0096 / Термех вариант 16 / Lektsii_TM_zaochniki
.pdf
Т.е. для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно чтобы суммы проекций всех сил на оси координат и суммы моментов всех сил относительно координатных осей были равны нулю.
Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно чтобы суммы проекций всех сил на оси координат были равны нулю:
n |
n |
n |
|
∑Fkx |
= 0, ∑Fky |
= 0, ∑Fkz = 0. |
(9.3) |
k=1 |
k=1 |
k=1 |
|
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма моментов всех сил, относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:
|
|
|
n |
n |
n |
R |
|
|
|
|
∑Fkx |
= 0, ∑Fky = 0, ∑MO (Fk ) = 0, |
(9.4) |
||
|
|
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
|
|
здесь MO (F) |
так называемый алгебраический момент, который равен мо- |
||||||
дулю момента силы, взятого с соответствующим знаком: |
|
||||||
|
|
|
|
MO (F) = ±F h . |
|
(9.5) |
|
|
|
|
Знак плюс берется, если сила стремится по- |
||||
|
|
F1 |
вернуть тело, вокруг выбранного центра, против |
||||
|
|
|
хода часовой стрелки, и знак минус в противном |
||||
|
h1 |
|
случае. |
|
|
|
|
|
|
Например (рис. 9.1): момент силы F1 |
будет со |
||||
F3 |
|
|
|||||
О h2 |
0 F2 |
|
|
MO (F1) = −F1 h1 , момент силы F3 - |
|||
|
знаком минус |
||||||
со знаком плюс MO (F3) = F3 h3 , а момент силы F2
будет равен нулю MO (F2 ) = 0 , т.к. плечо силы, от-
носительно центра О, равно нулю.
§10. Реакции связей. Распределенные силы.
Всё, что ограничивает перемещения тела в пространстве называют
связью.
Силой реакции связи (или реакцией связи, или реакцией опоры) называют силу, с которой связь действует на тело. Направлена сила реакции в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
21
NА |
|
YА |
RА |
RА |
|
|
|||
NB |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
T |
A |
XА |
A |
B |
|
|
|
|
Рис. 10.1 |
Рис. 10.2 |
Рис. 10.3 |
|
Рис. 10.4 |
RА |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
YА |
RА |
|
|
A |
|
|
|
|
|
MА |
XА |
|
|
|
A |
X |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.5 |
|
|
Рис. 10.6 |
|
1.Гладкая поверхность (гладкая опора). Реакция гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям в точке соприкосновения (рис. 10.1).
2.Нить. Реакция нити направлена вдоль нити к точке подвеса (рис.
10.2).
3.Цилиндрическая шарнирная неподвижная опора (неподвижный шарнир). Направление реакции может быть любым в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (рис.10.3). Ось шарнира проходит через центр шарнира (точка А), перпендикулярно плоскости рисунка. При решении задач, как правило, эту реакцию раскладывают на две взаимно перпендикулярные
составляющие X A и YA .
4.Цилиндрическая шарнирная подвижная опора (подвижный шарнир). Реакция направлена перпендикулярно поверхности, на которую шарнир опирается (рис. 10.4).
5.Стержень. Реакция прямолинейного стержня АВ (рис. 10.5) направлена вдоль его оси.
6.Жесткая заделка. В случае, когда все силы, действующие на тело
лежат в одной плоскости, в жесткой заделке возникнет сила реакции RA в
22
этой плоскости (рис. 10.6), которую раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие X A и YA , и пара сил, с заранее неизвестным моментом M A .
Распределенные силы.
Силы, действующие на тело, могут быть сосредоточенными или распределенными.
Сосредоточенная сила действует на тело в одной его точке. Распределенная сила действует на все точки данного объема или дан-
ной поверхности тела.
В случае плоской системы сил, сила может быть распределена вдоль отрезка прямой с интенсивностью q, которая показывает какая сила действует на единицу длины.
q 
qmax
l |
l |
Q |
Q |
l/2 |
l/3 |
l |
l |
Рис. 10.7 |
Рис. 10.8 |
1. Сила, распределенная равномерно вдоль участка длины l (рис. 10.7), с интенсивностью q, заменяется сосредоточенной силой, приложенной посередине участка, на котором сила распределена, и по модулю равной:
Q = q l . |
(10.1) |
2. Сила, распределенная по линейному закону вдоль участка длины l
(рис. 10.8), с интенсивностью, изменяющейся от нуля до некоторого максимального значения qmax , заменяется сосредоточенной силой, приложенной на расстоянии l / 3 от точки, где интенсивность максимальна, и по модулю равной:
Q = |
1 |
q l . |
(10.2) |
2 |
max |
|
|
|
23 |
§11. Трение скольжения. Трение качения.
