Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и

радиоэлектроники»

Кафедра электронных приборов

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Методические указания к практическим занятиям для студентов направления «Фотоника и оптоинформатика» и

«Электроника и микроэлектроника»

2012

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Кафедра электронных приборов

УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой ЭП

_____________С.М. Шандаров «___» _____________ 2012 г.

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Методические указания к практическим занятиям для студентов направления «Фотоника и оптоинформатика» и

«Электроника и микроэлектроника»

Разработчик

_________ П.П. Гейко «____»____________2012 г

2012

ВВЕДЕНИЕ Математическая физика – это математический аппарат изучения физических полей –

одного из центральных объектов современной физики и инженерии. Только привлекая рассмотрение физических полей и соответствующий математический аппарат, удается наиболее полно описать физические явления, а в целом ряде случаев без такого привлечения даже не удается сформулировать первоначальные понятия и простейшие утверждения. Поэтому знание тех или иных разделов математической физики оказывается необходимым каждому современному инженеру.

Термин "математическая физика" имеет и более узкий, "классический" смысл. Он относится к уравнениям в частных производных, являющимся теоретическим аппаратом гидромеханики, теории теплопроводности и диффузии, теории упругости, "классической" части теории электромагнитного поля. Поля, рассматриваемые в этих классических разделах, оказывается возможным трактовать как механические системы с бесконечным числом степеней свободы, что и обусловило общность соответствующего математического аппарата.

1. Классификация линейных уравнений второго порядка

Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка, линейные относительно старших производных, т.е. имеющие вид

допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать, чтобы функциональный определитель

был отличен от нуля), можно получить уравнение, эквивалентное исходному. Нас будет интересовать вопрос: как выбрать новые переменные ξ и η, чтобы относительно них уравне-

После подстановки полученных производных в (1.1) получим уравнение a11 uξξ + 2a12 uξη + a22 uηη + F1 (ξ,η, uξ , uη , u) = 0, (1.4)

где

4

Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е.

F ( x, y, u, ux , uy ) = b1 ux + b2 uy + cu + f ,

то F1 имеет вид

F1 (ξ,η, uξ , uη , u) = β1 uξ + β2 uη +γu +δ .

Таким образом, уравнение в этом случае снова получается линейным.

Попытаемся выбрать переменную ξ =ϕ( x, y) так, чтобы коэффициент a11 в уравнении (6.4) был равен нулю. Для этого необходимо, чтобы ξ =ϕ( x, y) было решением уравнения

Уравнение (6.6) можно записать в виде произведения

(a11ξx − (− a12 + a122 − a11a22 )ξy )(a11ξx − (− a12 − a122 − a11a 22 )ξy ).

Таким образом, решение уравнения (1.6) свелось к решению двух линейных однородных уравнений первого порядка

a122 −a11a22 = (a122 −a11a22 )D2 ,

из которого следует, что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных. Следует отметить также, что тип уравнения зависит от точки M и в разных точках мо-

жет быть разным.

5

2. Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме

Уравнение

будем называть характеристическим для уравнения (6.1), а его интегралы – характеристиками. Уравнение (2.1) распадается на два уравнения (1.8) и играет основную роль в задаче приведения к каноническому виду уравнения (1.1). Затем, что для уравнения гиперболического типа характеристики действительные и различные, для уравнений эллиптического типа – комплексные и различные, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают.

Разберем каждый из этих случаев в отдельности.

1. Для уравнений гиперболического типа a122 − a11a22 > 0 и правые части уравнений (1.8) действительные и различные. Общие интегралы их ϕ( x, y) = C и ψ( x, y) = C опреде-

ляют семейства характеристик. Положим

где ψ( x, y) - любая функция, допускающая вместе с ϕ( x, y) обратное преобразование переменных. Тогда

скую форму для уравнения параболического типа

uηη = Ф(ξ,η, u, uξ , uη ),

где Ф = − F11 .

a22

6

3. Для уравнения эллиптического типа a122 −a11a12 < 0 и правые части уравнения (1.8)

комплексно сопряженные, поэтому общие интегралы этих уравнений будут также комплексно сопряженными

ϕ( x, y) = C, ϕ ( x, y) = C .

