Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5367

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

597.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Пример: Для функции y=f(x), заданной таблично осуществить кусочно-линейное интерполирование и кусочно-квадратичное интерполирование.

x	0	0,5	1	2	3	4	5
f(x)	1,5	0	0	2	2	1	2

Решение: Осуществим кусочно-линейное интерполирование. Для этого разобьем данную функцию на элементарные промежутки, определяемые соседними числами верхней строки таблицы, и на каждом из участков строим прямую линию (полином первой степени), т.е.

	− 3x + 1.5, при 0 ≤ x ≤ 0.5
	0,		при 0.5 ≤ х ≤ 1
			при 1 ≤ х ≤ 2
S1	2х − 2,		при 1 ≤ х ≤ 2
S1	(x) =		при 2 ≤ х ≤ 3
	2,		при 2 ≤ х ≤ 3
	− х + 5,		при 3 ≤ х ≤ 4
		− 3,	при 4 ≤ х ≤ 5
	х	− 3,	при 4 ≤ х ≤ 5

	2,0	y=2
	2,0
		y=-x+5
	1,5	y=x-3
	y=-3x+1.5	y=x-3
	y=-3x+1.5
	1,0	y=2x-2
		y=2x-2

0,5

y=0

0,0

Рис. 3.1. График полученного кусочно-линейного интерполирования.

Осуществим кусочно-квадратичное интерполирование. Для этого будем рассматривать тройки известных точек отрезков [0;1],[1;3],[3;5]. На каждом из этих отрезках по известным точкам построим полином второй степени. В результате получим:

	3x2			− 4.5x + 1.5, 0 ≤ x ≤ 1
S2				2 + 5x − 4,	1 ≤ x ≤ 3
	(x) = − x
		2	− 8x + 17,		3 ≤ x ≤ 5
	x

y y=3x2-4.5x+1.5

2,0
1,5					y=x2-8x+17
					y=x2-8x+17
1,0
0,5				y=-x2+5x-4
0,0
0	1	2	3	4	5	x

Рис.3.2. График полученного кусочно-квадратичного интерполирования.

3.4.2. Простейший подход к сглаживанию

Суть процедуры сглаживания состоит в подмене данной функции на каждом из рассматриваемых отрезков наилучшим линейным среднеквадратичным приближением.

На первом этапе. Для таблично заданной функции найти такую функцию S(x), составленную из линейных функций Si (х) = ai + bi (x − xi ), чтобы f (x) ≈ Si (x) для всех х в

i +1

смысле минимума квадрата отклонений, т.е. ∑(f (xk ) − Si (xk ))2 = min . В результате

k =i −1

решается задача нахождения коэффициентов ai, bi методом наименьших квадратов:

(fi −1 + fi + fi +1 ), bi =

(f i+1 − fi−1 )

Второй этап состоит

в пересчете

данной таблицы Si (x i

) =

(fi−1

+ fi + fi+1 ), для

i =

. Доопределим новую табличную функцию значениями S0 (x 0 ) = f 0

и SN (x N ) = f N .

1, N − 1

В результате этого получаем новую табличную функцию, в которой сохраняется характер поведения исходной функции. Описанная процедура называется осреднением по трем точкам и является простым частным случаем линейного фильтра.

3.4.3.Кусочно-кубические сплайны

Определение: Функция S(x) называется кубическим сплайном, если существует N кубических полиномов Sk(x) с коэффициентами sk,0, sk,1, sk,2, sk,3, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. S(x) = Sk (x) = s k,0 + s k,1 (x − x k ) + s k,2 (x − x k )2 + s k,3 (x − x k )3 , для x [x k , x k +1 ]

и k = 0, N − 1 , т.е. кубический сплайн состоит из кубических полиномов.

2. Кусочно-кубическое интерполирование задается совокупностью точек, т.е. S(x k ) = yk для

k = 0, N .

