Теория массового обслуживания

В.Г. Козлов

Теория массового обслуживания

Учебное пособие для студентов специальности 210201 - Проектирование и технология радиоэлектронных средств

ТОМСК 2012

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

В.Г. Козлов

Теория массового обслуживания

Учебное пособие для студентов специальности 210201 - Проектирование и техноло-

гия радиоэлектронных средств

2012

2

Рецензент:

профессор кафедры «Конструирования и производства радиоаппаратуры», д.т.н. Татаринов В. Н.

Технический редактор:

доцент кафедры КИПР, к.т.н. Озеркин Д.В.

Козлов В. Г.

Теория массового обслуживания. Учебное пособие для студентов специальности 210201 - проектирование и технология радиоэлектронных средств. - Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2012. - 57 с.

В данной книге изложен лекционный материал по теории массового обслуживания и приведены примеры и многовариантные задачи по расчёту систем массового обслуживания для использования на практических занятиях. Пособие предназначено для дистанционного, заочного, и очного обучения студентов специальности 210201 - проектирование и технология радиоэлектронных средств. Возможно применение пособия для изучения вопросов теории массового обслуживания студентами всех специальностей радиотехнического профиля.

© Кафедра КИПР Томского государственного университета

3

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ……………………………………………………….….6

1.1 Общие положения…………………………………………….……………………….6

1.2КлассификацияСМО…………………………………………….7

1.3 Математическое описание потоков событий……………………………………………………………………..12

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ…………………………………………………..…………..24

2.1. Общие сведения о применении теории массового обслуживания для определения статистических характеристик технического обслуживания………………………………………………..24

2.2 Пример использования ТМО для расчета характеристик технического обслуживания замкнутой многоканальной СМО

с

ожиданием……………………………………………………………………28

2.3 Индивидуальные задания для расчета на практических занятиях характеристик технического обслуживания замкнутой многоканальной СМО с ожиданием…………………..…………………………………………….31

4

2.4Этапы выполнения индивидуального расчетного задания замкнутой многоканальной СМО с ожиданием и содержание отчета по заданию………………………………………………………………………32

2.5Перечень контрольных вопросов, которые могут быть заданы во время защиты отчёта по работе……………………………………………………………..…………33

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ И С ОТКАЗАМИ…………………………………………………………….……34

3.1. Общие сведения о СМО с ожиданием и с отказами……………………………………………………………..………34

3.2. Общие сведения об открытой одноканальной СМО с ожидани-

ем…………………………..…………………………………………………34

3.3 Общие сведения об открытой многоканальной СМО смешанного типа с ограниченным временем ожидания……………………………………………………………………37

3.4 Общие сведения об открытой многоканальной СМО смешанного типа с ограничением по длине очереди…………………………………………….……………………….38

3.5 Индивидуальные задания для расчета на практических занятиях характеристик технического обслуживания открытых многоканальных СМО с ожиданием и с отказами………………………….………………………………………..40

3.6 Этапы выполнения индивидуальных расчетных заданий открытых многоканальных СМО с ожиданием и с отказами и содержание отчета по заданиям…………………………………………………………………..41

5

3.7 Перечень контрольных вопросов, которые могут быть заданы во время защиты отчёта по работе…………………………………………………………………………42

4 РАСЧЕТ ПЕРИОДИЧНОСТИ И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПРОФИЛАКТИЧЕСКИХ РАБОТ………………………………………………….………..……………43

4.1Основные соотношения между периодом профилактических работ и средней продолжительностью технического обслуживания…………………………………………………………..……43

4.2Примеры расчета периодичности и продолжительности профилактических работ…………………………………………………………………………..45

4.3Задачи расчета периодичности и продолжительности профилактических работ…………………………………………………………….……………..48

5 РАСЧЁТ РЕМОНТОПРИГОДНОСТИ………………………………..……..……….51

5.1 Основные формулы для расчёта ремонтопригодности………………………………………………………51

5.2 Примеры расчета ремонтопригодности……………………………………………………….53

5.3 Задачи по расчёту ремонтопригодности………………………………………….……………56

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………..…………………………………..57

6

Введение

В данной книге изложен лекционный материал по теории массового обслуживания и приведены примеры и многовариантные задачи по расчёту систем массового обслуживания для использования на практических занятиях. Пособие предназначено для дистанционного, заочного, и очного обучения студентов специальности 210201 – проектирование и технология

одиоэлектронных средств. Возможно применение пособия для изучения вопросов теории массового обслуживания студентами всех специальностей радиотехнического профиля

1 Основные понятия теории массового обслуживания

1.1 Общие положения Теория массового обслуживания (ТМО) изучает статические харак-

теристики систем массового обслуживания (СМО). СМО – это совокупность однородных обслуживающих устройств (приборов, мастерских, линий связи, ремонтников, обслуживающего персонала и т. д. ), называемых каналами обслуживания. Однородность каналов заключается в их способности обслужить (удовлетворить) заявку с одинаковыми среднестатистическими временными характеристиками. Термин «массовый» предполагает многократную повторяемости ситуаций (много заявок, длительное функциониование системы и т.п.). Заявки поступают в СМО в случайные моменты времени. Длительность обслуживания и промежутки между обслуживаниями являются также случайными величинами. По этой причине ТМО является разделом теории вероятностей и все расчёты по отношению к конкретным единичным событиям носят вероятностный характер. Иногда можно экспериментально определить статистические характеристики СМО путём проб и последовательных приближений. Когда это невозможно или невыгодно используют расчёты математических моделей СМО, в которых имеет место случайный характер изменения входных воздействий, а в редких случаях и параметров системы. Преобразуя случайные величины с помощью формул ТМО, получают вполне определенные неслучайные значения параметров управления (например, необходимое число каналов обслуживания, обеспечивающих заданные статические характеристики).

