МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 1010

1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

Материал твердого тела с повышением абсолютной температу-

ры, сохраняя свойство упругости, может приобрести и вязкие свойства. В этом случае при нагружении тела возникает так называемая вязкоупругая деформация, которая изменяется во времени даже при постоянной нагрузке, а после снятия нагрузки постепенно исчезает. Свойства таких материалов, к которым относятся многие полиме-

ры, описывают математические модели (ММ) термовязкоупругой сплошной среды. В этой главе ограничимся рассмотрением линейных ММ этой среды, для построения которых использован термодинамический подход. При этом будем считать справедливым принцип начальных размеров, т. е. полную производную по времени t примем равной частной производной: d(·)/dt = ∂(·)/∂t, а плотность среды ρ — не зависящей от времени.

1.1. Термовязкоупругая среда скоростного типа

Термодинамический подход, использованный при построении ма-

тематической модели (ММ) жидкости как среды скоростного типа,

отличается от используемого при построении ММ термовязкоупругой сплошной среды тем, что в качестве одного из аргументов активных переменных вместо якобиана J принят тензор малой деформации bε с компонентами εkl, k, l = 1, 2, 3, заданными в прямоугольной системе координат Ox1x2x3. Тогда

где активными переменными являются массовые плотности свободной энергии A и энтропии h, компоненты σij симметричного тензора напряжений σb и проекции qi вектора q плотности теплового потока

на оси Oxi, а в качестве реактивных переменных помимо εkl приняты компоненты Vkl = ∂εkl/∂t тензора скоростей Vb, абсолютная темпе-

ратура T и проекции ϑk = ∂T /∂xk ее градиента ϑ на оси Oxk.

21. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

При Vkl ≡ 0 соотношения (1.1) должны совпадать с аналогичными соотношениями для термоупругой сплошной среды. Поэтому можно записать

где первые слагаемые в правых частях равенств соответствуют функциям для термоупругой среды и не зависят от Vkl, а вторые — зависят только от Vkl и обращаются в нуль при Vkl = 0.

Если с учетом преобразования Лежандра u = A + T h подставить

а затем полученное равенство вычесть из неравенства Клаузиуса–

где ρ — плотность среды; t — время. Это неравенство линейно относительно производных ∂Vij/∂t, ∂T /∂t и ∂ϑi/∂t, которые в соответствии с (1.1) не являются реактивными переменными. Тогда при произвольных значениях этих скоростей и линейности относительно Vij первого слагаемого в левой части (1.3) получим в качестве достаточных условий реализуемости рассматриваемого термомеханического процесса равенства

и общее диссипативное неравенство вида δD − qiϑi/T > 0, где в дан-

ном случае диссипативная функция δD = σij(D)Vij. Так как из первого равенства (1.4) следует, что A(D) не зависит от Vij, далее можно принять A = A◦. Если считать, что процессы вязкого деформирования и распространения теплоты независимы, то должно выполняться каждое из неравенств

характеризующих диссипацию энергии в этих двух процессах. Закон сохранения энергии в данном случае принимает вид

теплоты. Дальнейшая конкретизация (1.6) связана с заданием вида функций A, qi и σij(D). В случае рассматриваемой среды используем для A и qi те же соотношения, что и в классической термоупругости,

и введем тензор Rb коэффициентов вязкости с компонентами

Rijkl, удовлетворяющими условиям симметрии Rijkl = Rjikl = Rijlk = = Rklij и неравенству RijklVklVij > 0 для произвольных Vij. Положив

σij(D) = RijklVkl и подставив в (1.6) соотношения для A, h и закона Био– Фурье классической термоупругости, получим форму записи закона сохранения энергии в виде уравнения теплопроводности

где cε — удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации; ε(ijT ) — компоненты тензора температурной деформации, и с учетом равенства Vij = ∂εij/∂t придем к соотношению

где Cijkl — компоненты тензора коэффициентов упругости, которое определяет анизотропную термовязкоупругую среду Кельвина — Фойгта. Отметим, что последнее слагаемое в правой части (1.7) имеет при Vij → 0 более высокий порядок малости по сравнению с остальными слагаемыми и им можно пренебречь.

