МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 22

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Построение математических моделей механических взаимодействия и движения материальных тел, которые допустимо считать абсолютно твердыми, базируется на основных положениях теоретической механики. В своем классическом варианте, заложенном еще Г. Галилеем и И. Ньютоном, она описывает такие взаимодействие и движение, опираясь на понятие силы, тогда как добавление к описанию энергетических характеристик составляет содержание ее раздела — аналитической механики [?]. Подчинение этих характеристик основным принципам аналитической механики, т. е. таким общим утверждениям, из которых остальные положения вытекают как логические следствия, позволяет построить наиболее общие модели поведения (равновесия и движения) механических систем [?].

1.1.Основные понятия и определения

Ваналитической механике под материальной системой понимают совокупность материальных точек — малых частиц, имеющих массу, но не имеющих объема, — положение или движение каждой из которых зависит от положения или движения остальных материальных точек этой совокупности. Основной единицей измерения массы является килограмм (кг).

Говорят, что определена конфигурация материальной системы, если установлено соответствие материальных точек системы и точек пространства в выбранной системе координат. Конфигурацию называют начальной, если она определена в начальный момент времени. Конфигурацию, определенную в последующие моменты времени, назы-

вают актуальной.

Модель абсолютно твердого тела — это совокупность материальных точек, остающихся на неизменных расстояниях друг от друга. Мысленно эту ситуацию можно обеспечить с помощью лишенных массы нерастяжимых стержней, соединяющих эти точки. В общем случае материальная система может включать как абсолютно твердые тела, так и совокупность материальных точек с изменяющимися между ними расстояниями.

21. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Устройства в виде стержней, нитей, шарниров и других тел, накладывающие ограничения на положения и/или скорости материальных точек, называют связями. Положение в пространстве в момент времени t материальной точки Mς (ς = 1, N) материальной системы, состоящей из N материальных точек, можно задать радиус-вектором x(ς)(t)

с проекциями x(iς)(t) (i = 1, 2, 3) на оси прямоугольной системы коор-

динат Ox1x2x3. Основной единицей измерения модуля радиус-вектора, расстояния между материальными точками, их координат и перемещений является метр (м), а основной единицей измерения времени — секунда (с).

При отсутствии связей в материальной системе число степеней свободы материальной точки совпадает с числом ее координат x(iς)(t), однозначно определяющих ее положение в пространстве. Поэтому для такой системы в целом это число будет равно 3N.

Если при наличии связей накладываемые ими ограничивающие условия на положения материальных точек системы можно привести к виду

то говорят о голономных связях, называемых также позиционными или геометрическими. Если равенства (1.1), в которых t считают параметром, не зависят друг от друга, то Nс 6 3N и число степеней свободы системы n = 3N −Nс. Случаю Nс = 3N соответствует движение системы во времени по заранее заданному закону. Неголономные (кинематические) связи, не сводящиеся интегрированием по времени к виду (1.1), выражают зависимости не только между координатами материальных точек системы, но и между их скоростями v(ς) = dx(ς)/dt = x˙ (ς). При наличии Nс0 неголономных связей n = 3N − Nс − Nс0. Голономные связи называют стационарными или склерономными, если время t не входит в (1.1). Зависящие от времени связи называют нестацио-

нарными или реономными.

При наличии Nс голономных связей положение в пространстве материальной системы, состоящей из N материальных точек, можно однозначно определить набором из K = 3N − Nс любых независимых

величин qk (k = 1, K), называемых обобщенными координатами.

Ими могут быть K из 3N координат x(iς) материальных точек, если относительно этих K координат удается разрешить систему (1.1), однако такой способ обычно мало пригоден [?]. Более эффективен такой выбор обобщенных координат, который позволяет упростить построение зависимостей вида

Подстановка (1.2) в (1.1) должна обращать последние в тождества, и при построении математической модели материальной системы отпадает необходимость использовать (1.1).

При движении материальной системы ее обобщенные координаты изменяются во времени. Величины q˙k = dqk/dt и q¨k = d2qk/dt2 назы-

вают обобщенными скоростями и обобщенными ускорениями

соответственно. Далее полагаем функции (1.2) дважды непрерывно дифференцируемыми по всем своим аргументам. Тогда с учетом прави-

ла суммирования по одинаковым латинским индексам, используемого далее без дополнительного упоминания, можно записать

Ясно, что в случае стационарных связей в (1.3) ∂x(ς)/∂t = 0, а в (1.4)

∂2x(ς)/∂t2 = 0 и ∂2x(ς)/(∂qk∂t) = 0.

