ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ 3: Сети систем массового обслуживания
ПРИМЕРЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 3.1-3.3
Задание 3.1. Задана матрица
Р |
0,3 |
0,7 |
1 |
0,2 |
0,8 |
вероятностей перехода дискретной цепи Маркова из i-го состояния в j-ое за один шаг (i, j=1, 2). Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент t=0 определяется вектором q =(0,1; 0,9). Найти:
1)матрицу Р2 перехода цепи из состояния i в состояние j за два шага;
2)распределение вероятностей по состояниям в момент t=2;
3)вероятность того, что в момент t=1 состоянием цепи будет Р2;
4)стационарное распределение.
Задание 3.2. Задана матрица
Р |
0,6 |
0,4 |
1 |
0,7 |
0,3 |
вероятностей перехода дискретной цепи Маркова из i-го состояния в j-ое за один шаг (i, j=1, 2). Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент t=0 определяется вектором q =(0,2; 0,8). Найти:
1)матрицу Р2 перехода цепи из состояния i в состояние j за два шага;
2)распределение вероятностей по состояниям в момент t=2;
3)вероятность того, что в момент t=1 состоянием цепи будет Р2;
4)стационарное распределение.
Задание 3.3. Задана матрица
Р |
0,7 |
0,3 |
1 |
0,4 |
0,6 |
вероятностей перехода дискретной цепи Маркова из i-го состояния в j-ое за один шаг (i, j=1, 2). Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент t=0 определяется вектором q =(0,8; 0,2). Найти:
1)матрицу Р2 перехода цепи из состояния i в состояние j за два шага;
2)распределение вероятностей по состояниям в момент t=2;
3)вероятность того, что в момент t=1 состоянием цепи будет Р2;
4)стационарное распределение.
ПРИМЕРЫ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ И УКАЗАНИЙ К ИХ РЕШЕНИЯМ по разделу 3
Задание 3.4. Марковская стационарная цепь с конечным числом состояний
Для решения задач 3.1-3.3 следует изучить раздел «Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем».
Пусть Р |
0,4 |
0,6 |
1 |
0,3 |
0,7 |
19
Указания к решению. Для дискретной цепи Маркова в случае ее однородности справедливо соотношение
Р |
Рп |
(3.1) |
п |
1 |
|
где Р1 – матрица переходных вероятностей за один шаг; Рn - матрица переходных вероятностей за n шагов; 1. Найдем матрицу Р2 перехода за два шага
Р Р2 |
|
0,4 |
0,6 |
|
0,4 |
0,6 |
|
0,34 |
0,66 |
|
2 |
1 |
|
0,3 |
0,7 |
|
0,3 |
0,7 |
|
0,33 |
0,67 |
Пусть распределение вероятностей по состояниям на S-ом шаге определяется вектором
|
s , р2 |
s ,..., рk s , |
0 рj s 1, |
k |
р s р1 |
рi s 1. |
|||
|
|
|
|
i 1 |
Зная матрицу Pn перехода за n шагов, можно определить распределение вероятностей по состояниям на (S+n) –ом шаге
|
|
(3.2) |
р s n p s Pn . |
||
2.Найдем распределение вероятностей по состояниям системы в момент
t=2. Положим в (5) |
S=0 и n=2. Тогда |
|
|
|
|
|
|||
р 0 q 0,1; 0,9 . Получим |
|
||||||||
|
|
0,1; 0,9 |
|
|
0,34 |
0,66 |
|
0,331 0,669 |
. |
|
|
||||||||
р 2 |
q P2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,33 |
0,67 |
|
|
|
3.Найдем распределение вероятностей по состояниям системы в момент
t=1. Положим в (3.2) s=0 и n=1, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,1; 0,9 |
|
|
0,4 |
0,6 |
|
|
|
0,31; |
0,69 . |
|
|
|
|||||||||
р 1 q P1 |
|
0,3 |
0,7 |
|
|
|
|||||
Откуда видно, что вероятность того, что в момент t=1 состоянием цепи будет А2
,равна р2(1)=0,69.
Распределение вероятностей по состояниям называется стационарным, если оно не меняется от шага к шагу, то есть
|
|
|
|
|
p1 |
, p2 ,..., рk , |
рj const, |
j 1,..., k |
|
|
|
|
|
|
р s |
р |
|
|
|||||
|
Тогда |
из |
|
|
соотношения |
(3.2) |
при |
n=1 |
получим |
||
|
|
|
Рn |
P1, или |
|
|
|
|
|||
р s р; |
р s 1 |
р; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Р1 |
, 0 рj 1, |
j 1,...,k, |
k |
|
(3.3) |
|
|
|
р р |
рj 1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
4. |
|
Найдем стационарное распределение. Так как k =2 имеем |
р =(р1; р2). |
|||||||
Запишем систему линейных уравнений (3.3) в координатной форме |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
р 0,4 р 0,3р , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р1 р2 1. |
|
|
|
р 0,6 р 0,7 р ,
2 1 2
Последнее условие называется нормировочным. В системе (3.3) всегда одно уравнение является линейной комбинацией других. Следовательно, его можно вычеркнуть. Решим совместно первое уравнение системы и нормировочное. Имеем
20
0,6р1=0,3р2, то |
|
есть |
р2=2р1. |
Тогда |
р1+2 |
р1=1 |
или |
р |
1 |
, то |
есть |
р |
|
2 |
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
р |
|
|
; |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Ответ: |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) |
матрица |
перехода за |
два |
шага для данной |
цепи |
Маркова имеет |
вид |
|||||||||||||||||
Р |
|
0,34 |
0,66 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
0,33 |
0,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
распределение |
вероятностей по |
состояниям |
в |
момент |
t=2 |
равно |
|||||||||||||||||
|
|
331; 0,669 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
р 2 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3) вероятность того, что в момент t=1 состоянием цепи будет А2 , равна |
|||||||||||||||||||||||
р2(t)=0,69; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4) стационарное распределение имеет вид р |
|
; |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 3.5. Модель сети систем массового обслуживания
Пусть матрица переходных вероятностей P=||pij||, сети СМО имеет вид:
Записать систему уравнений для интенсивностей потоков 1, 2, 3, 4, где через 1, 2, 3 обозначены суммарные интенсивности потоков на входе i-й СМО, а через 4 интенсивность потока запросов от СМО 4.
Указание к решению. Пример задания сети СМО:
21
Рисунок 3.1. Граф задания сети СМО
Задание 3.6. Технологическая система.
Технологическая с истема (участок) S состоит из двух стан ков, каждый из которых в случайный мом ент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся зара нее неизвестное, случайное время. Перечислить возможные состояния системы, интерпретировать геометрической схемой – графом состояний.
Указание к решен ию. S0 - оба станка исправны; S1 - первый станок ремонтируется, второй исправен; S2 - второй станок ремонти руется, первый исправен; S3 - оба станка ремонтируются.
Р исунок 3.2. Граф состояний системы
22