Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы математической физики.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Последовательность		{ϕ n ( x)}	равномерно	сходится	к	решению
уравнения (6.3), если	λ	≤ B −1 .
уравнения (6.3), если	λ	≤ B −1 .

Последовательные приближения ϕ0 (x),ϕ1 (x),...,ϕ n (x),... можно выразить по-

средством итерированных ядер kn (х, s), т.е. представить следующим образом k1 (x, s) = k(x, s) ,

kn+1(x, s) = ∫kn (x, z)k(z, s)dz.

Тогда при малых значениях параметра λ имеем

b
ϕ(x) = f (x)−λ∫H(x,s,λ) f (s)ds,	(6.9)
a
где резольвентное ядро H ( x, s, λ) определяется формулой
− H (x, s, λ) = k1 (x, s) + λk2 (x, s) + ... + λn kn+1 (x, s) + ...	(6.10)
Искомое решение интегрального уравнения имеет форму ряда
ϕ ( x) = f ( x) + λψ 1 ( x) + λ2ψ 2 ( x) + ... + λnψ n ( x) + ...,	(6.11)

который называется рядом Неймана.

В качестве примера найдем решение уравнения

ϕ ( x) − λ ∫ e x −sϕ (s)ds = f ( x).

В этом уравнении все итерированные ядра совпадают с исходным ядром. В част-

ности,

k2 (x, s) = ∫ex−zez−sdz = ex−s .

Резольвентное ядро имеет вид

-H(x,s,λ) = k(x,s)×(1+λ +λ2 +...+λn +...)= ex−s . 1-λ

Ряд для резольвентного ядра сходится при λ < 1 и, следовательно, для этих

λ решение является единственным и записывается следующим образом

ϕ(x) = f (x) −

ex ∫e−s f (s)ds.

λ −1

Если ϕ (х) – точное решение уравнения

(6.3), а

ϕ n ( x)

есть n-е последова-

тельное приближение, то имеет место оценка

ϕ ( x) − ϕ n ( x)

≤ D

n +1 B n

(6.12)

1 −

в предположении, что ядро кусочно-непрерывное и выполняются соотношения:

b
∫ k 2 ( x, s)ds < C = const ,
a
b	b
∫ ∫ k 2 ( x, s)dxds				= B 2 ,
∫ ∫ k 2 ( x, s)dxds				= B 2 ,	(6.13)
a	a				(6.13)
b
∫	f	2	( x)dx < D	= const .
∫	f		( x)dx < D	= const .
a

Последовательные приближения сходятся к решению равномерно при λ ≤ B −1 .

Более грубая оценка может быть получена при следующих предположениях:

ядро непрерывно, причем

k(x, s)

≤ M ,

функция f(x)

непрерывна на

[а, b] и

f ( x)

≤ N , тогда

N (

M (b − a)) n+1

ϕ ( x) − ϕ n ( x)

≤

(6.14)

1 −

(b − a)

6.2.3. Метод механических квадратур.

Если в уравнении (6.3) ядро непрерывно, то интеграл в нем можно заменить,

используя ту или иную квадратурную формулу, например формулу Чебышева:

b	n
∫ψ (x)dx = A∑ψ (xk )dx + σ ,		(6.15)
a	k =1
		92

где
xk =	b − a	+	b − a	xk(n) ,	A =		b − a	,	σ – остаточный член;
xk =		+		xk(n) ,	A =			,	σ – остаточный член;
2		2					n
xk( n) – точки Чебышева, для которых составлены таблицы;
n= 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Используя (6.15), заменим уравнение (6.3) системой уравнений
n
ϕ(xi ) - λA∑k (xi , xk )ϕ(xk ) = f (xi ) + λσ i ,									i = 1,2,…, n; σ i = σ (xi ).	(6.16)
k =1
Отбрасывая в (6.16) малые величины λσ i , получим систему
		~					n		~
		~							~	(6.17)
				ϕ (xi	) − λA∑K(xi , xk )ϕ (xk ) = f (xл ) .					(6.17)
							k =1
		~				~			~
Определив из нее значения ϕ						( x1 ) ,ϕ ( x2 )			, …, ϕ ( xn ) при помощи формул интерпо-

лирования, можно найти приближенное значение и самой функции ϕ (x) .

Интеграл в (6.3) можно заменить и по любым другим квадратурным фор-

мулам, выбор которых зависит от вида ядра интегрального уравнения. При этом необходимо помнить, что чем более точная квадратурная формула используется,

тем большая гладкость ядра, правой части и решения должна требоваться. В слу-

чае, когда промежуток интегрирования является бесконечным, его заменяют ко-

нечным промежутком, если имеется информация о поведении решения при больших значениях ½x½ и если подобную замену возможно сделать.

6.2.4. Метод наименьших квадратов и метод Галёркина.

