35
Для несгруппированных данных:
Для сгруппированных данных: σ2 =
|
n |
|
|
σ2 = |
∑(xi − x )2 |
|
|
i=1 |
; |
||
n |
|||
|
|
k |
|
|
∑(xi − x)2 fi |
|
|
i=1 |
. |
|
k |
||
|
||
∑ fi |
|
|
i=1 |
|
4.Среднее квадратическое отклонение равен квадратному корню из дисперсии, т.е. σ = 
σ2 .
5.Квартильное отклонение: Q = (Q3 −Q1)
2.
Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности
будут меньше по величине Q1 ; 25% будут заключены между Q1 и Q2 ; 25%- между Q2 и Q3 ; остальные 25% превосходятQ3 . Квартили определяются:
Q1 = xQ +h |
(n +1) |
4 |
−SQ −1 |
и Q3 = xQ |
+h |
0,75 (n +1) |
−S |
Q3 |
−1 |
|
|
1 |
|
|
. |
||||||
|
fQ |
fQ |
|
|
|
|||||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
Размах вариации, среднее линейное и средне квадратичное отклонение являются величинами именованными, они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.
Расчет показателей вариации для банков, сгруппированных по размеру прибыли, показан табл.3
Таблица 3
Размер |
Число |
|
|
Расчетные показатели |
|
|
|
|
|||||||
прибыли, |
банков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x/ |
x/ f |
|
x/ − x |
|
|
x/ − x |
|
|
f |
|
(x/ − x)2 |
f |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
млрд.руб. |
|
i |
i |
i |
i |
|
|
i |
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3,7-4,6 (-) |
2 |
4,15 |
8,30 |
-1,935 |
|
3,870 |
|
|
7,489 |
|
|
||||
4,6-5,5 |
4 |
5,05 |
20,20 |
-1,035 |
|
4,140 |
|
|
4,285 |
|
|
||||
5,5-6,4 |
6 |
5,95 |
35,70 |
-0,135 |
|
0,810 |
|
|
0,109 |
|
|
||||
6,4-7,3 |
5 |
6,85 |
34,25 |
+0,765 |
|
3,825 |
|
|
2,926 |
|
|
||||
7,3-8,2 |
3 |
7,75 |
23,25 |
+1,665 |
|
4,995 |
|
|
8,317 |
|
|
||||
Итого |
20 |
|
121,70 |
|
|
17,640 |
|
|
23,126 |
|
|
||||
36
Для этой вариации:
x =121,70
20 = 6,085 млрд.руб.; d =17,640
20 = 0,882 млрд.руб.;
σ2 = 23,126
20 =1,156 млрд.руб.;
σ= 
1,156 =1,075 млрд.руб.
21 |
4 |
−2 |
|
|
Q = 4,6 +0,9 |
|
|
= 5,331млрд.руб.; |
|
|
|
|
||
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Q3 = 6,4 +0,9 0,75 21−12 = 7,075млрд.руб. 5
При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической пользуются относительными показателями вариации:
1.Коэффициент осцилляции KR = Rx 100% ;
2.Относительное линейное отклонение Kd = dx 100% ;
3. Коэффициент вариации v = |
σ |
100% . Совокупность считается |
|
x |
|
однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.
4. Относительный показатель квартильной вариации KQ = MeQ 100%
или KQ = Q3 −Q1 100% .
2Q2
Для таблицы 2 относительные показатели вариации получились следующими:
KR = 8,1x6,085−3,7 100% = 72,31%
Kd = 6,0850,882 100% =14,5%
37
v = 1,6,85075 100% =17,6% KQ = 0,8726,175 100% =14,12%
5.5. Показателиформы распределения
Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). Эмпирическое распределение строится на основе выборки из исследуемой генеральной совокупности. Поэтому эмпирические данные в определенной степени связаны со случайными ошибками наблюдения. Кривая теоретического распределения - это распределение, которое получилось бы при полном погашении всех случайных причин, затемняющих основную закономерность.
Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов. Равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для сравнительного анализа степени асимметрии рассчитывают относительный показатель As:
As = x −σMo .
Другой показатель асимметрии, предложенный Линдбергом:
As=П-50,
где П- процент тех значений признака, которые превосходят по величине среднюю арифметическую.
Наиболее точным и распространенным является показатель, рассчитываемый:
As = |
µ3 |
, |
где µ |
|
= |
∑(xi − x)3 fi |
. |
|
σ3 |
3 |
∑ fi |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Положительная величина указывает на наличие правосторонней |
||||||||
асимметрии (в этом случае |
Mo < Me < x ). Отрицательный знак |
|||||||
свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии (Mo > Me > x ).
38
f |
f |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
правосторонняя симметрия |
левосторонняя симметрия |
||
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Показатель эксцесса, предложенный Линдбергом:
Ex=П-38,29,
где П – доля (%) количества вариантов, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения в ту и другую сторону от средней арифметической.
Наиболее точным является показатель, рассчитываемый:
Ex = |
µ4 |
−3, где |
µ |
|
∑(xi − x)4 fi |
|
σ4 |
4 |
∑ fi |
||||
|
|
|
Значения эксцесса могут быть положительными (для островершинных распределений) и отрицательными (для плосковершинных).
островершинное
распределение
f
нормальное распределение
плосковершинное
распределение
x