МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 55

В предположении, что напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия (45) и силовым граничным условиям , т. е. являются статически возможными, а перемещения удовлетворяют кинематическим граничным условиям (11), из (54) с учетом (50) получим функционал

ZZ

J[ui,σij] = Φ[ui] − σijεij dV + σijnjuei dS,

VSu

что позволяет после представления при помощи соотношений Коши и

(2) перемещений и деформаций через напряжения записать функционал

где Sijmn — компоненты тензора коэффициентов податливости ма-

териала тела. Для изотропной термоупругой среды с учетом (6) в (55) получаем

V

где sij = σij − σmmδij/3 — компоненты девиатора напряжений. Функционал (55) допустимо рассматривать на статически возмож-

ных распределениях напряжений σij(M), M V S. В частном случае отсутствия температурной деформации (55) переходит в функционал Кастилиано, достигающий максимума на истинном распределении напряжений σij(M), M V S. При наличии температурной деформации I[σij] также достигает максимума на распределении σij(M). Действительно, для любого статически возможного распределения σij(M) = σij(M) + δσij(M) из (55) и (56) с учетом соотношений Коши, (45) и (54) получим

22

Из проведенных преобразований следует J[ui ] = I[σij], и поэтому справедлива цепочка неравенств

Таким образом, функционалы (50) и (55) вместе со своими условиями стационарности δJ[ui ] = 0 и δI[σij] = 0 составляют двойственную вариационную форму ММ термоупругости для линейной термоупругой среды. Такая форма позволяет не только провести приближенный численный анализ ММ, но и получить оценку возникающей при этом погрешности.

Второй вариант интегральной формы ММ термоупругости основан на обобщении для неравномерно нагретого тела теоремы Бетти — Максвелла.

Пусть в окрестности одной и той же точки тела под действием двух различных систем нагружающих факторов возникают два различных напряженно-деформированных состояния, определяемых тензорами σ,

где Cb и αb(T ) — тензоры коэффициентов упругости и температурной деформации соответственно; T и T 0 — отклонения температуры в рассматриваемой точке тела от температуры T0 естественного состояния для двух систем нагружающих факторов. Проведем свертывание тензоров в первом равенстве с тензором bε0, во втором равенстве — с тензором bε, а затем вычтем почленно из первого результата второй. Тогда получим

или в записи через компоненты этих тензоров с учетом симметрии тензоров второго ранга

23

Отсюда с учетом силовых граничных условий и (45) приходим к обобщению утверждения теоремы Бетти — Максвелла в виде

где штрихом отмечены параметры, соответствующие второй системе нагружающих факторов. Для изотропной термоупругой среды вместо последнего равенства с учетом (5) получим

где α(T ) — температурный коэффициент линейного расширения ма-

териала тела.

Во второй системе нагружающих факторов примем T 0 ≡ 0 и b0i(M) = fi(M0)δ3(M,M0), где δ3(M,M0) — дельта-функция, обла-

дающая в случае функции fi(M), M V = V S, непрерывной на

замыкании V области V , свойством

где Ω(M0) — телесный угол, под которым из точки M0 V видна «внутренность» области V (в частности, Ω(M0) = 4π при M0 V и

= 1, 2, 3, т. е. b0l(M) = δ3(M,M0) является единичной сосредоточенной силой, приложенной в точке M0 V∞ в направлении оси Oxl. Эта сила в точке M V вызывает перемещения

где r(M,M0) — расстояние между точками M и M0, а дифференцирование проводится по координатам точки M.

24

При помощи (61), используя соотношения Коши и обобщенного закона Гука, можно найти

σij(l)(M,M0) = λε(kkl)(M,M0)δij + 2µε(ijl)(M,M0),

а затем вычислить проекции p(il)(M,M0) = σij(l)(M,M0)nj(M) вектора напряжений на площадку, проходящую через точку M и имеющую на-

правляющие косинусы nj(M) единичного вектора n(M) нормали к этой площадке. Подставляя в (59) u(il)(M,M0) вместо u0i, p(il)(M,M0) вместо p0i и δ3(M,M0)δil вместо b0i(M), с учетом указанного выше свойства дельта-функции получаем так называемое граничное интегральное уравнение

элементов можно найти недостающие значения ul(M0) и pl(M0) в граничных точках M0 S, а затем и значение ul(M0) в любой внутренней точке M0 V .

