ПРИМЕРЫ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ И УКАЗАНИЙ К ИХ РЕШЕНИЯМ по разделу 1
ЗАДАЧА 1.6. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СМО С ОТКАЗАМИ
В двухканальную систему массового обслуживания (СМО) с отказами поступает стационарный пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону с параметром λ=5 заявок в минуту. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Найти среднее число обслуженных заявок за время 4 мин.
Для решения этих задач используется раздел ТМО «Статистическое моделирование систем», метод Монте-Карло.
Указания к решению. Результаты статистического моделирования работы заданной СМО рекомендуется изображать с помощью временных диаграмм. Введем следующие обозначения для временных осей:
I-входящий поток заявок, здесь ti-моменты поступления заявок; Ti-интервалы времени между двумя последовательными заявками. Очевидно,
что ti= ti-1+Тi.
К1-первый канал обслуживания; К2-второй канал обслуживания; здесь жирные линии на временной оси
обозначают интервалы занятости канала. Если оба канала свободны, то заявка становится под обслуживание в канал К1, в случае его занятости заявка обслуживается каналом К2.
Если заняты оба канала, то заявка покидает СМО необслуженной. O-1-выходящий поток обслуженных заявок.
O-2-выходящий поток потерянных заявок за счет отказов СМО (случай занятости обоих каналов).
I |
|
t1 t2 t3 |
|
|
t4 |
t5 |
t6 |
t7 |
t8 |
|
|
|
T1 T2 T3 |
|
T4 |
T5 |
|
T6 |
T7 |
T8 |
T9 |
К1 |
|
1 |
1 |
4 |
|
|
4 6 |
6 |
8 |
8 |
К2 |
|
2 |
|
|
2 |
5 |
|
5 |
7 |
1 |
O-1 |
В |
1 |
|
2 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В
O-2
Рисунок 1.1 Временная диаграмма
tmax
Статистические испытания продолжаются в течение временного интервала [0; tmax]. Очевидно, что любое превышение времени tmax влечет за собой сброс заявки в выходящий поток O-2. Так на рис. 1.1 заявка №10, пришедшая в систему в момент
7
t10, не успевает обслужиться до момента tmax, так как t10+Тобсл.>tmax. Следовательно, она не принимается свободным каналом К1 на обслуживание и сбрасывается в O-2, получая отказ.
Из временных диаграмм видно, что необходимо научиться моделировать интервалы Тi. Применим метод обратных функций. Поскольку случайная величина Тi распределена по показательному закону с параметром λ=5, то плотность распределения имеет вид f(τ)=5е-5τ . Тогда значение F(Ti) функции распределения вероятностей определяется интегралом
|
|
Ti |
Ti |
e 5 d 5 |
|
1 |
e 5 |
Ti |
||
F T |
|
|
f d 5 |
|
|
1 e 5Ti . |
||||
|
||||||||||
i |
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
||
Известно, что область значений функции распределения F(T) есть отрезок [0; 1]. Выбираем из таблицы случайных чисел число ri* и определяем Тi из равенства
1 e 5Ti |
r* , откуда e 5Ti |
1 r* |
. Однако, если r |
* 0;1 , |
то 1 r* 0;1 . |
|||||||
|
i |
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
i |
|
Поэтому можно сразу получать из таблицы случайных чисел реализации r |
1 r* . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
i |
Следовательно, е-5Тi=ri , или –5Тi=lnri, откуда T |
ln r . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
5 |
i |
|
|
|
Результаты вычислений заносят в таблицу. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Таблица 1.2 ИСПЫТАНИЕ №1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Момент |
Момент |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
