Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

511

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
484.81 Кб
Скачать

Погрешность формулы (19) можно записать, просуммировав R0(k,cp) .( f ) по всем отрезкам, то есть

m 1

(b a)

3 m 1

R0,(обcp.). ( f ) R0,(kcp) .( f )

 

 

f ( k ).

24m3

 

k 0

 

k 0

Согласно теореме о среднем и в предположении о непрерывно-

сти f

 

[a,b], погрешность обобщенной формулы сред-

(x) на

них прямоугольников запишется в виде

 

 

 

 

 

(об.)

 

(b a)3

 

 

 

 

 

 

R0,cp.

( f )

f

(20)

 

 

( ).

 

 

 

 

24m2

 

 

 

4. Квадратурная формула трапеций

Для формулы трапеций B10 B11 12. Два равноотстоящих узла на [a,b] образуют точки a и b . Формула трапеций и вы-

ражение для погрешности имеют вид

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

b a

[ f (a) f (b)],

(21)

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

f

 

 

 

(b a)

3

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

R1( f )

 

 

(x a)(x b)dx

 

 

f

 

 

2

12

 

( ).

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее выражение для R1(f )

получается в предположении,

что f

 

 

 

 

 

и произведение (x a)(x b)

(x) непрерывна на [a,b]

не меняет знак на [a,b].

Геометрически формула (21) означает, что площадь, ограниченная кривой y f (x) на [a,b], заменяется площадью тра-

пеции с основанием (b a) и высотой f (a) f (b) .

2

21

Разделив отрезок [a,b] на m частей, применив к каждой

части формулу трапеций и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу трапеций

b

f (x)dx

b a

[ f0 2( f1 f2 fm 1) fm ] .(22)

 

 

a

 

2m

 

 

 

Погрешность обобщенной формулы трапеций имеет вид

R1(об.)( f ) (b12ma2)3 f ( ) .

5.Квадратурная формула Симпсона (парабол)

Вэтом случае B02 B22 16 , B12 64. Три равноотстоящих

узла на [a,b] образуют точки a, a b,b. Квадратурная фор-

2

мула Симпсона имеет вид

b

b a

f (x)dx

 

f (a)

6

a

 

a b 4f 2

f (b) . (23)

Геометрически формула (23) означает, что площадь, ограниченная кривой y f (x) на [a,b], заменяется площадью,

ограниченной параболой, построенной на [a,b] по трем точкам

a, a b,b.

2

Так как средняя точка интервала [a,b] является узлом квадратурного правила, то формула (23) является точной для многочленов третьей степени. Для нахождения погрешности квадратурной формулы Симпсона построим многочлен Эрмита третьей степени P3(x), удовлетворяющий условиям:

22

 

P3(a) f (a),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

a b

 

a b

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

, P

 

 

f

 

 

3

 

2

 

2

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

P3(b) f (b).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточный член многочлена Эрмита P3(x)

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (4) ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

(x)

 

 

 

 

(x a) x

 

 

 

 

 

 

(x b).

 

 

 

 

 

 

 

 

4!

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда остаточный член квадратурного правила Симпсона

можно вычислить следующим образом:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b f (4)( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

R2( f )

 

 

 

 

 

(x a) x

 

 

 

 

 

 

 

(x b)dx.

 

 

4!

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b 2

 

 

 

 

Так как множитель (x a) x

 

 

 

 

 

 

 

 

(x b)

 

не меняет

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знак на [a,b] и, в предположении о непрерывности

f (4)(x) на

[a,b], существует точка [a,b]

такая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

f (4)( ) b

 

 

 

 

a b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 b a 5

R (f)

 

 

 

 

 

 

(x a) x

 

 

 

 

 

(x b)dx

 

 

 

 

f (4)( ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4!

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

на четное число m частей длиной

 

Разделим отрезок [a,b]

 

h

b a

 

 

и

к сдвоенному

 

отрезку

[a (k 1)h,a (k 1)h]

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

применим формулу (23). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a (k 1)h

 

 

 

 

 

 

h

fk 1 4fk fk 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a (k 1)h

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просуммировав результаты по всем сдвоенным отрезкам на [a,b], получим обобщенную формулу Симпсона

b

b a

f (x)dx 3m [ f0 fm

a

23

2( f2 f4 ... fm 2) 4( f1 f3 ... fm 1)],

погрешность которой можно представить в виде

R

(об.)

