Методы математической физики.-3

T ′(τ ) − bT (τ ) = 0

является

T (τ ) = Cebτ .

Поскольку из физических соображений температура не может неограниченно возрастать с течением времени, то необходимо считать b< 0. Пусть b = – λ2 <0.

Тогда общим решением второго уравнения

X ¢¢(x) + λ2 X (x) = 0

будет

X (x) = Acos λx + B sin λx .

В итоге решение уравнения (3.9) примет вид

U = ( AC cos λx + BC sin λx)e− λ2τ .

Вообще говоря, для каждого значения λ мы должны выбирать разные зна-

чения постоянных A, B, C. Другими словами эти постоянные будут функциями параметра λ. Поэтому можно записать

где λ может принимать любые значения из интервала (– ∞, + ∞).

Так как уравнение (3.9) линейное, то его общим решением будет суперпо-

зиция решений (3.11), непрерывным образом зависящих от λ, т.е. интеграл типа

Теперь, чтобы (3.12) являлось решением задачи (3.9), из начального условия необходимо найти функции α(λ) и β(λ). При τ = 0 имеем

т.е. известная функция f(x) оказалась представленной суперпозицией двух инте-

гралов Фурье (разложений в интеграл Фурье по косинусам и по синусам). Как

42

следует из общей теории интеграла Фурье или интегрального преобразования Фурье, функции α(λ) и β(λ) также имеют представления в виде интегралов Фурье:

можно будет вычислить методом дифференцирования по параметру. Возьмем производную и проинтегрируем по частям

43

называют фундаментальным решением или функцией мгновенного точечного

источника задачи теплопроводности для неограниченного стержня. Функция

G(x,t;ξ ) описывает распределение температуры по стержню (вдоль координаты x) в любой момент времени t >0 при условии, что в начальный момент времени t=0 в некоторой точке x = ξ было выделено некоторое количество тепла Q0 = cρ ,

Таким образом, количество тепла в стержне с течением времени не меняет-

ся и является величиной постоянной. Этого следовало, и ожидать, поскольку при постановке задачи стержень предполагался теплоизолированным и для него дол-

жен выполняться закон сохранения количества тепла. График функции G(x,t;ξ )

от аргумента (x - ξ) для разных моментов времени τ = a 2t приведён на рис. 3.1.

45

Рис. 3.1. График функции мгновенного точечного источника.

Видно, что для малых значений времени τ почти все количество тепла со-

средоточено вблизи точки x = ξ, где оно было выделено в начальный момент времени τ = 0. В точке x = ξ значение функции мгновенного точечного источни-

ка равно

и неограниченно возрастает при τ → 0. Площади, ограниченные кривыми и осью

(x - ξ), представляют значения интегралов типа (3.17) для разных τ и определяют количество тепла в разные моменты времени. А оно является величиной посто-

янной, поэтому все площади под кривыми одинаковы. Из вида функции G(x,t;ξ )

– формула (3.16), также следует, что при τ > 0 вклад в значение интеграла точек,

достаточно удаленных от точки x = ξ, будет экспоненциально мал, что оправды-

вает переход к неограниченному стержню, сделанный при постановке задачи.

3.3. Задача теплопроводности без начальных условий.

Если исследуется процесс теплопроводности в момент времени, достаточ-

но удалённый от начального, то влияние начальных условий на распределение температуры практически не сказывается. В качестве примера рассмотрим крае-

46

и однородным граничным условиям

Последние условия означают, что концы стержня поддерживаются при нулевой температуре.

Известно, что решение этой задачи удовлетворяет так называемому прин-

ципу максимального значения, который может быть сформулирован в виде сле-

дующей теоремы:

Если функция U(x,t), определённая и непрерывная в замкнутой области 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяет уравнению теплопроводности в точках области 0 < x < l, 0 < t ≤ T, то максимальные значения функции U(x,t) достигаются или в началь-

ный момент времени t = 0 или в концевых точках границы x = 0, x = l.

Физический смысл теоремы очевиден: если температура в концевых точках и в начальный момент не превосходит некоторого значения Umax, то внутри тела при отсутствии тепловых источников не может создаться температура, большая

Umax. Функция U(x,t) = const удовлетворяет уравнению (3.1) в любой точке обла-

сти. Однако это не противоречит теореме, так как эти же значения должны до-

стигаться или при t = 0 или при x = 0 и при x = l. Доказательство теоремы проводится методом от противного.

Для решения задачи применим метод разделения переменных, т.е. предста-

вим ее решение в виде:

U (x, t) = X (x) ×T (t).

48

Подставив в уравнение (3.1), получим соотношение

X ' = 1 T ' = const = −λ 2 ,

X a2 T

из которого следуют два уравнения

X "+λ2 X = 0, T '+a2λ2T = 0.

Сучетом граничных условий (3.20) относительно функции Х(х) приходим

кзадаче Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

X "+λ2 = 0,

Х(0) = Х(l) = 0.

Эту задачу мы уже рассматривали в 2.3 и установили, что она имеет нетривиаль-

ное решение

X m ( x ) = Am sin( λ m x ),

только для значений параметра

T '+a2λ2T = 0

будет

49