Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6634

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

lim

5x 2

20 x 15

lim

10x 20

lim

15 x 12

6x 15

x 3x 2

Задача 16. Найти предел lim 3 x 7 9 . x 2 6 x 2

Решение. Домножим и разделим на сопряжённое к каждой разности.

При этом соединим дугой те, которые в итоге сворачиваются в разность квадратов. Прочие множители, которые ни с чем не объединяются, вынесем в отдельную дробь, и даже в отдельный предел. Получается произведение пределов:

			2
lim		6 x	2	lim	9(x 7) 81

	3 x 7 9				(6 x) 4
x 2	3 x 7 9			x 2	(6 x) 4

В одном из них нет неопределённости, а во втором преобразуем так, чтобы сократить скобку (x 2) .

9x 18

9(x 2)

lim

= 2 .

9 9

2 x

( 1)( x 2)

( 1)

x 2

Ответ. 2 .

Задача 17-А. Найти предел

lim

9x 2 1

Задача 17-Б. Найти предел

lim

9x 2 1

Решение. Сейчас на этом примере мы увидим, как может отличаться решение и ответ в зависимости от или . И в том, и в другой случае мы стараемся сократить дробь на множитель x .

Если x положительно, то x можно представить в виде x2 .

																					9x 2 1
												9x		2	1			1			9x 2 1
										1

	x 9x 2 1																							x	2
lim	x 9x 2 1						=		lim				x			=		lim						x	2		=
lim			x				=		lim			1				=		lim		1							=
x			x						x			1						x		1

	1	9			1
lim	1	9					=		1 3	4 .
						x 2			1 3
		1							1
x		1							1

А вот если x отрицательно, то надо учесть, что																							x2 это					x		, оно
А вот если x отрицательно, то надо учесть, что																							x2 это					x		, оно

положительно, то есть при x 0															верно x x2 . Поэтому
													9x 2 1
			9x	2		1					1		9x 2 1						1			9			1
	1		9x			1																			1				1 3

															x 2										x 2
			x																												2 .
lim			x						lim									lim
								=									=									=
		1						=				1					=			1						=			1
x		1							x			1						x		1									1
Ответы.			4 и			2 .

Практика 17 (18 ноября у обеих групп)

Задача 1. Найти предел lim 1 x .

x 1 1 3 x

Решение. В этом случае можно с помощью замены преобразовать так, что будут только целые степени, а для получившихся многочленов уже можно искать корни и проводить разложение на множители.

НОК(2,3) = 6. Если обозначим t 6 x , то:

3		x 13 x 2 6 6		2 t 2 ,			x 12 x 36 6		3 t 3 .
	x		x			x		x
При этом, если x 1, то и t 6
					x 1 тоже стремится к 1.

* Такое совпадение при замене переменной бывает далеко не всегда, а лишь в частных случаях, а обычно надо пересчитать, возможно

новая переменная стремится к другому числу. Например, если t x 2 и x 2 , то t 4 .

1 t 3

t 3 1

Итак,

lim

1 x

= lim

(для удобства сделали, чтобы

x 1 1

3 x

t 1 1

t 2

t 1 t 2 1

многочлены начинались со старшей степени). Далее,

lim

t 3

= lim

(t 1)(t 2

t 1)

= lim

t 2

t 1

(t 1)(t 1)

t 1 t 2

t 1

При этом даже нет необходимости делать обратную замену и возвращаться к старой переменной.

Ответ. 32 .

Тема «1-й замечательный предел».

Задача 2. Найти предел lim	sin(x 5)	.

x 5	x2 6x 5

Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.

lim

sin(x 5)

= lim

sin(x 5)

= lim

sin(x 5)

lim

= 1

x 5

x2 6x 5

x 5

(x 1)( x 5)

x 5

(x 5)

x 5

x 1

Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в

точности lim

sin t

1 если переобозначить t x 5 .

t 0

Ответ.

Задача 3. Найти предел lim

sin(100x)

x 0

x 2

20x

Решение.

lim

sin(100x)

= lim

sin(100 x)

100 x

= lim

100

= 5.

x 2 20x

100 x x(x 20)

(x 20)

x 0

Ответ. 5.

Задача 4. Найти предел lim

sin 6x

x 0

(sin 6x)

Решение.

lim

sin 6x

= lim

4 x

x 0

4 x 2

x 0

4 x 2 4 x 2


lim			2	sin 6x	= lim		2 lim	sin 6x
	4 x			sin 6x		4 x		sin 6x	=
	4 x			4 x 4		4 x		x	=
x 0				4 x 4	x 0		x 0	x
4 lim 6		sin 6x		= 24.
4 lim 6		6x		= 24.
x 0		6x

Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть 6x .

Ответ. 24.