При попытке сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения возникает сила трения скольжения, которая может изменяться от нуля до некоторого предельного (максимального) значения.
Модуль предельного значения силы трения равен:
|
|
|
Fmax = f N , |
(11.1) |
|
|
|
тр |
|
|
где f - статический коэффициент трения скольжения (безразмер- |
|||
ная величина, определяемая опытным путем), |
N - нормальная реакция |
|||
опоры (рис. 11.1). |
|
|
|
|
|
N |
|
Состояние, при котором сила трения |
|
|
|
достигает предельного значения, называется |
||
|
|
|
||
F |
|
F |
предельным состоянием равновесия. При |
|
|
|
|||
тр |
|
дальнейшем увеличении сдвигающей силы |
||
|
|
|
||
тело придет в движение. При движении тела
m g |
сила трения так же определяется формулой |
|
|
Рис. 11.1 |
(11.1), однако, коэффициент трения (в это |
|
случае называемый динамическим) несколько меньше статического. Трением качения называется сопротивление, возникающее при каче-
нии одного тела по поверхности другого.
Сопротивление качению можно учесть за счет введения момента трения качения (момента сопротивления качению) (рис. 11.2), равного
Mтр = k N , |
(11.2) |
где k - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины, N - нормальная реакция опоры.
M тр
F
m g
N
F тр
Рис. 11.2
24
III. Динамика.
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.
§12. Законы Ньютона. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
В основе динамики лежат законы, которые впервые были изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году.
Первый закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.
Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции. Система отсчета, в которой справедлив закон инерции называют инерциальной системой отсчета. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.
Второй закон (основной закон динамики): произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.
R
ma = F . (12.1) Если на точку действует одновременно несколько сил, то основной за-
кон динамики, принимает следующий вид
R |
n R |
|
|
= ∑Fk . |
(12.2) |
||
ma |
k=1
Второй закон динамики справедлив в инерциальной системе отсчета. Инертность – способность тела сохранят свое движение при отсут-
ствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела.
Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела.
Третий закон (закон равенства действия и противодействия): две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противопо-
25
ложные стороны.
Задачи динамики.
Первая задача динамики: зная закон движения точки, определить действующую на нее силу.
Вторая (обратная) задача динамики: зная действующие на точку силы, определить закон движения точки.
Положение материальной точки в инерциальной системе отсчета, как известно можно определять ее радиус-вектором. Сила, действующая на точку, в общем случае может зависеть от положения точки, скорости и времени. Следовательно, основное уравнение динамики точки (12.1) можно записать:
R |
R R |
|
&& |
& |
(12.3) |
mr |
= F(r,r,t). |
Это равенство является дифференциальным уравнением, в котором радиус-вектор является функцией, а время – аргументом. Это уравнение
называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.
Спроектируем обе части уравнения (12.3) на неподвижные оси декартовых координат и учтем, что на точку могут действовать несколько сил.
|
n |
n |
n |
|
&& |
&& |
&& |
= ∑Fkz . |
(12.4) |
m x |
= ∑Fkx , m y |
= ∑Fky , m z |
||
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
|
Уравнения (1.4) являются дифференциальными уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах.
§13. Механическая система. Центр масс. Дифференциальные уравнения движения центра масс.
Совокупность материальных точек или тел, движение (или равновесие) которой рассматривается, называют механической системой.
Действующие на механическую систему силы разделяют на внешние
и внутренние .
Внешними называют силы, действующие на точки или тела системы со стороны точек или тел, не входящих в данную систему.
Внутренними называют силы, с которыми точки или тела данной системы действуют друг на друга.
Внутренние силы обладают следующими свойствами:
1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю.
26
n R |
|
∑Fki = 0. |
(13.1) |
k=1
2.Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы
относительно любого центра или оси равняется нулю.
n R R
∑MO (Fki ) = 0;
k=1
n |
R |
|
∑Mx (Fki ) = 0 . |
(13.2) |
|
k=1
Центром масс или центром инерции называется геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством:
|
|
1 |
n |
|
|
rRc |
= |
∑mk rRk , |
(13.3) |
||
|
|||||
|
|
µ k=1 |
|
||
n
здесь µ = ∑mk - масса системы.
k=1
Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Обозначим
Fke – равнодействующую всех приложенных к k -ой точке внешних сил, Fki
– равнодействующую всех внутренних сил, тогда каждую точку можно рассматривать как свободную, и записать для неё второй закон Ньютона:
R |
e |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
&& |
, k =1,n . |
(13.4) |
||||
mk rk |
= Fk |
+ Fk |
||||
Данная система n уравнений представляет собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.