Единицами измерения модулей векторов скорости и ускорения являются м/с и м/с2 соответственно. Так как в качестве обобщенных координат могут быть выбраны величины, имеющие различный геометрический смысл (расстояния, длины дуг, углы, площади, объемы), а в некоторых случаях и не имеющие непосредственного геометрического толкования, то различны и единицы их измерения, а также единицы измерения обобщенных скоростей и ускорений.

Для материальной системы с голономными связями обобщенные скорости независимы и произвольны, поэтому задание значений обобщенных координат не позволяет предсказать поведение системы в последующие моменты времени. Одновременное задание всех обобщенных координат и обобщенных скоростей системы дает возможность предсказать ее дальнейшее движение.

1.2. Кинематика абсолютно твердого тела

Поведение многих технических устройств можно описать при помощи математических моделей абсолютно твердого тела или систем этих тел. При изучении движения такого тела в пространстве наряду с инерциальной прямоугольной системой координат Ox1x2x3 (не-

подвижной или движущейся прямолинейно с постоянной скоростью)

41. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

с репером ei (i = 1, 2, 3) используют и подвижную систему координат O0x01x02x03 (в общем случае неинерциальную), жестко связанную с данным телом, в которой координаты любой точки тела остаются неизменными. Положение последней системы задают радиус-вектор

O0x01x02x03 относительно репера системы координат Ox1x2x3 (см. Π1.1). В начальном положении тела эти системы координат обычно принимают совпадающими, а переход к текущему положению системы координат O0x01x02x03 осуществляют тремя последовательными поворотами ее осей, определяемыми тремя эйлеровыми углами, и затем переносом точки O0 в соответствии с вектором r0 (см. Π1.1). В текущем положении тела введем еще систему координат O0x1x2x3, полученную из системы Ox1x2x3 ее параллельным переносом в точку O0 и поэтому имеющую

тот же репер ei (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Положение произвольной точки M тела можно задать либо составляющими xi радиус-вектора x в системе координат Ox1x2x3, либо составляющими x0i радиус-вектора x0 в системе O0x01x02x03, либо составляющими ri радиус-вектора r в системе O0x1x2x3, причем, согласно (П1.4), x0 = Ar. Связь между этими радиус-векторами определяет соотношение

поскольку A−1 = Aт (см. Π1.1).

Дифференцируя по времени t левую и правую части (1.5) и учитывая, что радиус-вектор x0 произвольной точки тела не зависит от t, для

где v0 = r˙ 0 — вектор скорости точки O0 относительно точки O. Так как AтA = A−1A = E, где E — единичная матрица третьего порядка, то

кососимметрическая и для нее можно ввести обозначение

где ω — вектор угловой скорости вращения тела. Дифференцированием (1.5) по времени t можно также получить v = v0 + r˙ и из сопоставления с (1.7) записать

Вектор ускорения произвольной точки тела находим, дифференцируя

(1.7) по t и учитывая (1.8): w = v˙ = v˙ 0 + ω˙ × r + ω × r˙ = w0 + ε◦ ×

× r + ω × (ω × r), где w0 = v˙ 0 — вектор ускорения точки O0, ε◦ = ω˙ —

вектор углового ускорения.

Если материальное тело не является абсолютно твердым, а представляет собой систему материальных точек с заданными уравнениями связей, то при движении такой системы радиус-вектор x0, определяющий положение некоторой материальной точки в системе координат O0x01x02x03, в общем случае будет зависеть от времени t. Теперь с учетом

где vr = Aтx˙ 0 — вектор относительной скорости материальной точки относительно системы координат O0x01x02x03, но с компонентами, определенными в системе координат Ox1x2x3. Тогда вместо (1.7) для вектора va абсолютной скорости этой точки получим

где ve = v0 + ω × r — вектор ее переносной скорости.

