Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы математической физики.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

8. МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ.

Методы интегральных преобразований являются довольно мощным и уни-

версальным средством нахождения в аналитическом виде решений различных типов дифференциальных и интегральных уравнений. Основаны они на исполь-

зовании обширных таблиц значений интегралов определенных типов, соответ-

ствующих тем или иным интегральным преобразованиям.

8.1. Основные понятия и определения.

Интегральным преобразованием называется пара соотношений типа

F (α ) = ∫ f (ξ ) ×ϕ1 (ξ ,α )dξ ,				(8.1)
	C1
	C1

f (ξ ) = ∫		F	(α ) ×ϕ2 (ξ ,α )dα ,	(8.2)
	C2
	C2

где f (ξ ) − неизвестная функция, подлежащая определению;

ϕ1 (ξ ,α ),ϕ2 (ξ ,α ) − известные функции, называемые ядром преобразования.

Соотношение (8.1) называется прямым преобразованием, а (8.2) – обратным преобразованием или формулой обращения. В (8.1) ξ − действительная пере-

менная, обычно имеющая смысл времени или расстояния; α − комплексная пере-

менная; С1 и С2 – контуры интегрирования. Функция F (α ) также называется трансформантой или изображением, а f (ξ ) − оригиналом.

Существуют различные преобразования, отличающиеся видом ядра и пре-

делами интегрирования. Наиболее распространенными являются преобразования Фурье и Лапласа.

Преобразование Фурье (экспоненциальное) применяется к функциям,

121

определённым на неограниченном интервале:

∞

(α ) = ∫ f (x)eiαx dx,

− ∞ < α < ∞ ;

(8.3)

−∞

f (x) =

∞

(α )e−iαx dα,

− ∞ < α < ∞ .

∫

(8.4)

2π −∞

Синус- и косинус - преобразования Фурье применяется к функциям,

определённым на полуограниченном интервале:

∞

f (x) sinαx

dx,

(α ) = 2∫

0 < α < ∞ ;

(8.5)

coxαx

f (x) =

∞

(α ) sinαx dα,

0 < x < ∞ .

(8.6)

∫

cosαx

Преобразование Лапласа также применяется к функциям,

определённым на полуограниченном интервале:

∞

− pt dt ,Re p > σ 0 ,

( p ) = ∫ f ( t )e

(8.7)

f (t) =

σ +i∞

σ > σ 0 ,

0 < t < ∞ ,

∫

( p)e pt dp,

(8.8)

2πi σ −i∞

σ 0 – показатель роста; σ 0 = 0, если функция ограничена.

Во всех интегральных преобразованиях поведение неизвестных функций на концах интервала интегрирования определяется из условия существования

(сходимости) интегралов, с учетом известное поведение ядра преобразования.

Сводка некоторых формул для преобразование Лапласа приведена в Таблице 8.1.

122

Таблица.8.1.

Функция

Трансформанта

Номер

(оригинал)

(изображение)

формулы

f ( t )e−αt

( p +α )

(8.9)

f (t)t

−

(8.10)

F( p )

f ( t )

∞

(8.11)

∫

( p )dp

(8.12)

p F( p )

f ( t )

∫ f ( t )dt

1 F( p )

(8.13)

0, t < α,α > 0

e−αp

( p)

(8.14)

f (t − α ), t > α

Jmβ

(8.15)

,Re p

sin βt

β 2 + p 2

Свёрткой функций f1( t )

f 2 ( t ) действительной переменной t называют

функцию f3( t ) , определяемую интегралом

f3 (t) = ∫ f1 (t − τ ) f2 (τ )dτ .

(8.16)

Теорема о свёртке:

∞

Если интегралы

( p ) = ∫ f1( t )e− pt dt

( p ) = ∫ f 2 ( t )e− pt dt

сходятся абсолютно, когда Re p > σ 0 , то функция

3( p ) =

1( p ) ×

2 ( p )

(8.17)

123

является преобразованием Лапласа от свертки (8.16). Другими словами, свертке оригиналов (8.16) соответствует произведение трансформант (8.17).