( f )

1

h5 f

(4)( ) f (4)

(

3

) ... f (4)

(

) ,

2

 

 

 

90

 

1

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где k [a (k 1)h,a (k 1)h], k 1,m 1.

Ввиду предположения о непрерывности f (4)(x) на [a,b],

и, согласно

теореме

о среднем, существует такая точка

[a,b], что

 

 

2

f

(4) ( 1) f

(4) ( 3) ... f (4) ( m 1) f (4) ( ) .

 

 

 

m

 

 

Тогда выражение для погрешности квадратурной формулы Симпсона примет вид

R

(об.)

( f )

(b a)

5

f

(4)

( ).

2

 

 

 

 

 

180m4

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа № 6.

Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения

Задание. Отделить корни уравнения f (x) 0 графически

и уточнить. Проверить достаточное условие сходимости. Один из корней уравнения вычислить с помощью метода Ньютона с точность до 0,00005. Варианты исходных данных приведе-

ны в приложении.

Цель работы. Дать студентам практические навыки численного решения нелинейного уравнения.

Указания к выполнению. Рассмотрим основные формулы, позволяющие реализовать численное решение уравнений с помощью метода Ньютона. Начальное приближение x0 можно определить графически как точку пересечения функцией y f (x) оси абсцисс. Идея этого метода заключается в том,

24

что он позволяет решение нелинейного уравнения свести к решению последовательности линейных задач.

Пусть требуется найти точное решение x уравнения f (x) 0 при заданном начальном приближении x0 . Итераци-

онное правило Ньютона имеет вид:

 

x

x

 

f (хп)

, п 0,1,... .

(24)

 

 

 

n 1

 

n

 

 

 

 

 

 

f (хп )

 

Геометрически метод Ньютона означает следующее (см.

рис. 3): точное решение x

является точкой пересечения кривой

y f (x)

с осью абсцисс. За очередное приближение xn 1

при-

нимается

точка пересечения

касательной к кривой в

точке

(xn , f (xn )) с осью абсцисс.

Рис. 3. Графическая иллюстрация к методу Ньютона

Итерационный процесс следует продолжать до тех, пор пока не будет выполнено неравенство

xn 1 xn

,

(25)

где - заданная точность решения уравнения.

Для проверки сходимости метода Ньютона используются следующая теорема.

25

Теорема. Если f (х) определена, дважды дифференциру-

ема в [ , ] и принимает значения разных знаков на концах

интервала [ , ], причем f

 

f

 

(х) и

(х) отличны от нуля и со-

храняют постоянные знаки на [ , ], то, используя начальное

приближение x0 [ , ], удовлетворяющего неравенству

f (x0) f (x0) 0,

получим сходящийся итерационный процесс (24) для определе-

ния единственного корня x* уравнения f (x) 0 с любой сте-

пенью точности.

Эта теорема дает достаточные условия сходимости метода Ньютона.

Сходимость метода Ньютона является квадратичной. Пример. Найти корень уравнения f (x) 0 для функции

f (x) вида:

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

f (x)

 

7x x 12.

2

 

 

 

 

Выполнив отделение корней (это можно сделать построив график функции y f (x)) найдем интервал, которому принадле-

жит только один корень уравнения. В качестве этого интервала можно взять следующий:

1.5, 1.75 .

За начальное приближение примем значение x0 1.7, которое

принадлежит выбранному интервалу. Проверим достаточные условия сходимости метода Ньютона (см. теорему).

a. Функция f(x) определена и дважды дифференцируема на

[1.5,1.75]:

f '(x) x 7

 

1

 

и f ''(x) 1

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

43 x

b.На интервале [1.5,1.75] производные f’(x) и f’’(x) отличны от нуля и сохраняют постоянные знаки.

c.Произведение положительно f (x0 )f ''(x0 ) 0.26836 0.

26

Для нахождения решения уравнения f (x) 0 с точностью

0.5104, используем формулы метода Ньютона (24) в результате за 4 итерации получим корень с заданной точностью x 1,7426.

27

Лабораторная работа № 7.

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Задание. С помощью метода Гаусса найти решение системы линейных уравнений Ax b. Варианты значений матриц A и вектора b приведены в приложении.

