6634

Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию

4

Практика 15 «Введение в математический анализ. Множества и функции»

Задача 1. Доказать нечётность функции f (x) ln 11 xx .

Решение. Заменим x на x , при этом x наоборот, заменится на x .

Таким образом, f (x) f (x) , то есть функция нечётная.

Задача 2. Даны 2 функции: f (x) sin x , g(x) x 2 . Найти все их возможные композиции.

Решение. f ( f (x)) sin(sin(x)) так как sin x 1 то повторное

вычисление синуса ещё чуть уменьшает значение этой величины, поэтому график суть ниже обычного графика синуса.

Графики для сравнения:

f (g(x)) sin x 2 , здесь скорость возрастания с ростом x всё более увеличивается, то есть колебания синуса учащаются. График:

5

И в этой дроби тоже приведём подобные таким же способом.

задана температура, и заданы параметрические уравнения движения

7

точки в пространстве. По какому закону для этой точки будет изменяться окружающая температура.

Задача 4. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:

f (x, y) 2xy . Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.

Решение. Движение точки можно задать так: x cos(t) , y sin(t) . Подставим эти выражения в f (x, y) 2xy , чтобы получить композицию функций. f (x(t), y(t)) 2cost sin t = sin(2t) .

Ответ. Температура в зависимости от времени для этой точки изменяется так: f (t) sin(2t) .

Задача 5. Найти область определения функции:

Решение. Выражение под каждым из корней должно быть 0 , а для второго даже строго больше 0, так как он в знаменателе.

Задача 6. Найти область определения функции: f (x, y) x2 y2 1 9 x2 y2 .

Решение. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны x 2 y 2 1 это область вне круга радиуса 1.

x 2 y 2 9 32 это область внутри круга радиуса 3. В их пересечении лежит кольцо 1 x 2 y 2 3.

8

Чертёж:

Ответ. Кольцо 1 x 2 y 2 3.

Задача 7. Найти область определения функции 3 переменных: f (x, y, z) 1 x2 y2 z 2 .

Ответ. Шар радиуса 1: x 2 y 2 z 2 1.

О комплексных числах. В следующем семестре мы будем подробно изучать такое расширение множества действительных чисел, как комплексные числа. Однако вкратце рассмотрим простейшие действия с ними уже сейчас, чтобы потом было легче понять.

Условно обозначим корень из 1 через i . Называется «мнимая единица». Такое число не существует на действительной прямой. Можно представить его в виде точки на вертикальной оси Оу в

плоскости. Итак, i 1 , то есть i 2 1.

9

Умножение таких чисел производится с помощью обычного

числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель.

Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0, поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда

10