Чтобы не иметь дела с комплексными переменными и функциями, введем новые, уже вещественные, переменные α и β

2.Параболический тип: uηη = Ф.

3.Эллиптический тип: uαα + uββ = Ф.

3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Решая уравнение (1.8) получаем характеристики, которые будут прямыми линиями y = λ1 x +C1 , y = λ2 +C2 ,

где λ1 и λ2 корни уравнения (его удобно в данном случае тоже называть характеристическим)

7

2.uηη +Ф = 0;

3.uξξ − uηη +Ф = 0;

здесь Ф = β1 uξ + β2 uη + cu + f .

Следовательно, λ1 = 1, λ2 = 2 . Уравнение - гиперболического типа, поэтому делаем замену

жем выписать общее решение уравнения (3.3)

u = ϕ(ξ) +ψ(η) = ϕ( y − x) +ψ( y − 2 x).

Пример 3.2. Привести к каноническому виду уравнение

Решая характеристическое уравнение

λ2 −2λ +1 = 0,

получаем λ1 = λ2 = 1. Следовательно, уравнение (3.4) параболического типа. Делаем замену ξ = y − x, η = x . Имеем

ux = uξξx + uηηx = uη − uξ , uy = uξξy + uηηy = uξ ,

uxx = (uη − uξ )ξ ξx + (uη − uξ )ηηx = −(uηξ − uξξ ) + (uηη − uξη ) = uξξ − 2uξη + uηη , uyy = (uξ )ξ ξy + (uξ )ηηy = uξξ ,

uxy = (uη − uξ )ξ ξy + (uη − uξ )ηηy = uξη − uξξ .

Подставляя полученные выражения в уравнение (3.4) и приводя подобные члены, будем иметь

uηη + uη = 0.

Заметим, что мы получили уравнение, которое можно рассматривать и как обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от параметра ξ. Решая его, получаем

u = C1 (ξ) + C2 (ξ)e−η = C1 ( y − x) + C2 ( y − x)e−x .

Пример 3.3. Привести к каноническому виду уравнение

Для корней характеристического уравнения

λ2 + 2λ + 2 = 0

имеем λ1,2 = −1 ± i . Уравнение – эллиптического типа, поэтому делаем замену

ξ = x + y, η = x.

Подставляя выражения

8

Для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами возможны дальнейшие упрощения канонической формы уравнений. Введем для этого вместо u новую функцию ϑ :

u = eλξ +μηϑ,

где λ и μ - некоторые постоянные. Тогда

Подставляем эти выражения, например, в уравнение

uξη + β1 uξ + β1 uη + cu + f = 0

и сокращая затем на eλξ +μη , получим

ϑξη +(μ + β1 )ϑξ +(λ + β2 )ϑη +(λμ + β1λ + β2 μ +C )ϑ + f1 = 0.

Выберем параметры λ и μ так, чтобы коэффициенты при первых производных обратились

в нуль (λ = −β2 , μ = −β1 ) . В результате получим

ϑξη +γϑ + f1 = 0, где γ = λμ + β1λ + β2 μ + c = c − β1 β2 , f1 = fe−(λξ +μη) .

Аналогично упрощения проводятся и для других канонических форм. Окончательно приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами:

1. Гиперболический тип

ϑξη +γϑ + f1 = 0 или ϑξξ −ϑηη −γϑ + f1 = 0.

2. Параболический тип

ϑηη + β1ϑξ + f1 = 0.

3. Эллиптический тип

ϑξξ +ϑηη +γϑ + f1 = 0.

Пример 3.4. Упростим уравнение (3.6), полученное в примере 3.3. Подставляя выражения для производных (8.7) и сокращая на e λξ +μη будем иметь

ϑξξ +ϑηη + 2(λ +1)ϑξ + (2μ +1)ϑη + (λ2 + μ2 − 2λ + μ)ϑ = 0.

Выберем λ = −1, μ = − 12 . Тогда уравнение будет иметь вид

9