Задача 5. Найти предел lim

1 cos(2x)

x 0

x 2

Решение. Эту задачу можно решить как с применением

тригонометрической формулы, так и методом Лопиталя.

Способ 1. Вспомним формулу sin 2 a

1 cos(2a)

. Получается

lim

1 cos(2x)

= lim

2 sin 2 x

= 2 lim

sin x sin x

= 2.

x 2

x 0

x 0 x 2

x 0

Способ 2. lim

1 cos(2x)

= lim ( sin(2x)) 2

= 2 lim

sin(2x)

= 2.

x 0

Ответ. 2.

Задача 6. Найти предел lim

2 1 cos x

x 0

sin 2 x

Решение. Чтобы устранить разность, как всегда, домножим и поделим на сопряжённое.

= lim

lim

1 cos x

2 1 cos x

cos x

sin 2 x

cos x

x 0

lim

2 (1 cos x)

lim

1 cos x

x 0

1 cos x

sin 2 x

2 x 0 sin 2 x

2sin

sin

lim

2 2 x 0 sin 2 x

2 x 0 sin 2 x

это мы применили формулу понижения степени, а ту часть, которая стремится к 0, вычислили сразу, этот коэффициент теперь так и будет оставаться до ответа. Теперь заменим каждую из бесконечно-малых на эквивалентную.

2sin

2 x

lim

2 2

lim 1

1 =

lim

x2 sin 2

2 x 0

2 x 0 x

Ответ.

2 4

Замечания. Начиная с того места, где мы получили

lim

1 cos x

2 x 0

sin 2 x

можно было сделать и другими способами.

Способ 2. По правилу Лопиталя.

lim

(1 cos x)

2 x 0

(sin 2

lim

sin x

lim

2 x 0

2sin x cos x

2 x 0

2 cos x

Способ 3. Домножить на сопряжённое.

lim

(1 cos x) (1 cos x)

lim

1 cos2 x

sin 2 x (1 cos x)

2 x

2 x 0

sin

(1 cos x)

lim

sin 2 x

lim

x (1 cosx)

1 cos x

2 x 0 sin 2

2 2 x 0

Способ 3-а. Представить квадрат синуса в знаменателе в виде 1 cos2 x и тогда получается разбиение на 2 сопряжённых:

lim

1 cos x

lim

1 cos x

lim

1 cos x

2 x 0

sin 2 x

2 x 0 1 cos2 x

2 x 0 (1 cos x)(1 cos x)

lim

cos x

2 x 0 1

Задача 7. Найти предел

lim

e2 x 6 1

4x 11

x 3

e2x 6 1

e2 x 6 1

x 3

4x 11

4x 11 1

Решение.

lim

= lim

lim

1 lim

e2 x 6

= 2 lim

e2( x 3)

4x 11

. Введём замену t x 3

x 3

x 3 4x 12

x 3 4(x 3)

Тогда 2 lim

e2t

= 2 lim

(e2t 1)

2 lim

2e2t

= 2

(4t)

t 0

Ответ. 1.

Замечание.

Почему выражение (e2t 1)

мы здесь не домножаем на

сопряжённое,

делали

методом

Лопиталя.

Тогда

получилось

бы

(e2t

1)(e2t

= (e4t 1) ,

то есть в таких выражениях, в отличие от

иррациональностей, формулу сокращённого умножения и структуру a 2 b2 применять бесполезно, потому что это даёт точно такое же выражение, стремящееся к e0 1 0 .

Задача 8. Найти предел lim	ln( x 2	4x 4)	.
		x 1
x 1

Решение.

Способ 1. С помощью замены на эквивалентную бесконечно-малую. Можно выделить 1 под знаком логарифма, получить выражение типа ln(1 a) . Затем воспользоваться эквивалентностью ln(1 a) a

lim	ln(1 (x 2	4x 5))	= lim	x 2	4x 5	= lim	(x 1)(x 5)	=
	x	1			x 1		x 1
x 1			x 1			x 1

lim (x 5) = 6.

x 1

2x 4

2 4

Способ 2. По правилу Лопиталя

lim x

4x 4 =

= 6.

x 1

Ответ. 6.

Задача 9.

Найти предел lim

e4 x 4x 1

sin 2 5x

x 0

e4 x 4x

4e4 x 4

Решение. Методом Лопиталя lim

= lim

sin 2

2 sin 5x cos 5x 5

x 0

lim

e4 x 1

. Но опять получилась неопределённость

5 x 0 sin10 x

4e4 x

Продифференцируем ещё раз

lim

e4 x 1

lim

10 cos10 x

5 x 0 sin10x

4e0

= 0,32.

Ответ.