Примерами СМО могут служить сборочные цеха, ремонтные мастерские, станции технического обслуживания, инженерно-авиационная служба, восстанавливаемая резервированная аппаратура, телефонные станции, все виды связи, все виды транспорта (вместе с билетными кассами) и т. д.

Основные задачи ТМО в определении пропускной способности и статических характеристик СМО.

7

Пропускная способность СМО определяется числом обслуженных заявок в единицу времени и зависит от числа каналов, быстродействия каждого канала, от вида и от интенсивности потока событий.

Поток событий – это последовательность наступления событий во времени. Если поток заявок неравномерный, то в СМО возникают очереди заявок, когда их много и простои каналов обслуживания, когда их мало. Например, сельскохозяйственная авиация простаивает зимой, а летом возникают очереди заявок на её использование, в местах отдыха очередь заявок на путёвки в определённые сезоны и простой гостиничных комплексов в неудобное для отдыхающих время и т. д. Для минимизации потерь нужно иметь аналитические соотношения, связывающие две группы критериев. Первая группа характеризует степень удовлетворения потока заявок, а

отрая степень использования каналов обслуживания. Находятся оптимальные соотношения между длиной очереди и количеством каналов обслуживания, между средним временем простоя и средним временем пребывания заявки в СМО и т. д. Для экономической оценки качества СМО можно использовать полную среднюю стоимость потерь при её эксплуатации в единицу времени [3]:

Г = С1 ∙v + С2 ∙ р ,

где v — среднее число заявок в очереди; р — среднее число свободных каналов обслуживания; С1- стоимость ожидания одной заявки в единицу времени; С2 — стоимость простоя одного канала в единицу времени.

1.2 Классификация СМО

Приведём классификацию СМО по различным признакам.

По признаку потерь заявок на обслуживание СМО подразделяются на три типа: с отказами, с ожиданием и смешанного типа.

ВСМО с отказами заявки обслуживаются немедленно, если каналы свободны, или получат отказ и теряются, если все каналы заняты. Пример такой СМО – телефонная сеть. Именно работы по исследованию телефонных сетей положили начало ТМО.

ВСМО с чистым ожиданием все заявки выстраиваются в очередь, если каналы заняты. Одна из таких систем изображена на рисунке 1.1. Как видно из рисунка первопричину входного потока возникших заявок (независимо от их физической природы) называют источником заявок. СМО состоит из накопителя возникших заявок, находящихся в очереди, и узла их обслуживания, состоящего из каналов обслуживания. Из рисунка также видно, что выходной поток обслуженных заявок по виду отличен от входного потока заявок, возникших в источнике.

8

Рисунок 1.1- Структурная схема четырёхканальной СМО с ожиданием

В таблице 1.1 приведены некоторые примеры СМО с ожиданием.

Для того чтобы показать разнообразие схем СМО с ожиданием на рисунке 1.2 приведена структурная схема пятиканальной СМО с ожиданием с двумя очередями и с тремя входящими потоками. На её входе потоки могут характеризоваться различными законами распределения вероятностей. Например, в мастерскую на ремонт поступают изделия из трёх организаций, причём число изделий, поступающих в единицу времени, изменяется в зависимости от того, с какого предприятия они поступают. В этом случае все входящие потоки заменяют одним, для которого закон распределения вероятностей вычисляется или определяется путём измерений.

Наличие нескольких очередей разной длины может быть вызвано преимуществами (привелегиями) одного источника по отношению к другим. Например, изделия с оборонного предприятия могут обслуживать в короткой очереди или вне очереди. Очередь, в которой требования располагаются в порядке поступления, называют упорядоченной. Совокупность отношений порядка и преимуществ (привелегий) называют дисциплиной ожидания.

Для появления очереди достаточно того, чтобы поступление требований и (или) обслуживание происходили в нерегулярные промежутки времени. При регулярном потоке очередь возникает и теоретически возрастает до бесконечности лишь в случае, когда интенсивность потока заявок λ (1/час) больше интенсивности потока обслуживания μ (1/час).

В СМО смешанного типа имеются ограничения на время пребывания заявки в системе или на длину очереди. При невыполнении требуемого ограничения заявка покидает СМО необслуженной.

По числу каналов обслуживания, которые могут одновременно обслуживать входные заявки СМО делят на одноканальные и многоканальные.

9

В зависимости от характера потоков и процессов, протекающих в СМО их делят на марковские и немарковские.

Процесс, протекающий в системе называют марковским ( или процессом без последствия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, каким образом система вошла в это состояние.

Таблица 1.1 Примеры СМО с ожиданием [12, 13]