окончания |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
поступ- |
Счетчик заявок |
||||||
№ |
|
|
|
обслужив. |
||||||||
я-вки |
Сл. число |
-ln ri |
- |
|
ln ri |
ления |
ti+0,50 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||
ri |
5 |
|
заявки |
|
|
|
||||||
i |
|
|
|
Тi |
ti=ti-1+Ti |
К1 |
|
К2 |
Обсл. |
Потер |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
|
1. |
0,10 |
2,30 |
0,46 |
0,46 |
0,96 |
|
|
1 |
|
|
||
2. |
0,09 |
2,41 |
0,48 |
0,94 |
|
|
1,44 |
1 |
|
|
||
3. |
0,73 |
0,31 |
0,06 |
1,00 |
1,50 |
|
|
1 |
|
|
||
4. |
0,25 |
1,39 |
0,28 |
1,28 |
|
|
|
|
|
1 |
||
5. |
0,33 |
1,11 |
0,22 |
1,50 |
2,00 |
|
|
1 |
|
|
||
6. |
0,76 |
0,27 |
0,05 |
1,55 |
|
|
2,05 |
1 |
|
|
||
7. |
0,52 |
0,65 |
0,13 |
1,68 |
|
|
|
|
|
1 |
||
8. |
0,01 |
4,61 |
0,92 |
2,60 |
3,10 |
|
|
1 |
|
|
||
9. |
0,35 |
1,05 |
0,21 |
2,81 |
|
|
3,31 |
1 |
|
|
||
10. |
0,86 |
0,15 |
0,03 |
2,84 |
|
|
|
|
|
1 |
||
11. |
0,34 |
1,08 |
0,22 |
3,06 |
|
|
|
|
|
1 |
||
12. |
067 |
0,40 |
0,08 |
3,14 |
3,64 |
|
|
1 |
|
|
||
13. |
0,35 |
1,05 |
0,21 |
3,35 |
|
|
3,85 |
1 |
|
|
||
14. |
0,48 |
0,73 |
0,15 |
3,50 |
|
|
|
|
|
1 |
||
15. |
0,76 |
0,27 |
0,05 |
3,55 |
|
|
|
|
|
1 |
||
16. |
0,37 |
0,99 |
0,20 |
3,75 |
4,25 |
|
STOP |
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Для проведения испытания №1 были взяты случайные числа из приложения 2, начиная с первого числа первой строки. Далее выборка осуществлялась по строкам. Проведем еще два испытания.
Обратите внимание на выборку случайных чисел из таблицы приложения 2, если в испытании №1 последнее случайное число для заявки №16 было 0,37 (первое случайное число во второй строке), то испытание №2 начинается со следующего за ним случайного числа 0,54. Испытание №2 содержит последним случайное число 0,53 (пятое число в третьей строке). Следовательно, третье испытание начнется с числа 0,19. Вообще в пределах одной серии испытаний случайные числа из таблицы выбираются без пропусков и вставок по определенному порядку, например, по строкам.
Таблица 1.3 ИСПЫТАНИЕ №2 |
Момент |
Момент |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ |
Сл. |
|
1 |
|
поступ- |
окончания |
Счетчик заявок |
|||
зая- |
- |
ln ri |
ления |
обслужив. |
||||||
|
|
|
|
|||||||
вки |
число |
-ln ri |
5 |
|
заявки |
ti+0,50 |
|
|
||
i |
ri |
|
Тi |
ti=ti-1+Ti |
К1 |
К2 |
Обсл. |
Потер |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
1. |
0,54 |
062 |
0,12 |
0,12 |
0,62 |
|
1 |
|
||
2. |
0,20 |
1,61 |
0,32 |
0,44 |
|
0,94 |
1 |
|
||
3. |
0,48 |
0,73 |
0,15 |
0,59 |
|
|
|
1 |
||
4. |
0,05 |
3,00 |
0,60 |
1,19 |
1,69 |
|
1 |
|
||
5. |
0,64 |
0,45 |
0,09 |
1,28 |
|
1,78 |
1 |
|
||
6. |
0,89 |
0,12 |
0,02 |
1,30 |
|
|
|
1 |
||
7. |
0,47 |
0,76 |
0,15 |
1,45 |
|
|
|
1 |
||
8. |
0,42 |
0,87 |
0,17 |
1,62 |
|
|
|
1 |
||
9. |
0,96 |
0,04 |
0,01 |
1,63 |
|
|
|
1 |
||
10. |
0,24 |
1,43 |
0,29 |
1,92 |
2,42 |
|
1 |
|
||
11. |
0,80 |
0,22 |
0,04 |
1,96 |
|
2,46 |
1 |
|
||
12. |
0,52 |
0,65 |
0,13 |
2,09 |
|
|
|
1 |
||
13. |
0,40 |
0,92 |
0,18 |
2,27 |
|
|
|
1 |
||
14. |
0,37 |
0,99 |
0,20 |
2,47 |
2,97 |
|
1 |
|
||
15. |
0,08 |
2,53 |
0,51 |
2,98 |
3,48 |
|
1 |
|
||
16. |
0,42 |
0,87 |
0,17 |
3,15 |
|
3,65 |
1 |
|
||
17. |
0,26 |
1,35 |
0,27 |
3,42 |
|
|
|
1 |
||
18. |
0,89 |
0,12 |
0,02 |
3,44 |
|
|
|
1 |
||
19. |
0,53 |
0,63 |
0,13 |
3,57 |
4,07 |
STOP |
9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9