3. Кусочно-кубическое представление состояло из кривых, которые являются гладкими непрерывными функциями. Вторая и первая производные должны быть непрерывны:

k +1

) = S

k+1

), S′

k +1

) = S′

k +1

), S′′ (x

k +1

) = S′′

k +1

Наиболее часто на практике используется кубический сплайн следующего вида:

S3 (x) = a i + bi (x − x i ) + ci (x − x i )2 + di (x − x i )3 .

Для задания сплайна коэффициенты a i , bi , ci , di - подбираются так, чтобы S3 (x i ) = yi , а первая и вторая производные были непрерывными.

Леммы о сплайнах:

1.Смыкающий (чертежный) сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который имеет первую производную с граничными условиями S′(a) = D0 , S′(b) = D N , т.е. смыкающий сплайн имеет определенный наклон в крайних точках.

2.Естественный сплайн. Существует единственный кубический сплайн со свободными граничными условиями S′′(a) = 0 , S′′(b) = 0 , т.е. сплайн допускает свободный наклон на краях для обеспечения положения, которое минимизирует осцилляцию кривой.

3.Экстраполяционный сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который используется для экстраполирования по внутренним узлам, чтобы определить S′′(a) по узлам х1, х2 и S′′(b) по узлам хN-1, хN-2.

4.Сплайн, заканчивающийся параболой. Существует единственный кубический сплайн такой, что S′′(х) ≡ 0 на интервале [x0, x1] и S′′(х) ≡ 0 на интервале [xN-1, xN].

5.Сплайн с заданной кривизной в крайних точках. Существует единственный кубический сплайн с заданными значениями второй производной в крайних точках.

3.5Задачи

1. По таблице исходных данных рассчитать параметры следующих функций: а) линейной; б) степенной;

в) показательной; г) равносторонней гиперболы

Вариант	Исходные данные		Вариант	Исходные данные

1	х	У	6	х	У
	61,10	49,10		60,80	49,40
	60,80	48,60		60,00	49,80
	60,18	50,10		58,60	53,40
	59,20	52,20		57,30	55,20
	58,10	53,60		56,10	56,20
	55,20	58,10		50,40	59,9
	49,10	69,10		46,80	67,4
2	х	у	7	х	у
	61,8	49,0		60,8	50,8
	60,0	49,3		59,1	53,3
	58,7	52,8		57,9	54,3
	56,1	55,2		55,7	57,6
	54,2	57,5		54,3	60,7
	50,6	63,1		52,6	64,1
	47,1	68,2		49,1	67,7
3	х	у	8	х	у

	60,1	49,0
	59,2	52,1
	58,6	53,2
	55,4	56,6
	53,1	59,5
	52,0	66,6
	49,9	67,8
4	х	у
	60,3	49,9
	59,1	54,8
	58,7	56,9
	58,1	57,1
	54,5	62,3
	50,3	66,1
	47,1	67,3
5	х	у
	59,2	49,7
	59,0	50,5
	54,2	51,9
	55,6	54,4
	53,1	57,3
	57,8	64,8
	60,9	49,0

	63,1	49,8
	61,9	49,3
	59,6	53,3
	57,2	56,1
	57,1	57,3
	50,9	64,1
	47,1	66,6
9	х	у
	61,7	49,8
	60,4	51,1
	58,1	53,2
	57,2	57,3
	53,4	61,5
	49,4	66,4
	45,9	68,8
10	х	у
	58,1	49,1
	57,5	51,2
	56,4	53,0
	55,1	54,6
	53,4	57,6
	50,2	60,1
	46,1	61,8

4. Приближенное вычисление определенных интегралов

Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла при помощи нескольких значений интегрируемой функции. Будем строить вычислительные правила следующего вида:

b	n
∫ f (x)dx = ∑ A jf (x j ) .		(1)
a	j=1
		n
Формула (1) называется формулой	механических квадратур,	∑ A jf (x j ) -
		j=1

квадратурной суммой, Аj - квадратурными коэффициентами, хj - узлами или абсциссами квадратурного правила.

Остаточным членом квадратурного правила называется величина

b	n
Rn = ∫ f (x)dx - ∑ A jf (x j ) .		(2)
a	j=1

Возможны различные подходы к построению квадратурных формул.