Лемма Жордана: Если F(p) аналитична в правой полуплоскости, исключая возможно конечное число полюсов, и стремится равномерно к нулю при ½p½® ¥, когда Rep > 0, то для любого действительного m > 0 имеет место

lim ∫	F ( p)e−mp dp = 0 ,	(8.18)
R→∞ CR

где CR – дуга радиуса R в правой полуплоскости (в случае преобразования

Лапласа).

Эта лемма позволяет замкнуть контур интегрирования в определенной по-

луплоскости и перейти к интегрированию по замкнутому контуру. В ряде случаев это оказывается удобным и позволяет применить теорему Коши о вычетах.

Теорема Коши о вычетах:
Интеграл по замкнутому контуру C от аналитической в области A	функ-
ции равен нулю, т.е.
∫ f ( z )dz = 0.	(8.19)
C

Рис. 8.1. Контур интегрирования.

124

Если же в области содержится особая точка (полюс) z=α функции и если

эта функция может быть представлена в виде f (z ) = f1 (z) f 2 (z ), где f2(z)| z=α= 0, то

интеграл будет равен вычету подынтегральной функции относительно этой точки

∫ f (z)dz = 2πi Re sf (z)	z=α = 2πi	f1		(α )

						.	(8.20)
		f2′	(z)
C					z=α

8.2. Примеры решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных.

Задача 1. Решить краевую задачу о колебаниях полуограниченной струны с заданным законом движения μ(t) ее конца и нулевыми начальными условиями.

Математическая формулировка задачи для функции отклонения струны от равно-

весного состояния u(x,t) выглядит следующим образом:

∂2u(x,t) − a2 ∂2u(x,t) = 0, x (0,∞),t (0,∞);
∂t 2	∂x2

	u(x,t)			x=0		= μ(t),		t (0,∞) − граничные условия,
	u(x,t)					= μ(t),		t (0,∞) − граничные условия,

u(x,t)		t =0	=		∂u(x,t)		t =0	= 0, x (0,∞) − начальные условия.
					∂u(x,t)

						∂t
						∂t

(8.21)

(8.22)

К этим условиям следует добавить граничные и начальные условия в бес-

конечно удаленных точках пространства и времени:

	u(x,t) → 0, x → ∞,
	(8.23)

u(x,t) ограничена, t → ∞.

Последние условия вполне разумные, поскольку в реальных средах всегда есть потери и процессы в них будут затухающими. Ограниченность во времени соот-

ветствует устойчивости процесса. Для решения задачи применим метод инте-

гральных преобразований.

Схему решения можно разбить на несколько этапов.

125

μ(t )

Этап 1. Используя подходящее интегральное преобразование, перейдем от исходной задачи к краевой задаче для трансформанты искомой функции. Обычно эта задача является более простой. Идя таким путем, к дифференциальному урав-

нению второго порядка технику применяют дважды интегрирования по частям.

Проинтегрированные члены при этом должны удовлетворять соответствующим начальным или граничным условиям на концах пути интегрирования, т.е. этим условиям должна удовлетворять неизвестная функция и ее первая производная.

Для решения задачи можно использовать преобразование Лапласа по переменной t. Преобразование Фурье по переменной x использовать нельзя, поскольку при нахождении uxx(x,t) нам потребуется значение ux(x,t)½x=0, а оно нам неизвестно.

Для конкретных видов заданных функций можно было бы найти первую производную x=a.

∞

Пусть u(x, p) = ∫ u(x, t)e − pt dt – трансформанта Лапласа.

Сформулируем для нее краевую задачу. Так как u(x,t) ограничена при t®¥,

то показатель ее роста s0=0. Поэтому функция u(x,p), рассматриваемая как функ-

ция комплексного переменного p, определена и аналитична в полуплоскости

Rep>0, для любого x ³ 0, так как в этой полуплоскости интеграл существует (схо-

дится). Эта процедура применительно к уравнению включает интегрирование по частям. Дважды проинтегрируем по частям уравнение (8.21), считая x парамет-

ром:

u(x.t) ¸ ∫ ¶2 u(x,t)e− pt dt =

tt0 ¶t 2

+pu × e− pt ∞0 + p2 × u(x, p).∞

d		∞	d		d
	u × e− pt	0∞ + p ∫		u × e− pt dt =		u × e− pt	0∞ +

dt			dt		dt
		0

Проинтегрированные слагаемые при t→ ¥ обращаются в нуль за счет экс-

поненты с Rep > 0. Дифференцирование по x в силу равномерной сходимости ин-

теграла Лапласа может быть вынесено за знак интеграла, поэтому

126

∞

u xx ÷ ∫ u xx ( x,t )e− pt dt =

xx ( x, p ).