			~	уравнения (6.3)			ищется в виде разложения
Приближенное решение ϕ (x)				уравнения (6.3)			ищется в виде разложения
				~	n	~
				~		~	(6.18)
			ϕ		(x) = ∑akϕk (x)		(6.18)
					k =1
~	~	~	(x)	линейно-независимых на [a,b] функций. Коэф-
по системе ϕ1 ( x) ,ϕ2 (x) ,…,		ϕn	(x)	линейно-независимых на [a,b] функций. Коэф-
фициенты ak	находят из условия минимизации функционала

a	~	b
∫ ϕ (x) − λ ∫
b		a

или

		~
a	n		b
∫ ∑ak ϕk			(x)− λ ∫
b			a
k =1

~	2
k(x, s)ϕ	(s)ds − f (x) dx = min

~		2
~			(6.19)
k(x, s)ϕk	(s)ds	− f (x) dx = min .	(6.19)

Интеграл, стоящий в левой части (6.19), есть функция от a1 , a2 ,...an . Прирав-

нивая нулю частные производные этой функции по a1 , a2 ,...an , получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов a1 , a2 ,...an . В этом заключается метод наименьших квадратов.

В методе Галёркина коэффициенты ak находятся из условий ортогональности

b	~	b	~	~	(x)dx = 0, k =1,2,...n.	(6.20)
∫ ϕ (x) − λ∫k(x, s)ϕ (s)ds − f (x) ϕk					(x)dx = 0, k =1,2,...n.	(6.20)
a		a

6.2.5. Метод аппроксимации ядра.

Рассмотрим схему метода, который заключается в замене ядра k(x,s) ап-

проксимирующим его выражением вида

n
k(x, s) = ∑ pi (x) qi (s),	(6.21)

i=1

в котором функции Pi(x) линейно независимы. Получающее при этом уравнение

	b	n
	ϕ (x) = λ ∫ ∑ pi (x) qi (s)ϕ (s)ds + f (x)			(6.22)
	a i=1
имеет решение
	~	n	pi (x) + f (x),
	~			(6.23)
	ϕ (x) = λ∑ci			(6.23)
		i=1
b ~	(s) ds подлежат определению.
где ci = ∫a ϕ (s) qi	(s) ds подлежат определению.

Полагая также ϕ~(s) = λ∑c j p j (s) + f (s), и подставляя вместе с (6.23) в

j =1

(6.22), сравнивая затем коэффициенты при pi(x), получаем для нахождения по-

стоянных ci систему линейных алгебраических уравнений:

n
ci − λ ∑αij c j = βi ,	i = 1,2,..., n,	(6.24)
j =1
где
b	b
α i. j = ∫ p j (s)qi (s)ds,	βi = ∫ f (s)qi (s)ds.
a	a

Определив сi из этой системы и подставив их в (6.23), получим функцию ϕ~(x),

которая и принимается за приближенное решение уравнения (6.3).

6.3. Интегральные уравнения Вольтерра.

6.3.1. Теорема существования и единственности.

При условиях, что ядро k(x,s) уравнения Вольтерра второго рода (6.5)

ограничено по абсолютной величине в треугольной области a £ x, s £ h, x ³ s и име-

ет лишь конечное количество точек разрыва с одной и той же абсциссой х или с

одной и той же ординатой s, k(х, s) ≡ 0 при s > х, а свободный член f(x) – непре-

рывная функция, существует непрерывное и притом единственное решение уравнения (6.5).

6.3.2. Метод последовательных приближений.

Схема метода аналогична (6.2.2), т.е.

ϕ0 (x) = f (x),

ϕ1 (x) = f (x) + λ ∫ k (x, s)ϕ0 (s)ds,

...................................................................................	(6.25)

x
ϕn (x) = f (x) + λ ∫ k (x, s)ϕn −1 (s)ds, n = 1,2,3,....
a

Последовательность {ϕ n ( x)} при любом λ равномерно сходится к реше-

нию уравнения (6.5). Функции ϕ n ( x) являются последовательными приближе-

ниями решения уравнения. Их целесообразно выразить посредством ите-

рированных ядер kn (x, s) :

k1 (x, s) = k(x, s) ,

……………………………………

kn+1(x, s) = ∫k(x, z)kn (z, s)dz, n =1,2,3,....

следующим образом

x n

ϕn (x) = f (x) + ∫[∑λmkm (x,s)

a m=1

Тогда

f (s)ds]. (6.26)

x
ϕ(x) = f (x) − λ∫ H(x, s,λ) f (s)ds,	(6.27)
a
где резольвентное ядро имеет вид
∞
H (x, s, λ) = −∑λmkm+1 (x, s) .	(6.28)

m=0

Ряд, определяющий резольвенту, сходится при всех значениях λ .

В качестве примера найдем решение уравнения

ϕ ( x) − λ ∫ e x −sϕ (s)ds = f ( x).

Согласно схеме метода записываем

k (x, s) = exe−s

k2 (x, s) = ∫ex− zez − sdz = ex− s (x − s),

x − z

z −s

x− s (x − s)

k3 (x, s) = ∫e

(z − s)dz = e

..............................................................

kn+1(x, s) = e

x− s

(x − s)n

n = 0,1,2,....

∞

(λ(x − s))

H (x, s, λ) = −∑λn kn+1 (x, s) = −e( x−s) ∑

= −e(1+λ)(x−s) .

n=0

Следовательно

ϕ ( x) = f (x) + λ ∫ e(1+λ )( x −s ) f (s)ds.