4. Двусторонние оценки характеристик неоднородных материалов

Реальные материалы по своей структуре являются неоднородными. Металлы и сплавы состоят из кристаллических зерен, в пределах каждого из которых пространственную ориентацию кристаллографических осей можно считать фиксированной. Такие материалы принято называть поликристаллическими. Свойства отдельных зерен и пространственная ориентация их кристаллографических осей определяют характеристики такого поликристаллического материала в целом. К композиционным (или композитам) относят материалы, образованные объемным сочетанием химически разнородных компонентов с четкой границей раздела между ними. Обычно композиты состоят из связующего компонента (матрицы), объединяющего включения в виде порошков, волокон, нитевидных кристаллов, пленок, ткани и т. п. Ясно, что характеристики композита также зависят от свойств матрицы и включений. Наименьший объем V0, усреднение по которому свойств компонентов материала дает представление о характеристиках материала в целом, назы-

вают представительным.

Двойственная вариационная форма математической модели (ММ) линейной анизо-

тропной термоупругой среды позволяет получать оценки термомеханических характеристик неоднородного материала по известным свойствам компонентов, составляющих этот

25

материал. Такие оценки представляют интерес, например, при создании новых материалов путем варьирования их структуры и компонентов.

Сначала рассмотрим поликристаллический материал, состоящий из хаотически ориентированных кристаллических зерен с одинаковыми свойствами. Это может быть металл либо интерметаллид в чистом виде или с однородной концентрацией примесей в виде твердого раствора. Благодаря хаотической ориентации зерен такой материал по отношению к представительному объему V0 можно считать изотропной линейной термоупругой сплошной средой, т. е. изотропным по отношению к усредненным по V0 компонентам тензоров напряжений и деформации, определенным в прямоугольной системе координат:

причем связь σij и εmn в отдельно взятом зерне устанавливается законом Дюамеля — Неймана (3)

Здесь T — изменение температуры относительно температуры T0 естественного состо-

яния, а компоненты Cklmn и α(mnT ) тензоров коэффициентов упругости и температурной деформации, как и компоненты тензоров напряжений и деформации, определены в соответствии с ориентацией кристаллографических осей Oξk этого зерна.

Модули упругости, связывающие эти усредненные компоненты и называемые эффективными, введем из условия равенства объемной плотности потенциальной энергии деформации в изотропной среде и в реальном поликристаллическом материале при отсут-

ствии температурной деформации, т. е. с учетом (62)

деформированному состоянию, удовлетворяющему условиям равновесия и совместности деформаций. Обратным по отношению к (63) будет равенство

нентами εij. Такие распределения являются допустимыми для функционала (50), причем с учетом (57), (63) и соотношений Коши при отсутствии температурной деформации и

объемных сил имеем

Отсюда

Z

(Cijmn − Cijmn◦ )dV > 0,

V0

26

что равносильно неравенствам

Z

(Cklmn − Cklmn◦ )dV > 0,

V0

так как компоненты Cijmn◦ определяют изотропный тензор и сохраняют свои значения при любой ориентации осей координат. Для выполнения последних неравенств необходима неотрицательность двух линейных инвариантов тензора с компонентами Cklmn − Cklmn◦ , т. е.

ной плотности поверхностных сил, вызывающие напряженное состояние с компонентами σij◦ (M) = const, M V0, совпадающими с компонентами σij. Такое распределение напряжений является допустимым для функционала (55), поэтому с учетом (57) и (64) при отсутствии температурной деформации запишем

Отсюда

Z

(Sklmn − Sklmn◦ ) dV > 0,

V0

поскольку тензор с компонентами Cijmn◦ также является изотропным. Для выполнения этих неравенств необходимо, чтобы

где κ = λ + 2µ/3 — модуль объемной упругости. Если поликристаллический материал состоит из зерен с кубической кристаллической решеткой, то верхняя и нижняя границы для этого модуля совпадают и κ = (C11 + 2C12)/3 = (1/3)/(S11 + 2S12), где Cpq и Spq, p, q =

= 1, 6, — элементы матриц шестого порядка, соответствующих тензорам с компонентами Cklmn и Sklmn. При этом для модуля сдвига имеем

где индексы (·)V и (·)R обозначают верхнюю и нижнюю оценки, полученные в предположениях однородности деформированного состояния В. Фойгтом в 1928 г. и однородности напряженного состояния А. Рейссом в 1929 г. В случае зерен с гексагональной плотноупакованной кристаллической решеткой κV > κ > κR и µV > µ > µR, где в соответствии с

28

Крестиками отмечены экспериментальные значения модуля E.