4.1 Интерполяционные квадратурные формулы

Пусть заданы значения подынтегральной функции f(x) в точках x0, x1, ¼, xn принадлежащих [a,b], тогда для f(x) строят интерполяционный многочлен Лагранжа n-ой степени, т.е.

wn (x)

∫ f (x)dx = ∫ Ln (x)dx = ∑ A jf (x j) , где A j = ∫

dx . (3)

j= 0

(x - x j )w¢n (xj )

Формула (3) называется интерполяционной квадратурной формулой. Её остаточный

член имеет вид

f (n+1)

(h) b

wn (x)

= ∫ r(x)dx =

∫

dx ,

(4)

(n +

1)!

(x - x

)w¢

)

где h - некоторая точка [a,b].

Если узлы квадратурного правила равноотстоящие, то квадратурные коэффициенты принимают вид

A j =

h(−1)n − j b t(t − 1)K(t − n)

∫

dt,

(5)

x − x0

j!(n − j)! a

(t − j)

где t =

, xi − xi −1 = h ,

i =

0, n − 1

4.2 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Запишем квадратурное правило для равноотстоящих узлов в виде

∫ f (x)dx (b − a) ∑ Cnj f (x j ) ,

(6)

n − j

j=0

где Cnj =

A j

(−1)

t(t − 1)K(t

− n)

∫

dt .

(b − a)

t − j

n j!(n − j)! 0

При заданных значениях n коэффициенты принимаю следующие значения:

n=0, C00

= 1 ;

n=1, C1

= C1

;

построенным по значениям в точках а,

n=2, C2	= C2	=		1	, C2	=	4	;

0	2	6			1	6

n=3, C3	= C3	=	1		, C3	= C3		=	3	и т.д.

0	3	8			1	2		8

Замечание: предпочтительно использовать формулы Ньютона-Котеса с малыми значениями n, а для уменьшения погрешности результата отрезок разбивается на достаточно большое число интервалов, и к каждому из них применяют квадратурную формулу с малым числом узлов, затем результаты складывают.

4.2.1. Формула прямоугольников

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа нулевого порядка, построенным по значению в средней точке отрезка[a,b], т.е. x = a + b и

a + b

(x) = f

. Тогда

a + b

(b − a)3

∫ f (x)dx = (b − a)f

+ R0 и

f ′′(ξ) , где ξ[a,b].

(7)

Разделим

[a,b]

на m равных

частей

длины

h =

b − a

. К

каждому частичному

отрезку

[a+ih,a+(i+1)h] применим формулу прямоугольников, сложив результаты, получим обобщенную формулу прямоугольников

b − a

(2m − 1)h

(b − a)

∫ f (x)dx =

f a +

+ f a +

+K+f a +

f ′′(ξ) . (8)

24m

4.2.2. Формула трапеций

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом первого порядка, построенным по значениям в точках а и b. Тогда

b		(b − a)	[f (a) + f (b)] + R1					(b − a)	3
∫ f (x)dx =					и R1 = −					f ′′(ξ) , где ξ[a,b].	(9)

a	2				12
Разделим [a,b] на m	равных частей длины			h =		b − a	. К каждому частичному				отрезку

						m

[a+ih,a+(i+1)h] применим формулу трапеций, сложив результаты и обозначив f (a + ih) = fi , получим обобщенную формулу трапеций

b	b − a f0 + fm		(b − a)			3

∫ f (x)dx =			+ f1K+fm−1 −		2 f ′′(ξ) .		(10)
		2		12m
a	m

4.2.3.Формула Симпсона (формула парабол)

Пусть функция f(x)

∫ f (x)dx

где ξ[a,b].