Для изотропной среды Rijkl = λDδijδkl + µD(δikδjl + δilδjk), где λD и µD — коэффициенты, аналогичные константам Ламе λ и µ. При этом

Если вязкие свойства среды не проявляются при объемной деформации, т. е. выполняется условие Стокса (λD + 2µD/3 = 0), то (1.9) принимает

вид σij(D) = 2µD(Vij − Vkk δij/3). В этом случае для изотропной среды вместо (1.8) получаем

41. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

где ε(T ) — температурная деформация среды, а eij = εij − εkk δij/3 —

компоненты девиатора деформации.

С учетом (1.8) уравнения движения для рассматриваемой термовяз-

где ui и bi — проекции на оси Oxi векторов u перемещения и b

где (˙·) = ∂(·)/∂t. Для получения единственного решения системы дифференциальных уравнений (1.7) и (1.11) (или (1.12) ) используют краевые условия, принятые в классической термоупругости.

Рассмотрим более подробно вопрос о различии между вязкоупругим твердым телом и жидкостью. Интуитивно ясно, что упругая среда является твердым телом, а вязкая среда — жидкостью, для вязкоупругой среды ситуация существенно сложнее, так как она проявляет признаки как упругого, так и вязкого поведения.

Будем различать жидкость и твердое тело при помощи следующего простого, но нестрогого рассуждения. Пусть рассматриваемое термовязкоупругое тело изотропно и однородно. Тогда компоненты девиатора напряжений sij = σij − σkkδij/3 связаны с eij соотношением

sij = 2µeij + 2µDe˙ij, откуда

Для однородной вязкой жидкости в случае малой деформации ком-

= 2µDe˙ij. Если e˙ij = 0, то для вязкоупругой среды sij = 2µeij 6= 0, а для вязкой жидкости sij = 0. В случае полимеров, если их рассматривать на микроуровне, различие между твердым и жидким состояниями достаточно простое: в жидком состоянии отдельные цепи молекул не

связаны между собой и за длительные промежутки времени обладают неограниченной подвижностью по отношению друг к другу, а в твердом состоянии между цепями молекул имеются дискретные химические связи, называемые поперечными, которые и препятствуют неограниченному течению.

На рис. 1.1 представлен механический аналог, соответствующий (1.13) при одноосном растяжении. Он состоит из упругого элемента, перемещение u которого линейно зависит от приложенной силы PC , т. е.

что с точностью до обозначений совпадает с (1.13). Отметим, что механический аналог, соответствующий ньютоновской жидкости, содержит лишь элемент вязкого трения.

Если в (1.13) принять sij = s◦ijH(t), где s◦ij = const, а H(t) —

функция Хевисайда (H(t) = 1 при t > 0 и H(t) = 0 при t < 0), то

где δ(t) = — дельта-функция, обладающая в данном случае по dt

отношению к произвольной непрерывной в точке t0 (0, t) функции f(t0) свойством

t

Z

f(t0)δ(t0 − t0) dt0 = f(t0);

0

φ(t) = 1 − exp(−t/t ) — функция ползучести; t = µD/µ — время запаздывания.

61. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

1.2.Модель среды, учитывающая скорость изменения напряжений

Влияние скорости изменения тензора напряжений на поведение термовязкоупругой среды можно учесть введением при помощи преобразо-

вания Лежандра термодинамического потенциала Гиббса

где ρ — плотность среды; A — массовая плотность свободной энергии; εkl — компоненты тензора малой деформации. Аргументами этого потенциала являются компоненты σkl тензора напряжений и

их скорости σ˙ kl = ∂σkl/∂t изменения во времени t, абсолютная температура T и ее градиент с проекциями ϑk = ∂T /∂xk на оси Oxk системы

пространственных координат.

Общее диссипативное неравенство, выражающее второй закон

торые не являются реактивными переменными. Поэтому достаточные условия его выполнения имеют вид

т. е. G не зависит от σ˙ ij и ϑi.

