МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 55

31

и вектора плотности теплового потока. В данном случае примем их в

не противоречащем принципам рациональной термодинамики. Кроме

Задав выражение для χi в виде второго равенства (73), с учетом

(68) в уравнения движения среды получим систему трех интегродифференциальных уравнений с частными производными

= D1δijδkl + D2(δikδjl + δilδjk)), учитывающие влияние скорости изменения градиента абсолютной температуры на вектор перемещения u с проекциями ui на оси Oxi системы пространственных координат.

Для однозначного решения (74) и (75) используют начальные усло-

32

где T˙ ◦ — известное в начальный момент времени t = 0 значение скорости изменения абсолютной температуры, а остальные функции совпадают с введенными в (10). Для (75) справедливы граничные условия (11), а для (74) вместо граничных условий (21) имеем

однородных алгебраических уравнений

B11X + B12[T ] = 0, B21X + BT [T ] = 0,

где B11 — матрица третьего порядка с элементами B11ik = Cijklnj nl − ρ(Dn)2δik; B12 —

равенства нулю определителя этой системы, что приводит в общем случае к четырем различным значениям Dn. По аналогии с терминологией, принятой для ММ классической термоупругости, значения Dn можно назвать скоростями распространения квазиупругой термоупругой волны и скоростью квазитемпературной волны.

Скорости распространения упругих возмущений и теплоты можно получить из условий det(B11) = 0 и BT = 0 соответственно. Для изотропной среды первое условие приводит к (31),

q

а из второго условия следует Dq = λ(T )/(ρcεtq). Отметим, что (74) в отличие от (18)

описывает процесс теплопроводности с конечной скоростью распространения теплоты,

q

для анизотропной среды равной Dq = λ(ijT )ni nj /(ρcεtq). Кроме того, (74) учитывает неравновесность процесса аккумуляции теплоты и эффекты связанности полей температуры и деформации. Ясно, что Dq → ∞ при tq → 0, что присуще ММ класической термоупругости.

33

6. Термоупругая среда с фазовыми переходами

При изменении фазы вещества (при фазовом переходе) происходит качественное изменение свойств вещества. Рассмотрим фазовые переходы в кристаллическом твердом теле (сплаве), т. е. превращение исходной высокотемпературной фазы, часто называемой аустенитом, в низкотемпературную, называемую мартенситом, а также обратный переход низкотемпературной фазы в высокотемпературную. Превращения такого типа называют фазовыми переходами второго рода (в отличие от фазовых переходов первого рода, когда вещество изменяет свое агрегатное состояние), характерным признаком которых является изменение типа кристаллической решетки. Такой фазовый переход может быть инициирован не только охлаждением или нагреванием тела, но и приложенными к нему напряжениями.

Характер фазовых переходов при нагреве и охлаждении в общем случае различен. Полагают, что фазовый переход аустенита в мартенсит начинается при температуре Ms и заканчивается при температуре Mf . Обратный переход (мартенсита в аустенит) начинается при температуре As и заканчивается при температуре Af . В общем случае Af > Ms > As > Mf и Ms − Mf 6= Af − As. В связи с трудностями при определении последних небольших количеств остаточного мартенсита температуру Af принимают соответствующей объемной доле мартенсита в сплаве, равной 0,01, а температура Mf — объемной доле аустенита в сплаве, равной 0,01.

При построении математической модели (ММ) термомеханических процессов с фазовыми переходами используем соотношения для сплошной среды с внутренними параметрами состояния. Как и в ??, состояние среды в окрестности любой точки M V в объеме V среды определим четырьмя термодинамическими функциями (активными переменными:

массовой плотностью свободной энергии A и энтропии h, тензором напряжений с компонентами σij = σji (i, j = 1, 2, 3) и вектором плотности теплового потока с проекциями qi на оси Oxi системы пространственных координат). Аргументами этих функций будут

реактивные переменные: тензор малой деформации с компонентами εij = εji, абсолютная температура T и внутренний параметр состояния χ [0, 1], равный, например, объемной доле мартенсита в сплаве. Тогда запишем

Использовав преобразование Лежандра u = A + T h, где u — массовая плотность

внутренней энергии, с учетом (78) приведем уравнение закона сохранения энергии к виду

В силу произвольности значений ε˙ij, T˙ и ϑ˙i отсюда следуют достаточные условия

реализации фазового перехода как простого термомеханического процесса.

34

Примем, что малы как полная деформация (|εij| 1), так и температурная и фазовая

B(T0,0) = 0. Отметим, что при εij = 0 из (81) следует A = B, т. е. при отсутствии полной деформации свободная энергия тела зависит лишь от T и χ.