Для двусторонней оценки эффективного значения температурного коэффициента линейного расширения α(T ) поликристаллического материала с хаотической ориентацией кристаллографических осей составляющих его однородных зерен рассмотрим представительный объем V0, заключенный в абсолютно жесткую оболочку. При однородном по этому объему изменении T температуры примем, что перемещения u◦i (M) ≡ 0, M V0. В этом случае ε◦ij(M) ≡ 0 и функционал (50) на таком допустимом для него распределении перемещений будет равен

поскольку подынтегральное выражение инвариантно относительно поворота кристаллографических осей. Значение α(T ) определим из равенства

деформации, соответствующих этому распределению. Для функционала (55) допустимым

Cklmnα(mnT )α(klT ) > 3κα(T )α(VT ) > 3κα(T ) 2α(VT ) − 3κSkkmmα(T ) .

Отсюда следуют верхняя оценка Cklmnα(mnT )α(klT )/(3κα(VT )) >α(T ) и нижняя оценка α(VT )/(3κSkkmm) 6 α(T ). Если кристаллические зерна обладают изотропией упругих характеристик, но сохраняют анизотропию по отношению к температурной деформации, то верхняя и нижняя

оценки сопадают и α(T )

5. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния

При достаточно быстром изменении температуры термоупругой сплошной среды возможно запаздывание во времени t изменения ее свойств. В этом случае математическая модель (ММ) такой среды,

29

характерная для классической термоупругости, требует уточнения. Воспользуемся термодинамическим подходом к построению уточненной модели, связанным с введением внутренних параметров состояния.

Для термоупругой среды, находящейся в состоянии термодина-

мического равновесия, одним из основных реактивных переменных, определяющих ее свободную энергию, является абсолютная температура T . Если же в среде протекает неравновесный термодинамиче-

ский процесс (или локально неравновесный, т. е. неравновесный в окрестности некоторой частицы сплошной среды), то можно в качестве внутреннего параметра состояния ввести еще и термодинамическую температуру Φ, которая совпадает с абсолютной в том случае, когда скорость изменения Φ равна нулю. Если T служит мерой средней кинетической энергии в равновесном процессе, то Φ — в неравновесном. Для описания процесса переноса теплоты в среде введем векторный внутренний параметр состояния χ, который, например, для кристаллических материалов можно ассоциировать с вектором плотности потока фононов.

Кинетические уравнения, описывающие изменения во времени Φ и χ, примем в линейном приближении в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

где tT и tq — времена релаксации внутренних параметров состояния, обратно пропорциональные частотам собственных колебаний молекул в неравновесном процессе и частотам взаимодействия фононов соответ-

ственно; Φ и χi — значения Φ и χi в равновесном термодинамическом процессе; χi — проекции вектора χ на оси Oxi системы пространственных координат. Этим ОДУ удовлетворяют функции

По аналогии с (14) в предположении |χ| 1 для массовой плотности свободной энергии запишем

30

где ρ — плотность среды; Cijkl — компоненты тензора коэффициен-

тов упругости Cb; εij — компоненты тензора малой деформации bε; βij = ε(Φ)ij − ε(ijT ); ε(Φ)ij и ε(ijT ) — компоненты тензоров температурной

деформации, определяемые температурами Φ и T соответственно, причем |εij| 1, |ε(Φ)ij | 1 и |ε(ijT )| 1. Ясно, что βij → 0 при Φ → T . При температуре T0 естественного состояния B(T0) = 0, B1(T0 ,T0) = 0,

т. е. свободная энергия — функция только деформации, а при εij = 0 свободная энергия зависит лишь от T , Φ и χi.

Поскольку при малой деформации можно отождествить тензоры

Поскольку при температуре T0 естественного состояния h = 0 и εkl = 0,

из (71) следует, что в этом состоянии dB/dT = 0, ∂B∂T1 = 0.

Подставив (71) в закон сохранения энергии, придем при условии малости деформации к закону сохранения энергии в виде уравнения

Диссипативная функция для рассматриваемой сплошной среды при

Дальнейшая конкретизация (70) и (71) связана с выбором вида функций для равновесных значений внутренних параметров состояния