0096 / Термех вариант 16 / Lektsii_TM_zaochniki

Равенства (4.1) называются уравнениями движения плоской фигуры или уравнениями плоского движения твердого тела.

Первые два из уравнений (4.1) (при φ = const ) определяют поступа-

тельное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение (при xA = const, yA = const ) определяет вращательное движение фигуры вокруг оси, проходящей через полюс А перпендикулярно плоскости OXY (далее для краткости будем говорить - вокруг полюса). Т.е движение плоской фигуры может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса, а также угловая скорость и угловое

11

(4.4) Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры.

Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом для любой точки можно записать:

Зная положение МЦС можно определить направление скорости любой точки тела в данный момент времени. Скорость произвольной точки плоской фигуры в данный момент времени направлена перпендикулярно прямой, соединяющей данную с МЦС, в соответствии с направлением вращения.

Некоторые частные случаи определения мгновен5ного центра скоростей:

т.е перпендикулярно соответствующим радиусам (прямым, соединяющим данную точку и МЦС). Например (рис. 4.5) скорость точки А направлена перпендикулярно АР, а скорость точки В - ВР.

13

направлению. Такое движение называют мгновенно поступательным. Угловая скорость тела в этот момент времени равна нулю.

пресечении АВ и прямой, соединяющей концы векторов

VA и VB , получим МЦС.

4) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки А фигуры и ее угловая скорость ω, то МЦС лежит на перпендикуляре к VA на расстоянии

PA = VA от точки А, что следует из (4.5).

ω

Ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

Ускорения точек А и М также можно представить в виде суммы касательной и нормальной составляющих, если они двигаются по известным криволинейным траекториям.

14

§5. Сложное движение точки.

Движение точки по отношению сразу к двум системам отсчета, одна из которых неподвижна, а вторая движется определенным образом относительно первой, называется составным или сложным.

рение), это скорость (ускорение) той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М (рис. 5.1). Обозначаются Vпер , aпер .

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета OXYZ называется абсолютным движением. Скорость и ускорение точки при этом движении называются абсолютными и обозначаются Vаб , aаб .

Теорема о сложении скоростей. Абсолютная скорость точки при сложном движении геометрически складывается из относительной и переносной скоростей:

Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Абсолютное ускорение точки при сложном движении геометрически складывается из относительного, переносного и кориолисова ускорений:

Относительные скорость и ускорение находят, считая подвижную систему отсчета неподвижной. Переносные скорость и ускорение находят, полагая, что точка неподвижна относительно подвижной системы отсчета.

15

Кориолисово ускорение находится по формуле:

происходящим против хода часовой стрелки Рис. 5.2

(рис. 5.2).

II. Статика.

Статика – это раздел механики изучающий условия равновесия механических систем под действием сил.

§6. Основные понятия и аксиомы статики.

Сила – основная мера механического взаимодействия материальных

тел.

Сила характеризуется модулем, направлением и

Если линии действия всех сил пересекаются в одной точке, то система сил называется сходящейся.

Если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, то система сил называется плоской, а если не лежат, то – пространственной.

Если одну систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.

16

Если под действием данной системы сил тело находится в равновесии, то эта система сил называется уравновешенной или эквивалентной нулю.

Аксиома 1. Твердое тело, под действием двух сил, может находиться в равновесии тогда, и только тогда, когда эти силы равны по модулю, и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 2. Состояние покоя или движения тела не изменится, если к действующей на него системе сил прибавить или отнять уравновешенную систему сил.

Следствие. Силу можно перенести вдоль линии действия силы из данной точки в любую другую.

Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, которая равна их геометриче-

Аксиома 4. (Закон равенства действия и противодействия). При действии одного тела на другое силы их взаимодействия равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 5. (Принцип отвердевания). Равновесие деформируемого тела не изменится, если его считать абсолютно твердым (отвердевшим).

§7. Момент силы. Пара сил.

Моментом силы относительно неподвижного центра называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из центра момента в точку приложения силы, на вектор силы:

ствия пары, в ту сторону, откуда пара видна стремящаяся повернуть тело против хода часовой стрелки. Вектор момента пары - свободный, т.е. его можно считать приложенным к любой точке тела.

Модуль момента пары равен произведению модуля одной из сил на плечо пары:

(7.5)

Теорема Вариньона: Если система сил F1, F2 ,K,Fn имеет равнодей-

ствующую R , то момент этой равнодействующей, относительно произвольно выбранного центра, равен геометрической сумме моментов всех сил системы, относительно того же центра.

k=1

§8. Теорема о параллельном переносе силы. Приведение произвольной системы сил к данному центру.

Теорема о параллельном переносе силы: Силу, приложенную к твердому телу, не изменяя состояния покоя или движения тела, можно перенести из данной точки в любую другую, параллельно самой себе, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы отно-

19

которой равен моменту силы F , относительно точки В (рис.8.1), согласно формулам (7.4) и (7.1), имеем:

т.о. теорема доказана.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил, входящих в систему.

k=1

Главным моментом системы сил относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов всех сил системы относительно того же центра.

k=1

При помощи теоремы о параллельном переносе силы можно произвольную систему сил привести к данному центру.

Теорема Пуансо: Любая система сил при приведении к произвольному центру заменяется одной силой, равной главному вектору (8.1) и приложенной в центре приведения, и одной парой сил с моментом равным главному моменту сил (8.2) относительно центра приведения.

§9. Условия равновесия систем сил.

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно чтобы главный вектор системы сил и главный момент системы сил относительно произвольно выбранного центра были равны нулю:

Данные равенства выражают условия равновесия произвольной пространственной системы сил в векторной форме. Спроецировав (9.1) на оси координат получим условия равновесия произвольной пространственной системы сил в координатной форме:

20