Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_TM_zaochniki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2023

Размер:

642.28 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Кафедра технической механики и инженерной графики

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Краткий конспект лекций для студентов – заочников.

Мурманск

2013

Т. В. Каиров.

Краткий конспект лекций по теоретической механике.

Данный конспект предназначен для студентов заочной формы обучения инженерных специальностей и направлений. Содержит основные теоретические сведения, необходимые для самостоятельного решения контрольных работ и подготовке к зачету (экзамену).

Содержание
I. Кинематика.......................................................................................................	4
§1. Кинематика точки......................................................................................	4
§2. Поступательное движение твердого тела................................................	8
§3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси................................	8
§4. Плоскопараллельное движение твердого тела. ....................................	10
§5. Сложное движение точки........................................................................	15
II. Статика...........................................................................................................	16
§6. Основные понятия и аксиомы статики..................................................	16
§7. Момент силы. Пара сил...........................................................................	17
§8. Теорема о параллельном переносе силы. Приведение произвольной
системы сил к данному центру...............................................................	19
§9. Условия равновесия систем сил.............................................................	20
§10. Реакции связей. Распределенные силы. ..............................................	21
§11. Трение скольжения. Трение качения...................................................	24
III. Динамика......................................................................................................	25
§12. Законы Ньютона. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки. ................................................................................	25
§13. Механическая система. Центр масс. Дифференциальные уравнения
движения центра масс..............................................................................	26
§14. Количество движения. Импульс силы. Теорема об изменении
количества движения. ..............................................................................	28
§15. Момент инерции. ...................................................................................	29
§16. Теорема об изменении кинетического момента.................................	30
§17. Работа. Мощность..................................................................................	32
§18. Потенциальное силовое поле. Потенциальная энергия.....................	33
§19. Теорема об изменении кинетической энергии. Закон сохранения
энергии. .....................................................................................................	35
§20. Принцип Даламбера. Уравнения кинетостатики................................	36
§21. Связи. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение
динамики. ..................................................................................................	38
§22. Обобщенные координаты. Уравнение Лагранжа второго рода........	40
Литература .........................................................................................................	43

I. Кинематика.

Кинематика – раздел механики изучающий механическое движение без учета причин, вызвавших это движение.

Механическое движение – изменение взаимного положения материальных тел в пространстве с течением времени.

§1. Кинематика точки.

Система отсчета – это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для отсчета времени.

Траектория – непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении.

Задачи кинематики: найти способы задания движения и, исходя из них, найти методы определения кинематических величин, характеризующих данное движение (скорость, ускорение).

Задать движение точки, значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить её положение по отношению к выбранной системе отсчета.

Способы задания движения точки.

1. Векторный способ.

Положение точки в пространстве будет вполне определено, если ее

радиус-вектор, проводимый из какого-либо заданного центра (рис. 1.1), известен как функция времени, т.е.

		М
		r
	k	z
		z
	O	j
	O
i		x
		x

Рис. 1.1

x = x(t),

r = r(t).

(1.1)

Равенство (1.1) определяет закон движения точки в векторной форме.

2. Координатный способ. Положение точки по отноше-

нию к какой-либо системе координат полностью определяется коор-

Yдинатами точки. При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат необходимо задать координаты x, y, z

(рис. 1.1) как функции времени:

y = y(t), z = z(t).

(1.2)

– O +

3. Естественный способ.

Данные уравнения представляют сбой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

Очевидно, что векторный и координатный способы задания движения точки связаны соотношением:

rR = x i + y j + z k

Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в

A		тех случаях,	когда траектория движущейся
		тех случаях,	когда траектория движущейся
s	B	точки известна заранее. Пусть кривая АВ яв-
M	B	точки известна заранее. Пусть кривая АВ яв-
M		ляется траекторией точки М при ее движении
		ляется траекторией точки М при ее движении
Рис. 1.2		относительно	некоторой системы отсчета.
Рис. 1.2
		Выберем на	этой траектории какую-нибудь

неподвижную точку О, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета. Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s , которая равна расстоянию от точки О до точки М измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком (рис. 1.2). Чтобы знать положение точки в любой момент времени, надо знать зависимость:

s = s(t) .

(1.3)

Эта зависимость называется законом движения точки вдоль траекто-

рии.

