6308

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика (курс лекций) семестр 1, часть 1

для специальности 09.03.03 "прикладная информатика в экономике"

Учебное пособие

Томск

ТУСУР

2016

1

ЛЕКЦИЯ № 1. 02.09.2016

Глава 1. МАТРИЦЫ.

§ 1. Действия над матрицами.

Определение матрицы. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент обозначается aij , где i это номер строки, в которой он расположен, а j - номер столбца.

! Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов).

Если m n , то есть матрица А имеет размер n n то она называется квадратной матрицей порядка n.

Примеры матриц из жизни:

1.Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников.

2.Таблица расстояний между каждой парой из n городов. Кратчайшее расстояние между городами:

По главной диагонали 0 , потому что до этого же города расстояние равно 0.

3.Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время.

4.Шахматная доска, 64 элемента, квадратная матрица порядка 8.

Сложение и вычитание матриц размера m n .

4

Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов aij и bij .

Умножение двух матриц.

* Нужно вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов.

a b a1b1 a2 b2 a3b3

Если есть 2 матрицы, одна размера m n , другая n k , то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.

Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьѐм первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует m k всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера m k

5

Для матриц размеров m n и n m существуют оба произведения, AB и BA. Но произведение BA в примере выше оказалось бы не матрицей 2 порядка, а 3 порядка, то есть из 9 элементов.

Умножение квадратных матриц.

В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица n n .

обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь AB BA.

* Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть AE EA A. Но как мы видели только что, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а вот если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство будет выполняться.

(Аналог среди матриц первого порядка: число 1).

Свойства действий над матрицами:

A B B A коммутативность сложения

(A B) C A (B C) ассоциативность сложения

( A B)C AC BC и A(B C) AB AC дистрибутивность ( AB)C A(BC) ассоциативность умножения

6

( A B) A B и ( ) A A A ( )A (A)

AE EA A.

О взаимосвязи матрицы с системой векторов.

Если в плоскости 2 вектора, т.е. каждый имеет по 2 координаты, можно построить матрицу 2 порядка. Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.

Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:

диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали). Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.

Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.

7

Примеры. 12 12 2 2 1 1 3.

поменяем местами строки, изменится знак:

12 1 1 2 2 3 .

21

Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.

Вообще, если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, то есть не по возрастанию, а

На первом месте одно из 3 чисел, при этом оставшиеся 2 можно расставить на два места именно 2 способами. Получается 3*2 = 6 способов. (Заметим, что 6 = 3! )

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаѐтся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается n (n 1)! что как раз равно n!, что и требовалось

доказать.

Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Число i на месте j показывает, что когда мы находимся в строке номер j то надо выбрать элемент, находящийся в столбце номер i.

Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:

8

В записи определителя 3 порядка A = aei bfg cdh ceg afh bdi

каждому элементу можно поставить в соответствие перестановку из 3 чисел.

Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для bf g получится (231):

для aei соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:

aei bfg cdh ceg afh bdi

(123) (231) (312) (321) (132) (213)

Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6.

Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Назовѐм инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. Обозначим дугой каждую инверсию:

Если инверсий нечѐтное количество (1 или 3), то знак « - », если чѐтное (0 или 2) то «+».

Фактически, умножаем на ( 1) k , где k - число инверсий. Знак каждого

произведения зависит от чѐтности или нечѐтности перестановки. Причѐм, все рассмотренные наборы элементов, которые

перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из 3 не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке

10