5 10 cos 0

Тема «2-й замечательный предел»

Задача 10. Найти предел lim x 1 2 x 1 .

x x 2

Решение. Здесь неопределённость 1 . Основание стремится к 1, так как здесь одинаковые старшие степени многочленов в числителе и знаменателе, и одинаковые коэффициенты при них. Как и в прошлом примере, отделим от дроби её целую часть, то есть 1. Если предел дроби равен 1, то так можно сделать.

x 1

2 x 1

x 1

x 2

2 x 1

lim 1

= lim 1

x 2

(x 1) (x 2)

2 x 1

lim 1

x 2

Слагаемое, которое следует после 1, стремится к 0, что и должно быть для 2 замечательного предела. Далее,

x 2

(2 x 1)

x 2

3 3

x 2

3 3

lim 1

= lim

x 2

3 (2 x 1) x 2

6x 3

exp lim

(2x 1)

= exp lim

= e

= exp lim

x x

x x 2

Ответ. e 6 .

Задача 11. Найти предел

lim 1

2x 1

Решение. Здесь целая часть 1 уже выделена. Остаётся только

домножить и найти предел в степени.

2 x 1 1

2x 1

2 x 1

1 2 x 1

lim 1

lim

2x 1

lim e 2 x 1 =

Ответ. e .

Задача 12.

lim

x 2 1

x =

e 2 0 = e 2

e x 2 x 1

= e

= e .

x 2

2 x2 3

Найти предел lim

x4 1

(2 x2 3)

(2 x

Решение. lim

= lim e x4 1

x 4

(2x2 3)

2 3

lim

e x

= exp lim

exp

lim

= e 2 .

x 1 1

Ответ. e 2 .

2x 3

Задача 13.

Найти предел lim

x 2 4x 1

Решение. Здесь сначала заметим, что основание стремится к 7/7 = 1.

А степень к бесконечности. То есть, неопределённость типа 1 и можно использовать 2-й замечательный предел. Сначала выделяем целую часть дроби, то есть 1. Прибавим и отнимем 1, но ту, которую отняли, представим в таком виде, чтобы она объединилась с дробью.

2x 3

4x 1

x2 4

lim

= lim 1

4x 1

x 2 4x 1

x 2

(2x 3) (4x 1)

( x 2)( x 2)

lim 1

= lim 1

4x 1

x 2

4 2x

( x 2)( x 2)

= lim 1

теперь после 1

следует бесокнечно-малая,

4x 1

x 2

которая обращается в 0 при x 2 , ведь там числитель

4 2x .

Далее,

в степени домножаем обратную к этой дроби, но при этом и её саму тоже, чтобы ничего не изменилось.

2(2 x)

4 x 1 2(2 x)

2(2 x)

4 x 1 ( x 2)( x 2)

lim 1

x 2

4x 1

2(2 x)

4 x 1

( x 2)( x 2)

2(2 x)

lim

= lim e 4 x 1

( x 2)( x 2)

4x 1

x 2

использовали тот факт, что lim 1 a

e .

a 0

2(2 x)

Далее, получаем

exp lim

4x 1

(x 2)(x 2)

x 2

exp lim

= exp

= e 1 .

4x 1 (x 2)

7 4

x 2

Ответ. e 1 .

x 3

4 x

Задача 14. Найти предел lim

x 4 2x 7

Решение. Заметим,

что основание стремится к 1, неопределённость

типа 1 ,

можно использовать 2-й замечательный предел.

x 3

2x 7

4 x

lim

= lim

= lim 1

2x 7

x 4 2x

x 4

2x 7

x 4

2x 7

(x 3) (2x 7)

x 3

4 x

x 3

4 x

lim 1

= lim

x 4

2x 7

x 4

2x 7

x 3

4 x =

4 x

x 3

2 x 7 4 x

x 3

2 x 7

4 x

2 x 7

4 x

lim 1

= lim

x 4

2x 7

x 4

4 x

x 3

exp lim

= exp lim

= e

Ответ.

x 4 2x 7 4 x

x 4 2x 7

Домашнее задание. № 1. Найти предел

lim

ln(1 2 sin 2 x)

. Ответ. 2.

sin 2 x

x 0

№2. Найти предел

№3. Найти предел

lim

x 2

30 x 29

. Ответ.

x 2

50 x 49

x 1

3x 4

x 2

x2 1

lim

Ответ. e

7 .

x 1

5x 2

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021407.43 Кб16597.PDF
#
05.02.2023674.73 Кб0660.pdf
#
13.02.2021999.08 Кб06612.pdf
#
13.02.20211.58 Mб56620.pdf
#
05.02.20231.65 Mб26633.pdf
#
05.02.20231.4 Mб06634.pdf
#
05.02.2023428.47 Кб06642.pdf
#
05.02.2023440.33 Кб06643.pdf
#
13.02.2021642.91 Кб06645.pdf
#
05.02.2023465.03 Кб06647.pdf
#
05.02.2023432.27 Кб06648.pdf