Кривая построена на плоскости (t,s), выражающая зависимость (1.3), называется графиком движения.

Следует заметить, что величина s определяет положение точки на траектории, а не пройденный путь.

Скорость и ускорение точки.

Основными кинематическими характеристиками точки являются скорость и ускорение. Рассмотрим, как найти скорость и ускорение исходя из способа задания движения точки.

1. Скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения точки.

Вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени:

					R	drR	R
					V =		= r& .	(1.4)
					V =	dt	= r& .	(1.4)
						dt
Z			V1			Для краткости производную по времени
Z	M		V1		обозначают точкой.
	M	1			обозначают точкой.
						Направлен вектор скорости по касатель-
	r1	r	M	2	ной к траектории в данной точке в сторону
		r	2		движения (рис. 1.3).

				V2
O				Y		Единицы измерения скорости [м / с].
				Y
						Вектор ускорения равен		первой произ-
X						Вектор ускорения равен		первой произ-
X					водной от вектора скорости или второй про-
					водной от вектора скорости или второй про-
	Рис. 1.3				изводной от радиус-вектора по времени:

	R		R
R dV			d2r	R	R
				&	&&
a =		=		= V = r .		(1.5)
a =	dt	=	dt2	= V = r .		(1.5)

Двумя точками обозначают вторую производную по времени. Ускорение показывает, как быстро изменяется вектор скорости по мо-

дулю и направлению.

Единицы измерения ускорения [м/с2 ].

Если скорость остается постоянной, то движение называется равномерным, если ускорение остается постоянным, то движение называется равнопеременным.

2. Скорость и ускорение при координатном способе задания движе-

ния.

Если движение задано в виде (1.2), то сперва находят проекции вектора скорости и ускорения на оси координат, затем их модули и направление по формулам приведенным ниже:

проекции вектора скорости на оси координат:

= x,

= y,

= z

модуль вектора скорости:

V = Vx2 + V2y + Vz2 ,

направление вектора скорости:

R	V	x		R	V	y		R	V	z
cos(x,V) =			,	cos(y,V) =			,	cos(z,V) =			,

	V				V				V

проекции вектора ускорения на оси координат:

ax = V&x = &&x, ay = V& y = &&y, az = V&z = &&z ,

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

модуль вектора ускорения:

a =

+ a2

+ a2 ,

(1.10)

направление вектора ускорения :

cos(x,a) =

, cos(y,a) =

, cos(z,a) =

(1.11)

3. Скорость и ускорение при естественном способе задания движения.

Введем подвижные оси M τnb , имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с ней. Эти оси, называются осями естественного трехгранника (или скоростными осями).

– O +		Направлены оси следующим образом

n		(рис.1.4): ось Mτ – по касательной к тра-
an	a	ектории в сторону положительного отсче-
s		та расстояния и называется касательной
M
		осью; ось Мn – по нормали в сторону во-
b
	V	τ гнутости траектории и лежит в соприка-
	aτ
		сающейся плоскости (соприкасающаяся
Рис. 1.4
		это плоскость в которой происходит

бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении точки) и называется нормалью; ось Mb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей и называется бинормалью.

Т.к. скорость направлена по касательной, то Vn = 0,						Vb = 0, и скорость
определяется только проекцией на ось Mτ
	V		ds	&
	V	τ =		&		(1.12)
		τ =	dt	= s.		(1.12)
			dt
Очевидно, что Vτ	= V , если движение происходит в сторону положи-
тельного отсчета, и Vτ	= −V если движение происходит в противополож-
ную сторону. Поэтому часто индекс τ			опускают, а под V понимают чис-
ленное значение скорости.
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости ( M τnb ), по-
этому ab = 0, а проекции на оси Mτ и Mn соответственно равны:
		&	&&		V2

				an = ,		(1.13)
	aτ = Vτ = s,			an = ,		(1.13)
					ρ

где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.

aτ – называется касательным (тангенциальным) ускорением и характеризует изменение скорости по модулю. Направлен вектор aτ по касательной к траектории в данной точке, в ту же сторону, что и скорость, если движение ускоренное, и в противоположную – если движение замедленное.

an – называется нормальным ускорением и характеризует изменение скорости по направлению. Направлен вектор an всегда в положительную сторону оси Mn (к центру кривизны траектории в данной точке).