(T )

Из (81) и первого равенства (80) дифференцированием получим σij = Cijkl(εkl − εkl −

ε(klχ)). Отсюда εij = Sijklσkl + ε(ijT ) + ε(ijχ), где Sijkl — копоненты тензора коэффициентов податливости. В случае изотропного материала в этих равенствах следует использовать

(5) и (6).

Подставив (80) в (79) и отбросив слагаемые, содержащие линейную и квадратичную

λ(ijT ) = λ(ijT )(T,χ) — компоненты тензора теплопроводности, придем к уравнению теплопроводности в виде

∂2B

где cε = −T ∂T 2 — удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации; mε =

∂2B

= T ∂T ∂χ — удельная массовая конфигурационная теплоемкость при постоянной дефор-

мации (количество энергии, затрачиваемой на фазовый переход единицы массы в единицу времени при постоянной деформации). Отметим, что в (82) второе слагаемое в левой части и последнее слагаемое в правой части отличны от нуля при t [ts, tf ], где ts и tf — моменты времени соответственно начала и окончания фазового перехода.

Как следует из (82), характер изменения внутреннего параметра состояния χ может существенным образом влиять на процесс теплопроводности в зоне фазового перехода. Для определенности рассмотрим переход мартенсита в аустенит, происходящий при T [As, Af ]. Кинетическое уравнение для определения χ запишем в виде tχχ˙ = χ − χ, где tχ — время релаксации параметра χ, а χ = χf = 0,01 — его установившееся значение, равное объемной доле мартенсита в сплаве к моменту окончания фазового перехода при T = Af . Из этого уравнения следует, что

где χs = 0,99 — объемная доля мартенсита при t = ts.

36

Рис. 0.3

При помощи (83) – (86) можно провести анализ кинетики фазовых переходов в сплавах с эффектом памяти формы и оценить влияние этого явления на процесс теплопроводности при t [ts, tf ]. Рассмотрим тело с однородной по объему V температурой T и положим δD = = 0 и qV = 0. Тогда, пренебрегая в левой части (82) третьим слагаемым, характеризующим эффект термомеханической связанности, получим

где α — коэффициент теплообмена тела с окружающей средой, имеющей температуру Tс; S — поверхность тела.

Численное решение с использованием (83) – (87) позволяет выявить влияние параметра

поступающая от окружающей среды теплота идет на повышение температуры тела, т. е. mε

в (87) опущено второе слагаемое в левой части, а значение cε увеличено на Af − As .

Штриховые линии на рис. 2 и рис. 3 построены с использованием (83), штрихпунктирные — с использованием (85), помеченные крестиком — (84), кружком — (86), кривые 1 построены при tχ = 10, а кривые 2 — при tχ = 0,1. Дополнительный анализ показывает, что при cε(Tс − T0)/mε > 1 уменьшается влияние изменения χ на изменение θ. Это связано с относительным снижением затрат энергии на фазовый переход.

7. Термоупругая среда скоростного типа

Одним из возможных вариантов линейной термоупругой сплошной среды является среда, при построении математической модели (ММ) которой наряду с такими реак-

тивными переменными, как компоненты εij (i, j = 1, 2, 3) тензора малой деформации, абсолютная температура T , проекции ϑi ее градиента на оси Oxi прямоугольной системы координат (аргументы активных переменных), используют скорость T˙ = ∂T /∂t изменения температуры во времени t. При построении ММ такой среды введем в рассмотрение тер-

˙ →

модинамическую температуру Φ, совпадающую с абсолютной температурой, если Φ 0.

38

итензора деформации. Тогда (после проделанных выкладок) δD = −ρ(∂A/∂T + h∂Φ/∂T )T˙

иупрощаются выражения (90):

Дальнейшая конкретизация ММ рассматриваемого варианта термоупругой среды связана с выбором вида функций свободной энергии и термодинамической температуры. Зададим их в следующей форме:

где Cijkl и ε(ijT ) — компоненты тензора коэффициентов упругости и тензора темпера-

турной деформации соответственно; γij(T ) — компоненты тензора, определяемого скоростью

изменения абсолютной температуры. Отметим, что Ψ(T,T˙ ) = 0 при T = T0 и T˙ = 0. Отсюда с учетом первых двух равенств из (91) получаем

а при εij = 0 имеем ρA(0,T,T˙ ,ϑk) = Dijϑjϑi/2 + ρB(T,T˙ ) + Ei(T,T˙ )ϑi. Последнее равенство

ветственно для ММ классической термоупругости и ММ, описывающей релаксационные эффекты при распространении и аккумуляции теплоты, оно отличается учетом скорости T˙ изменения абсолютной температуры.

Так как σij = 0 при εkl = ε(klT ) = γkl(T ) = 0, то Fijk = 0. Если считать T ≈ T0, то можно