ldt — |
(1.56) |
t0 |
|
действие по Гамильтону. Можно показать [?], что среди всех кинематически возможных движений действительному движению системы соответствует минимальное значение SH, что выражает принцип Га-
мильтона наименьшего действия.