на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом второго порядка,

a + b

и b. Тогда

(b − a)

a − b

b − a

( IV)

f (a) + 4f

+ f (b)

+ R

= −

(ξ) , (11)

Разделим [a,b] на четное число m равных частей длины h = b − a . К каждому частичному m

отрезку [a+(i-1)h,a+(i+1)h] применим формулу Симпсона, сложив результаты и обозначив f (a + ih) = fi , получим обобщенную формулу Симпсона

b - a

)] -

(b - a)

∫

f (x)dx =

+ f

+ 2(f

+ f

+K+f

m−2

) + 4(f

+ f

+K+f

m−1

f ( IV) (x) . (12)

180m

4.3 Квадратурная формула Гаусса

Пусть функция y=f(x) задана на промежутке [-1,1]. Нужно подобрать узлы квадратурного правила и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула

b	n
∫ f (x) @ ∑ A jf (x j )		(13)
a	j=1

была точной для всех полиномов f(x) наивысшей степени m=2n-1, т.к. имеем 2m неизвестных x j , A j , j = 1, n , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами. Остаточный член

обращается в нуль, когда f (x) = C

+ C x + C

+K+C

, где Сi=const, i=0,¼,m. Тогда

∫ (C0 + C1x + C2x2 +K+Cmxm )dx = A1(C0 + C1x1 + C2x12 +K+Cmx1m ) +

−1

(C0 + C1x2 + C2x22 +K+Cmx2m )+K+An (C0 + C1xn + C2xn2 +K+Cmxnm ).

- (-1)

k +1

Учитывая соотношение: ∫ xk dx =

, получаем систему 2n уравнений относительно

k + 1

−1

x j , A j , j =

1, n

∑ Ai

= 0;

i=1

∑ Ai xi = 0;

i=1

LLLLL

(14)

∑ Ai xi2n− 2 =

;

i=1

- 1

∑ Ai xi2n−1 = 0;

i=1

Система (14) нелинейная, и её исследование громоздко. Поэтому воспользуемся теоремой: для того чтобы квадратурная формула (13) интерполяционного типа была точна для всех многочленов степени не выше 2n-1, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы xj ,были корнями многочлена wn(x), ортогонального на [-1;1] к любому многочлену степени не выше n.

Ортогональную систему многочленов, имеющих n различных действительных корней на [- 1;1], образуют многочлены Лежандра

Q		(x) =	1	×	dn	x2 - 1 n	(15)
			2n n!		dxn (
	n					)

Итак, в квадратурной формуле с n узлами, имеющей наивысшую степень точности 2n-1, узлы xj,j=1,...,n являются корнями многочлена Лежандра n-ой степени, а из системы (14), зная xj легко найдем Аj.

Для произвольного интервала[a,b]

сделаем замену t j =

b + a

b − a

x j .

В этом случае

формула Гаусса примет вид

b − a

∫ f (x)dx =

∑ A jf (t j ) .

(16)

j=1

Таблица узлов и коэффициентов формулы Гаусса

n=1

x1=0

A1=2

n=2

x1=-0,577350269

A1=1

x2=0,577350269

A2=1

n=3

x1=-0,774596669

A1=0,555555556

x2=0

A2=0,888888889

x3=0, 774596669

A3=0,555555556

n=4

x1=-0,861136312

A1=0,347854845

x2=-0,339981044

A2=0,652145155

x3=0,339981044

A3=0, 652145155

x4=0,861136312

A4=0,347854845

n=5

x1=-0,906179846

A1=0,236926885

x2=-0,538469319

A2=0,478628670

x3=0

A3=0,568888889

x4=0,538469319

A4=0,478628670

x5=0,906179846

A5=0,236926885

n=6

x1=-0,932469514

A1=0,171324492

x2=-0,661209386

A2=0,360761573

x3=-0,238619186

A3=0,467913934

x4=0,238619186

A4=0,467913934

x5=0,661209386

A5=0,360761573

x6=0,932469514

A6=0,171324492

n=7

x1=-0,949107912

A1=0,129484966

x2=-0,741531185

A2=0,279705391

x3=-0,405845151

A3=0,381830051

x4=0

A4=0,417959184

x5=0,405845151

A5=0,381830051

x6=0,741531185

A6=0,279705391

x7=0,949107912

A7=0,129484966

4.4 Метод Монте-Карло

Методы решения задач, использующие случайные величины, называются методами МонтеКарло.