Модуль и направление вектора полного ускорения (рис. 1.4):

			, tgα =	aτ	.
a = a2		+ a2		aτ		(1.14)
a = a2		+ a2				(1.14)
	τ	n		an
				an

§2. Поступательное движение твердого тела.

Под твердым телом в теоретической механике понимается абсолютно твердое тело – это тело, у которого расстояние между любыми двумя точками всё время остается неизменным.

		Поступательным называется такое
		движение твердого тела, при котором
B		B1 любая прямая, проведенная в теле, оста-
		ется во все время движения параллельной
		своему первоначальному положению (рис.
		2.1).
A	A1	При поступательном движении все
A	A1	точки тела описывают одинаковые траек-
		точки тела описывают одинаковые траек-

тории и имеют в каждый момент времени Рис. 2.1

одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Т.о. поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки и, следовательно, сводится к кинематике точки.

§3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во всё время движения неподвижными. Проходящая через эти точки прямая называется осью вращения.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось

Z	вращения, две плоскости, одна	из которых
Z	неподвижна, а вторая жестко связана с телом
	неподвижна, а вторая жестко связана с телом
	и движется вместе с ним. Тогда положение
φ	тела в любой момент времени	однозначно
ω	определяется углом φ , между этими плоско-
	определяется углом φ , между этими плоско-
	стями, который называется углом поворота
C h	V тела (рис. 3.1). Чтобы знать положение тела в
C h	любой момент времени, необходимо знать за-
	любой момент времени, необходимо знать за-
M	висимость угла от времени:
	φ = φ(t) .	(3.1)
	Данное уравнение выражает закон вра-
ω	щательного движения твердого тела вокруг
ω	неподвижной оси.
	неподвижной оси.
	Измеряется угол поворота	в радианах
Рис. 3.1	[рад].
	[рад].

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость тела показывает, как быстро изменяется угол поворота с течение времени и равна первой производной от угла поворота по времени:

ω =	dφ	&	(3.2)

	dt	= φ .

			-1
Измеряется угловая скорость в [рад/с], с			.

Угловое ускорение показывает, как быстро изменяется угловая скорость с течением времени и равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени:

ε =	dω	&	&&		(3.3)

	dt	= ω = φ .

Измеряется угловое ускорение в рад/с2				, с-2	.

Угловую скорость и угловое ускорение можно изобразить в виде векторов. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 3.1). Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в ту

же сторону что и ω если вращение ускорение и в противоположную – если

вращение замедленное.

Скорость и ускорение произвольной точки при вращательном

движении твердого тела.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все точки, не

принадлежащие оси, движутся по окружностям, с центрами на оси враще-

ния, плоскости которых перпендикулярны оси вращения (рис. 3.1).

Линейная скорость точки М на расстоянии h от оси вращения равна:

V = hω.

(3.4)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки М на расстоянии h от

оси вращения равны:

= hε,

= hω2 .

(3.5)

aτ

– направлен по

касательной к

траектории

(в

сторону

движения при

ускоренном вращении тела и в обратную

aτ

сторону при замедленном);

– всегда направлен по радиусу к

оси вращения (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Модуль

направление

полного

ускорения равны:

a =

+ a2 = h

ε2 + ω4 , tgα = aτ

= ε .

(3.6)

ω2

§4. Плоскопараллельное движение твердого тела.

Движение твердого тела называется плоскопараллельным или плос-

ким, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных не-

которой фиксированной плоскости. Примером плоского движения тела

может служить прямолинейное качение

цилиндра по горизонтальной плоскости.

Рассмотрим

произвольное

плоское

движение твердого тела (рис.4.1). Пусть

все точки тела перемещаются в плоско-

стях,

параллельных плоскости

XY. Из

определения плоского движения следует,

что любая прямая АВ, проведенная в те-

ле перпендикулярно плоскости XY, будет

Рис. 4.1

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Термех вариант 16

#
10.02.20231.77 Mб18C1.xmcd
#
10.02.20231.96 Mб31i-803665-Теор. Мех..pdf
#
10.02.202358.87 Кб17KO.docx
#
10.02.202358.87 Кб17Kursovik_KOui.docx
#
10.02.2023642.28 Кб18Lektsii_TM_zaochniki.pdf