МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 1010

В механике сплошной среды широко используется условие неотрицательности работы, совершаемой напряжениями на соответствующих деформациях. Это условие для среды с памятью при изотермическом деформировании имеет вид

t

Z σij(t0) ∂εij(0t0) dt0 > 0, (1.54)

∂t

0

где моменту времени t = 0 соответствует естественное состояние. Установим связь (1.54) с условием, накладываемым на объемную плотность ρA свободной энергии. При ∂θ/∂t = 0 и ∂θ/∂xi = 0 интегрированием по времени общего диссипативного неравенства можно получить

Если потребовать, чтобы ρA > 0, то (1.55) будет необходимым условием выполнения (1.54), однако выполнение (1.54) не обеспечивает неотрицательности объемной плотности свободной энергии. Отсюда можно заключить, что требование ρA > 0 является более жестким и физически более содержательным, чем требование неотрицательности работы.

В случае изотермического деформирования изотропной среды с памятью вместо (1.41) с учетом Dij(t − t0) = 0 получим

Отсюда следует, что при εij(t) = ε◦ijH(t), ε◦ij = const, требование ρA > 0 приводит к условиям R1(t −t0,t −t00) > 0 и R2(t −t0,t −t00) > 0, а значит, и R0(t − t0,t − t00) > 0. Таким образом, при ограничениях (1.51) и (1.53)

функции релаксации должны быть неотрицательными убывающими функциями времени. Принцип затухающей памяти накладывает дополнительно требование неотрицательности вторых производных этих функций по времени.

Для рассматриваемой термовязкоупругой среды с памятью можно получить уравнения движения в перемещениях, если подставить (1.43)

в уравнения закона сохранения количества движения. Для полученных уравнений и уравнения теплопроводности остаются в силе краевые условия, принятые в классической термоупругости.

221. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

Взаключение рассмотрим наиболее широко используемые функциональные связи между напряжением σ(t) и деформацией ε(t) в случае

одноосного напряженного состояния. Обозначив функцию релаксации

ψ(t) = R2(t) 3R1(t) + 2R2(t) , R1(t) + R2(t)

запишем

t

σ(t) = Z ψ(t − t0) ∂ε(t0) dt0. ∂t0

0

Если принять

где значения τk определяют спектр времен релаксации, а mk — экспериментально определяемые коэффициенты, то получим так называемую экспоненциальную функцию релаксации. При K → ∞ спектр времен релаксации становится непрерывным и функция релаксации принимает вид

гамма-функция, причем (1) = 1 и (1 + x) = x (x), функция релакса-

но также применение комбинаций рассмотренных функций.