8945

51

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип к о-

дирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телегра-

фист, используя только два символа этой азбуки — точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для чел о-

века: числа получаются длинными и их трудно записыват ь и запоминать.

Конечно, можно перевести число в десятичную систему и запис ывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родс т-

венные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чи-

сел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16 –ной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские бу к-

вы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10,

шестнадцатеричная B — десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена та б-

лица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Таблица 3.3. Соответствие чисел, записанных в различных систе-

мах счисления

52

Продолжение таблицы 3.3.

3.5.2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила п е-

ревода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его з а-

писать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и с о-

ответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

X 2 An 2n 1 An 1 2n 2 An 2 2n 3 ... A2 21 A1 20

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

53

Таблица 3.4. Степени числа 2

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам дес ятичной арифметики:

X8 An 8n 1 An 1 8n 2 An 2 8n 3 ... A2 81 A1 80

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное н еобхо-

димо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

X16 An 16n 1 An 1 16n 2 An 2 16n 3 ... A2 161 A1 160

54

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 3.6. Степени числа 16

4. Для перевода десятичного числа в двоичную сист ему его необ-

ходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется ост а-

ток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от дел е-

ния в обратном порядке.

Пример. Число 2210 перевести в двоичную систему счисления.

2210 101102

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе запис ы-

вается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисле-

ния.

55

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не ост а-

нется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной си с-

теме записывается как последовательность цифр посл еднего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 7467 2 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

746710 1D2B16

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную,

его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разр я-

да, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3.1).

Пример. Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счис-

ления.

56

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатерич-

ную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и

каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл.

3.1).

Пример. Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систе-

му счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо ка ж-

дую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число 5318 перевести в двоичную систему счисления.

10.Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необх о-

димо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число EE816 перевести в двоичную систему счисления.

11.При переходе из восьмеричной системы счисления в шестна-

дцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисле-

ния.

Пример 2. Число 66538 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

3.5.4. Сложение и вычитание в восьмеричной системе счисле-

ния.

При выполнении сложения и вычитания в 8-ой с/с необходимо со-

блюдать следующие правила:

1) в записи результатов сложения и вычитания могут быть исполь-

зованы только цифры восьмеричного алфавита;

2) десяток восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. перепо л-

нение разряда наступает, когда результат сложения больше или р авен 8.

В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать ост а-

ток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения; 3)если при вычитании приходится занимать единицу в старшем

разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде восьми ед и-

ниц.

Пример

3.5.5. Сложение и вычитание в шестнадцатеричной системе счисления.

При выполнении этих действий в 16–ой с/с необходимо соблюдать

следующие правила:

59

1)при записи результатов сложения и вычитания надо использовать цифры шестнадцатеричного алфавита: цифры, обозначающие чи сла от 10

до 15 записываются латинскими буквами, поэтому, если результат явл я-

ется числом из этого промежутка, его надо записывать соответствующей латинской буквой;

2)десяток шестнадцатеричной системы счисления равен 16, т.е. п е-

реполнение разряда поступает, если результат сложения больше или р а-

вен 16, и в этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;

3)если приходится занимать единицу в старшем разряде, эта ед и-

ница переносится в младший разряд в виде шестнадцати единиц.

Примеры.

3.5.6.Контрольные вопросы

1.Что называется системой счисления?

2.На какие два типа можно разделить все системы счисления?

3.Какие системы счисления называются непозиционными? Поч е-

му? Приведите пример такой системы счисления и записи чисел в ней? 4. Какие системы счисления применяются в вычислительной те х-

нике: позиционные или непозиционные? Почему?

5.Какие системы счисления называются позиционными?

6.Как изображается число в позиционной системе счисления?

7.Что называется основанием системы счисления?

8.Что называется разрядом в изображении числа?

60

9. Как можно представить целое положительное число в позицио н-

ной системе счисления?

10.Приведите пример позиционной системы счисления.

11.Опишите правила записи чисел в десятичной системе счисл е-

ния:

а) какие символы образуют алфавит десятичной системы счисл е-

ния?

б) что является основанием десятичной системы счисления?

в) как изменяется вес символа в записи числа в зависимости от з а-

нимаемой позиции?

12.Какие числа можно использовать в качестве основания системы счисления?

13.Какие системы счисления применяются в компьютере для пре д-

ставления информации?

14. Охарактеризуйте двоичную систему счисления: алфавит, осно-

вание системы счисления, запись числа.

15. Почему двоичная система счисления используется в информ а-

тике?

16. Дайте характеристику шестнадцатеричной системе счисления:

алфавит, основание, запись чисел. Приведите примеры записи чисел.

17.По каким правилам выполняется сложение двух положительных целых чисел?

18.Каковы правила выполнения арифметических операций в дв о-

ичной системе счисления?

19. Для чего используется перевод чисел из одной системы счисл е-

ния в другую?

20.Сформулируйте правила перевода чисел из системы счи сления

соснованием р в десятичную систему счисления и обратного перевода:

из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием S.

Приведите примеры.