∞

Введем также u( 0, p ) = μ( t ) ÷ ∫ μ( t )e− pt dt =

( p ) =

u( 0, p ) .

Окончательно постановка задачи сводится к следующей:

xx (x, p) − ( p / a)2

(x, p) = 0,

(8.24)

(0, p) =

( p);

(x, p) → 0, x → ∞.

(8.25)

Таким образом, для трансформанты мы пришли к обыкновенному диффе-

ренциальному уравнению второго порядка с граничными условиями в нуле и на бесконечности. Начальные условия уже использованы при интегрировании по ча-

стям. Задача (8.24) – это так называемая задача Штурма – Лиувилля для обыкно-

венного дифференциального уравнения второго порядка.

Этап 2. Найдем решение задачи для трансформанты. Уравнение (8.24 - 8.25)

является гармоническим и его решение ищется в виде u( x, p ) = ekx . После под-

становки этого выражения в уравнение получим ekx ( k 2 −						p 2	) = 0 . Характеристи-
становки этого выражения в уравнение получим ekx ( k 2 −						a 2	) = 0 . Характеристи-
						a 2
ческое уравнение k 2 −	p2	= 0 имеет решения	k = ±	p	. Общее решение уравне-
	a2			a

ния (8.25) тогда будет

	p	x	−	p	x

u(x, p) = Ae a			+ Be a .

Из условия при x→∞, если Rep>0, следует A = 0, т.е. u( x, p ) = Be

вия в нуле следует u( x, p ) x =0 = B = μ( p ) . Окончательно

− p x

u( x, p ) = μ( p )e a .

Этап 3. Зная трансформанту, найдем искомую функцию (оригинал),

выполнив обратное преобразование:

−p x a

(8.26)

. Из усло-

(8.27)

127

	1	σ + i∞	( t −	x	) p
		σ + i∞	( t −		) p
u( x,t ) =		∫ μ( p )e		a		dp,σ > 0 .	(8.28)
				a

	2πi
		σ −i∞

Функция μ(t) = u(0,t) при t→∞ ограничена по условию (8.23). Следователь-

но, в полуплоскости Rep>0 она аналитична, т.е. не имеет там особенностей. Если

t − x < 0 , то подынтегральная функция в (8.28) удовлетворяет условия леммы a

Жордана в правой полуплоскости Rep>0 и контур интегрирования можно там за-

мкнуть. По теореме Коши о вычетах получим u(x,t) = 0, t < x . a

Когда t > x , то, как следует из (8.28), контур интегрирования можно за- a

мкнуть в полуплоскости Rep ≤ 0. И если бы мы знали там особенности функции

μ( p ) , то могли бы вычислить интеграл по теореме Коши о вычетах. Но из усло-

вия задачи об этих особенностях ничего не известно. А как вы думаете, есть ли вообще там эти особенности? – Конечно, есть. В противном случае преобразова-

ние Лапласа было бы определено во всей комплексной плоскости, а оно опреде-

лено лишь в полуплоскости Rep>0.

С другой стороны, по определению

μ ( p) = ∞∫ μ(t)e− pt dt .	(8.29)
0

Из (8.9) следует, что умножению оригинала на экспоненту соответствует сдвиг в аргументе у трансформанты. Поэтому по формуле (8.28) получаем

		x				x
μ(t −			), t >				;
μ(t −		a	), t >			a	;
u(x,t) =		a		x		a	(8.30)
	0,		t <	x	.
	0,		t <		.
				a

Физическая интерпретация решения: начиная с момента времени t > x/a

имеем колебательный процесс, определяемый изначально заданным законом движения конца струны и распространяющийся вдоль струны со скоростью a. В

128

момент времени t=x/a возмущение еще не дошло до точек струны и они находят-

ся в состоянии покоя.