Цель работы. Дать студентам практические навыки численного решения системы линейных уравнений.

Указания к выполнению. Рассмотрим основные формулы, позволяющие реализовать численное решение системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса (метод исключения неизвестных). Этот метод осуществляет приведение исходной системы к эквивалентной системе с правой треугольной матрицей (схема единственного деления) или с диагональной матрицей (схема оптимального исключения). При этом не требуется заранее определять, имеет или нет решение данная система.

Рассмотрим схему единственного

деления. Систему

Ax b представим в виде:

 

 

a11x1 a12x2

... a1nxn

b1,

a21x1 a22x2

... a2nxn

b2,

 

...

(26)

 

 

an1x1 an2x2

... annxn

bn.

Будем считать выбор порядка преобразования, в котором исключаются неизвестные, произвольным. Выберем какое-либо уравнение и неизвестное в этом уравнении. Единственное условие, которое должно быть выполнено при этом выборе, состоит в том, что коэффициент при выбранном неизвестном должен быть отличным от нуля. Переставляя, если необходимо, уравнения и меняя местами неизвестные, можно считать, что выбрано первое уравнение, неизвестное x1 , и при этом a11 0. Разделив

выбранное уравнение на a11 , приведем его к виду:

x1 b12x2 ... b1nxn

q1,

(27)

28

 

 

где

 

 

a1j

 

 

 

 

b

b

 

, j 2, n, q

 

 

 

1

.

1j

 

a

1

 

a

 

 

 

11

 

 

 

11

 

Исключим x1 из остальных уравнений системы. Для этого умножим (27) последовательно на а21,а31,...,ап1 и вычтем из

второго, третьего и т.д. последнего уравнения системы. Преобразованные уравнения будут иметь вид:

a22.1x2 a23.1x3 ... a2n.1xn b2.1,

... (28)

an2.1x2 an3.1x3 ... ann.1xn bn.1,

где aij.1 aij b1jai1, i, j 2,n, bi.1 bi ai1q1 .

К полученной системе применим такое же преобразование, т.е. выберем уравнение и неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, приведем этот коэффициент к единице, исключим неизвестное из прочих уравнений и так до тех пор, пока такие преобразования возможны.

В результате придем к одной из двух ситуаций.

1. После n шагов преобразований получим систему вида:

x1 b12x2 b13x3 ... b1nxn

q1,

 

x2 b23x3 ... b1nxn

q2,

(29)

...

 

 

 

 

xn qn.

 

 

 

Решение полученной системы осуществляется снизу вверх

следующим образом:

 

 

 

 

 

xn qn,

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

(30)

xi qi bij xj,

 

 

 

 

i n 1,1.

 

jn

2.После шага преобразований m n система приняла вид:

29

x1 b12x2 b13x3 ... b1nxn q1, xm bm m 1xm 1 ... bm nxn qm,

0

bm 1.n,

(31)

 

...

 

0

bm.n.

 

Тогда, если среди элементов bm 1.n,...,bm.n есть отличные от нуля, то система (26) не имеет решения, если все, bj.m 0,

j m 1,n, то система имеет бесчисленное множество решений

(неизвестные xm 1,...,xn могут принимать любые значения, а x1,...,xm выражаются через них).

Приведение системы к виду (29) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение ее решения (30) – обратным. Заметим, что на каждом шаге прямого хода метода Гаусса выбирается уравнение и неизвестное, подлежащие исключению из прочих уравнений. Это равносильно выбору коэффициента для очередного шага преобразований. Этот коэффициент называется ведущим и он должен быть отличным от нуля. Во избежание большой потери точности рекомендуется осуществлять такую перестановку уравнений, чтобы ведущий коэффициент являлся либо максимальным по модулю коэффициентом во всей системе, либо максимальным по модулю коэффициентом в выбранном уравнении. Такая процедура называется методом Гаусса с выбором главного элемента.

Лабораторная работа № 8.

Численное решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Задание. Найти решение задачи Коши для уравнения первого порядка вида

y f (x,y), y(x0 ) y0 , на интервале [x0 0,X 0,4]

с помощью метода Рунге-Кутта для двух значений шага интегрирования h1 0,05 и h2 0,025. По правилу Рунге оценить

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]