Положим εij = ε◦ij −ε(ijD), где ε◦ij не зависят от σ˙ ij, а ε(ijD) не зависят от σij. Тогда из неравенства в (1.17) следует ε◦ij = −ρ∂G/∂σij, и в общем

диссипативном неравенстве в данном случае диссипативная функция

δD = ε(ijD)σ˙ ij, а закон сохранения энергии принимает вид

При малых скоростях изменения компонент тензора напряжений можно принять ε(ijD) = −Dijklσ˙ kl + Gijkϑk, где Dijkl и Gijk должны быть

81. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

Если eij = e◦ijH(t), где e◦ij = const, H(t) — функция Хевисайда, то по аналогии с (1.15) sij = 2µe◦ijψ(t), где ψ(t) = 1 − exp(−t/t ) — функция релаксации, а время релаксации в данном случае равно t = 4µD2.

Явление, при котором напряжения измененяются во времени при постоянной деформации, называют релаксацией напряжений.

В соответствии с (1.20) и третьим равенством (1.17) имеем

где αij(T ) = ∂ε(ijT )/∂T = const — компоненты тензора коэффициентов температурной деформации. Подставляя h в (1.18) и вводя удельную массовую теплоемкость cσ = cε + TCijklαkl(T )αij(T )/ρ при постоянных напряжениях, где cε = −T d2B/dT 2 — удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации, с учетом закона Био–Фурье получаем уравнение теплопроводности, в котором учтена связь между полями температуры и напряжений:

где λ(ijT ) — компоненты тензора теплопроводности. Для решения этого уравнения помимо зависимостей σ˙ ij от времени и пространственных координат должны быть заданы краевые условия, принятые в теории теплопроводности.

1.3.Термовязкоупругая среда

свнутренним параметром состояния

Один из возможных вариантов построения математической модели

(ММ) термовязкоупругой сплошной среды основан на использовании ее внутренних параметров термодинамического состояния. Введем тензорный внутренний параметр с компонентами χij, i, j = 1, 2, 3, изменение которых во времени t в линейном приближении описывает обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)

где tσ — время релаксации параметра с компонентами χij; χij — его значение в равновесном термодинамическом процессе. Этому ОДУ

удовлетворяет функция

По аналогии с соотношением для термоупругой среды с внутренни-

ми параметрами состояния массовую плотность свободной энергии A

с учетом |χij| 1 представим в виде

малой деформации, коэффициентов упругости и температурной деформации соответственно; T — абсолютная температура. Примем, что при температуре T0 естественного состояния εij = ε(ijT ) = χij =

∂A

= 0 и B(T0) = 0. Тогда A(0,T0,0) = 0 и с учетом равенств σij = ρ ∂εij и h = −∂A∂T , отождествляя при малой деформации тензоры напряжений Коши и Пиолы — Кирхгофа, получаем с использованием (1.25) соотношения для компонент тензора напряжений и массовой плотности энтропии

где cε = −T d2B/dT 2 — удельная массовая теплоемкость при посто-

янной деформации; λ(ijT ) — компоненты тензора теплопроводности;

10 1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

qV — объемная плотность мощности внутренних источников тепло-

ты, а диссипативная функция

С целью дальнейшей конкретизации соотношений для σij примем

∂T

линейную зависимость χij = Xijklεkl + γij(T − T0) + Fijk ∂xk и с учетом

(1.23) и (1.27) подставим в общее диссипативное неравенство:

Отсюда, полагая, что процессы деформирования и изменения χij связаны между собой и не зависят от изменения температуры и распространения теплоты, получим достаточные условия реализации этих процессов в виде

Используя (1.24) и (1.28), соотношения для σij можно представить в виде

дифференцировать (1.29) по времени, полученный результат умножить на tσ и сложить с (1.29), то получим

Это равенство в сочетании с (1.26) определяет анизотропную стандартную линейную термовязкоупругую сплошную среду. Для изо-

тропной среды Rijkl0 = λ0δijδkl + µ0(δikδjl + δilδjk), где δij — символ