Задача 2. Решить краевую задачу о колебаниях полуограниченной струны с закрепленным концом и ненулевыми начальными условиями:

	utt − a 2u xx = 0, x (0,∞), t (0,∞) ;
	u(0,t) = 0 − граничное условие,
	u(x,0) = f(x) − начальное условие,
	u(x,0) = f(x) − начальное условие,

	= ψ(x) − начальное условие,
ux(x,t) t =0

u( x,t ) и ux ( x,t ) → 0 при x → ∞ условия на бесконечности.

(8.31)

(8.32)

(8.33)

Для решения задачи можно применить преобразование Лапласа по пере-

менной t и синус-преобразование Фурье по переменной x. Остановимся на по-

следнем:

∞

u(α, t) = 2∫ u(x, t) sinαxdx .

Уравнение (8.31) дважды проинтегрируем по частям, считая t параметром:

u xx	(x, t) ¸ 2∞	d 2	u(x, t) sin αxdx = 2 sin αx ×	du
				dx
	∫ dx 2
	0

∞		∞ du
x =0	- 2α	∫
		∫	dx
				cosαxdx =
		0

= 2 sin αx × du dx

∞		∞		2
∞	- 2α cosαx ×u	∞	-α	2	u(α , t).
x =0	- 2α cosαx ×u	x=0	-α		u(α , t).

Используя граничные условия, видим, что проинтегрированные члены об-

ращаются в ноль. Очевидно также, что

utt ( x,t ) ÷ u tt (α ,t ) .

В результате постановка краевой задачи для трансформант запишется следую-

щим образом:

tt (α ,t ) + a2α 2

u(α ,t ) = 0 ,

(8.34)

129

	u	(α ,0) =		f	(α ),
						(8.35)

ut (α ,t)				=ψ (α ).
			t =0

Общее решение уравнения (8.34) имеет вид:

u(α ,t ) = Aeiaαt + Be−iaαt = A sin( aαt ) + B cos( aαt ) .
			1			1
Подставив его в (8.35), найдем при t=0
		(α ), A	1	ψ	(α ),
	B = f

1		1 aα

u (α ,t ) = 1 ψ (α )sin(aαt )+ f (α )cos(aαt ). aα

После применения формулы обращения получим

∞

u( x,t ) =

∫

( α )cos( aαt )sinαxdα +

u( α ,t )sinαxdα =

∞

∫

( α )sin( aαt ) sin( αx )dα .

πa

По известным формулам заменим произведения тригонометрических функ-

ций, стоящих под знаком интеграла, через их сумму или разность:

cos

β1 − β2

× sin

β1 + β2

[sin β

2 + sin β1 ],

sin

β1 − β2

× sin

β1 + β2

[cos β

2 - sin β1 ],

где обозначено

β1 + β 2

= αx,

β1 - β 2

= αat , β = α[x + at], β

= α[x - at].

Меняя порядок интегрирования, получим:

[ f ( x + at ) + f ( x − at )]+

x + at

u( x,t ) =

∫ψ (τ )dτ , x > at.

(8.36)

2a x − at

Это и есть решение одномерного однородного волнового уравнения с неод-

нородными начальными условиями, полученное Д'Аламбером в 1747 г.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023717.66 Кб11Методы контроля и оценки качества программного обеспечения..pdf
#
05.02.20231.62 Mб10Методы манипуляции цифровой радиосвязи..pdf
#
05.02.2023865.05 Кб5Методы математического описания и расчета сложной линейной электрической цепи в стационарном режиме..pdf
#
05.02.2023589.02 Кб11Методы математической физики.-1.pdf
#
05.02.2023242.02 Кб7Методы математической физики.-2.pdf
#
05.02.20232.8 Mб11Методы математической физики.-3.pdf
#
05.02.20231.1 Mб20Методы математической физики..pdf
#
05.02.20231.66 Mб6Методы моделирования и оптимизации телекоммуникационных систем и сетей.-1.pdf
#
05.02.2023915.36 Кб7Методы моделирования и оптимизации телекоммуникационных систем и сетей..pdf
#
05.02.2023478.47 Кб6Методы неразрушающего контроля и диагностики..pdf
#
05.02.2023903.1 Кб9Методы оптимального управления в автоматизированных системах управления воздушным движением (АС УВД)..pdf