Относительную скорость vr в (1.9) можно рассматривать как локальную производную радиус-вектора x0 по времени при условии, что ориентация ортов системы координат O0x01x02x03 остается неизменной в

пространстве т е матрица ˙ т является нулевой Заменив в на

, . . A . (1.9) r

vr, запишем

61. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

где wr = Aтx¨0 — локальная производная вектора vr по времени, являющаяся вектором относительного ускорения материальной точки относительно системы координат O0x01x02x03, но с компонентами, определенными в системе координат Ox1x2x3. Дифференцируя (1.10) по t и учитывая (1.9) и (1.11), находим вектор wa абсолютного ускорения этой точки:

wa = v˙ a = v˙ 0 + ω˙ × r + ω × r˙ + v˙ r = w0 + ε◦ × r +

+ ω × (ω × r + vr) + ω × vr + wr = we + wr + wc, (1.12)

где we = w = w0 + ε◦ × r + ω × (ω × r) — вектор переносного уско-

рения этой точки; wc = 2ω ×vr — вектор кориолисова (или поворотного) ускорения этой точки.

Равенства (1.10) и (1.12) выражают теоремы сложения скоростей и ускорений материальной точки.

1.3. Основные динамические величины материальной системы

При изучении движения материальной системы важное значение имеют понятия и величины, характеризующие распределение масс в этой системе. Простейшее из таких понятий — центр инерции (или центр масс) — геометрическая точка, положение которой определяет

радиус-вектор

где m = P mς — масса системы, состоящей из N материальных то-

ς=1

чек; mς — масса материальной точки с номером ς = 1, N; x(ς) —

радиус-вектор материальной точки в прямоугольной системе коорди-

нат Ox1x2x3. При движении системы материальных точек положение центра инерции изменяется не только по отношению к этой системе координат, но и по отношению к материальным точкам этой системы.

Для абсолютно твердого тела массой m

N

xC = r0 + x0C = r0 + m1 Xmςx0(ς),

ς=1

где r0 — радиус-вектор начала системы координат O0x01x02x03, жестко связанной с телом; x0C — радиус-вектор центра инерции в этой системе

координат, остающийся в ней неизменным; x0(ς) — заданный в системе координат O0x01x02x03 радиус-вектор принадлежащей телу материальной точки массой mς.

Пусть O — начало инерциальной прямоугольной системы координат Ox1x2x3. Момент инерции материальной системы относительно оси OA, направленной по орту e, определяют соотношением

NN

XX

JOA = mςh2ς = mς |x(ς)|2 − (e · x(ς))2 , (1.14)

ς=1 ς=1

где hς — расстояние от материальной точки с номером ς = 1, N до оси OA. Единицей измерения момента инерции является кг · м2.

Учитывая свойства операций умножения векторов (см. Π1.1) и

равенство eт · bI2 · e = 1, где (·)т — символ транспонирования, bI2 — единичный тензор второго ранга, можно записать

|x(ς)|2 − (e · x(ς))2 = eт · |x(ς)|2 bI2 · e − (e · x(ς))(e · x(ς)) =

= eт · |x(ς)|2 bI2 − x(ς) x(ς) · e.

Тогда (1.14) примет вид квадратичной формы JOA = eт ·JbO ·e, образо-

ванной тензором второго ранга

определенным для точки O и называемым тензором инерции материальной системы в этой точке.

Тензору JbO можно сопоставить симметрическую матрицу

диагональные элементы которой

10 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

в итоге получим

N

K = 12m |vC|2 + 12 Xmς|r˙ (ς)|2.

ς=1

Вектор, равный произведению массы mς материальной точки и вектора v(ς) ее скорости относительно неподвижной системы координат Ox1x2x3, называют количеством движения этой точки Q(vς) = = mςv(ς). Единица измерения модуля этого вектора — кг·м/с. С учетом

(1.13) главный вектор количества движения материальной си-

стемы

NN

Момент количества движения материальной точки относи-

тельно точки O, называемый также кинетическим моментом, равен L(Oς) = x(ς) × mςv(ς). Единицей измерения модуля этого вектора является кг · м2/с. Определим главный момент количества движения материальной системы в целом с учетом (1.10) и (1.13) и преобразований, аналогичных (1.18):

N

=r0 × m (v0 + ω × rC) + rC × m v0 + Xr(ς) × mς(ω × r(ς))+

ς=1

N

+Xr(ς) × mςv(rς) = r0 × Q(ve) + rC × m v0 + JbO0 · ω + L(Or0),

ς=1

где Q(ve) = m (v0 + ω × rC) — главный вектор переносного ко-

N

личества движения; L(Or0) = Xr(ς) × mςv(rς) — главный момент ко-

ς=1

личества относительного движения материальных точек относительно точки O0; v(rς) — относительная скорость материальной точки массой mς.

Если материальная система является абсолютно твердым телом, а оси системы координат O0x01x02x03 (см. рис. 1.1) жестко связаны с ним,