Теорема о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
|
|
|
|
R |
n R |
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
|
e |
|
|
(13.5) |
|
|
|
µ rc |
= ∑Fk . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
В проекции на оси координат равенство (13.5) имеет вид: |
|
||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
&& |
e |
, |
&& |
|
e |
, |
&& |
e |
(13.6) |
µ xc |
= ∑Fkx |
µ yc |
= ∑Fky |
µ zc |
= ∑Fkz . |
||||
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
Уравнения (13.6) также называют дифференциальными уравнениями движения центра масс системы.
Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, тогда из уравнения (13.5) следует, что центр масс этой системы движется равномерно и прямолинейно или находится в покое. Этот результат выражает собой закон сохранения движения центра масс системы.
27
§14. Количество движения. Импульс силы. Теорема об изменении количества движения.
Количеством движения материальной точки называется векторная величина mV , равная произведению массы точки на ее скорость.
Направлен вектор mV так же, как и скорость точки, т.е. по касательной к ее траектории.
Количеством движения механической системы называют векторную величину, равную геометрической сумме количеств движения всех точек системы:
R |
n |
R |
|
|
|
|
|
Q = ∑mk Vk . |
(14.1) |
||
k=1
Количество движения системы также можно по формуле:
|
R |
|
Q = µ Vc . |
(14.2) |
|
Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некото- |
||
рый промежуток времени, вводится понятие импульса силы. |
|
|
Элементарным импульсом силы называется векторная величина, рав- |
||
ная произведению силы на элементарный промежуток времени: |
|
|
dS = F dt . |
(14.3) |
|
Направлен элементарный импульс вдоль линии действия силы. |
|
|
За конечный промежуток времени t1 импульс силы вычисляется: |
|
|
R |
t1 R |
|
S |
= ∫F dt . |
(14.4) |
|
0 |
|
Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
dQ |
n |
R |
|
|
= ∑Fke . |
(14.5) |
|||
dt |
||||
k=1 |
|
|
||
Теорема об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.
R |
R |
n R |
|
Q1 |
− Q0 |
= ∑Ske , |
(14.6) |
k=1
28
здесь Q0 – количество движения системы в момент времени t = 0 , Q1 – количество движения системы в момент времени t1 .
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то из уравнения (14.5) следует, что при этом количество движения системы остается постоянным по модулю и направлению.
n |
R |
R |
∑Fke = 0 |
Q = const. |
|
k=1 |
|
|
Это следствие выражает закон сохранения количества движения системы (закон сохранения импульса).
§15. Момент инерции.
Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Моментом инерции точки относительно данной оси (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния до этой оси.
(15.1)
Моментом инерции системы относительно данной оси называется скалярная величина, равная сумме моментов инерций всех точек, входящих в систему:
n |
|
Jz = ∑mk hk2 . |
(15.2) |
k=1 |
|
Единицы измерения момента инерции в СИ – [кг / м2 ]. |
|
Радиусом инерции ρ относительно оси, называют расстояние от оси до
точки, в которой нужно сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси. По определению имеем:
J |
z |
= mρ2 |
, |
(15.3) |
|
|
|
|
здесь m – масса системы, Jz – ее момент инерции относительно данной оси, ρ – радиус инерции системы относительно этой же оси.
Момент инерции относительно произвольной оси, параллельной данной находится с помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси,
29
ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.
J |
z' |
= J |
cz |
+ md2 |
(15.4) |
|
|
|
|
Моменты инерции некоторых тел. 1. Тонкий однородный стержень.
ось проходит через конец стержня: J = 1 ml2 ,
3
ось проходит через центр стержня: J = 1 ml2 .
12
2.Тонкое круглое однородное кольцо: J = mR2 .
3.Круглая однородная пластина или цилиндр: J = 1 mR2 .
2
M O 
M V 
M V
M
R
Рис. 16.1
Вектор момента количества движения точки направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор количества движения и центр O , в ту сторону, откуда движение точки вокруг выбранного центра видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 16.1). Его модуль равен:
MO (mV) = mVh . (16.2)
Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра называется величина равная
30