Пусть методом Монте-Карло требуется вычислить m - кратный интеграл

I = ∫∫ K∫ f (x1,K, xm )dx1Kdxm ,	(17)
(S)

где функция f(x1,...,xm) задана в ограниченной замкнутой области S, а эта область заключена в m - мерном параллелепипеде a j ≤ x j ≤ A j , j = 1,m . Для преобразования m - мерного параллелепипеда в m - мерный единичный куб сделаем замену переменных следующего вида: x j = a j + (A j − a j )ξ j , j = 1,m , при этом 0≤ξj≤1. Якобиан этого преобразования

D(x1 ,K, xm )

A1 - a1

0 A2

- a2

(

- a

(

- a

m )

D(x1 ,K,xm )

KKKKKKKKKK

Am - am

Тогда интеграл (17) перепишется в виде

I = ∫∫ K∫ F(ξ1 ,K, ξm )dξ1Kdξm ,

(18)

( 1

m )

(

1) (

m )

(σ)

(

1) 1

(

m )

- a

(

- a

,K,a

- a

s - новая

где

F x ,K,x

область интегрирования, лежащая внутри m - мерного единичного куба.

Выберем m равномерно распределенных на [0,1] последовательностей случайных чисел ξ1(1)Kξ(k1)K; ¼, ξ1( m)Kξ(km)K . Точки M j(x(j1)Kx(jm) ), j = 1,2K можно рассматривать как

случайные точки из m - мерного единичного куба. Будем считать, что n - случайных точек принадлежат области s, а (N-n) точек не принадлежат ей.

Если взять достаточно большое число n точек из области s, то приближенно можно считать

	1	n
Fс р =	1	∑ F(M j ) ,		(19)
Fс р =		∑ F(M j ) ,		(19)
	n j=1
тогда выражение (18) можно переписать в виде
I = Fс р× s = s			n
I = Fс р× s = s			∑ F(M j ) ,	(20)
		n j=1

здесь s - объем области интегрирования. Если вычисление объема затруднительно, то можно

считать, что σ = n , тогда

	1	n
I =		∑ F(M j ) .	(21)

	N j=1

4.5 Задачи

I. Вычислить определенный интеграл при n=24 по соответствующей квадратурной формуле:

№ п/п

Прямоугольников

Трапеций

Симпсона

+ 1dx

∫

cos x

0 e + 1

∫ e

sin xdx

2 + x

(

)

∫

0 2 − x

cos x

+ cosx)dx

∫ ln(2

xex

xdx

2xdx

∫

(1 + x)

1 + x

2x + 1

∫

∫ 4 − x

xdx

x2 + 1

∫0

1 + cosx

∫

∫ (cosx)2 cos(2x)dx

∫ (x + 1)(x + 2)dx

2 + x

1 1 + x2

(ln x + x)dx

xdx

∫

−∫11 + x4

∫

1 + sin x

2 ln x

∫

2 ln(1 + 2 cosx)2 dx

∫

1 + x + x2

−1

∫

№ п/п

Прямоугольников

Трапеций

Симпсона

10.

II. Вычислить интегралы из задания I по формуле Гаусса при n=7.

III. Вычислить интегралы методом Монте-Карло с точностью до . Причем первоначально взять 20 случайных чисел, равномерно распределенных на [0,1], а затем добавлять по 10 чисел сразу и вычислять значения интеграла до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность (данные взять из задания I).

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023441.41 Кб05210.pdf
#
13.02.2021110.69 Кб0523.pdf
#
05.02.2023293.56 Кб15337.pdf
#
05.02.2023244.87 Кб05339.pdf
#
05.02.2023238.46 Кб05364.pdf
#
05.02.2023597.98 Кб15367.pdf
#
05.02.202399.28 Кб05369.pdf
#
13.02.2021141.94 Кб0541.pdf
#
05.02.2023156.7 Кб05447.pdf
#
05.02.20232.56 Mб05449.pdf
#
05.02.2023571.05 Кб165450.pdf