6.3.3. Связь уравнения Вольтерра с дифференциальными ёуравнениями.

Обыкновенное дифференциальное уравнение

	d n u	+ a1 ( x)	d n −1u	+ ... + an ( x)u = F ( x), x > 0,			(6.29)
	dx n	+ a1 ( x)		+ ... + an ( x)u = F ( x), x > 0,			(6.29)
	dx n		dx n −1
с граничными условиями при x=0
		′			( n−1)	(0) = cn−1	(6.30)
	u(0) = c0 , u (0) = c1 , ..., u					(0) = cn−1	(6.30)
эквивалентно интегральному уравнению Вольтерра
			x
		ϕ(x) + ∫ k(x, s)ϕ(s)ds = f (x),					(6.31)
		0

где

i		(x −s)	k−1
k(x,s) = ∑ak	(x)	(x −s)		,
k(x,s) = ∑ak	(x)	(k −1)!		,
k=1		(k −1)!

n−1

f (x) = F(x) −cn−1a1(x) −(cn−1x +cn−2 )a2 (x) −...−(cn−1 x− +...+c1(x) +c0 )an (x). (n 1)!

6.3.4. Уравнения Вольтерра первого рода.

Интегральное уравнение Вольтерра первого рода (6.4) в предположе-

′			′
нии, что k (x, x) ¹ 0, kx	(x, s) и f ( x) существуют и непрерывны диффе-
ренцированием приводится к уравнению Вольтерра второго рода:
		x	′		′
ϕ(x) +		∫	kx (x, s)	ϕ(s)ds =	f (x)
						.	(6.32)
			k (x, x)			.	(6.32)
			k (x, x)		k (x, x)
		a

В том случае, когда k (x, x) ≡ 0 , дифференцирование (6.4) приводит к урав-

нению

x
′	(x, s)ϕ(s)ds =		′	(6.33)
∫ kx	(x, s)ϕ(s)ds =		f (x),	(6.33)
a
′		′′	(x, s) и f	′′
и, в предположении, что k	(x, x) ¹ 0,	kxx	(x, s) и f	( x) существуют и непре-

рывны, дифференцирование (6.33) дает

x	′
ϕ(x) + ∫	kxx (x, s)		ϕ

a	′	(x, x)
	kx

	f	′′
(s)ds =		(x)	.	(6.34)
	′	(x, x)
	kx

6.4. Интегральные уравнения в граничных задачах электродинамики.

Мы уже говорили о том, что знание функции Грина или функции точечного источника позволяет записать решение задачи и для любого заданного распреде-

ления источников. Но у функции Грина есть и другое достоинство – знание ее позволяет задачи математической физики формулировать в виде интегральных уравнений. Решение этих уравнений часто оказывается более простым по срав-

нению с решением дифференциальных уравнений в частных производных, осо-

бенно, если иметь в виду использование вычислительной техники, для которой эта задача проще. Кроме того, интегральные уравнения могут иметь меньшую

размерность по сравнению с дифференциальными уравнениями. Ядрами инте-

гральных уравнения как раз и являются функции Грина.

6.4.1. Единственность решения граничных задач.

Пусть имеем трехмерное дифференциальное уравнение Гельмгольца:

	R R	R	R R		R R	(6.35)
	U (r , r ′) + k 2ε (r )U (r , r ′) =			f (r , r ′),		(6.35)
где – оператор Лапласа.
R	R
Функция Грина G(r	, r ′) этого уравнения будет являться решением уравнения
(6.35), но с δ – образной правой частью:
	R R	R	R R	R	R	(6.36)
	G(r , r ′) + k 2ε	(r )G(r , r ′) = δ (r			− r ′).	(6.36)
Правая часть представляет собой математическое описание (модель) то-
чечного источника, расположенного в точке r = r ′ ,				характеризуемой вектором

r ′ , который играет роль параметра, поскольку зависимость от координат опи-

сывается только вектором r . Но уравнение (6.36) не определяет единственным образом функцию Грина, так как необходимо задать еще дополнительные усло-

вия на границе, если она имеется, и условия в бесконечно удаленных точках про-

странства. Если граница имеет особые точки, которыми могут являться изломы,

ребра, заострения, то дополнительные условия должны быть заданы в этих точ-

ках, имеющих бесконечную кривизну. Примером особых точек границы будут:

ребро клина, края полуплоскости или полосы, вершина конуса. В точках ребра,

например, компоненты напряженностей электрического поля и тока, параллель-

ные его краю, обращаются в бесконечность или, как говорят, имеют сингуляр-

ность (в отличие от регулярности). Но это обращение происходит медленнее, чем у самих источников и происходит таким образом, что в окрестности вершин и ребер плотность энергии остается величиной интегрируемой. Математической формулировкой этого факта являются следующие неравенства:

в векторных задачах

∫

2 dV < ∞

∫

2 dV < ∞ ,

(6.37)

в скалярных задачах

∫

2 dV < ∞

∫

2 dV < ∞ ,

(6.38)

где интегрирование проводится по объему V бесконечно малого радиуса, содер-

жащему особые точки.

Условия в сингулярных (особых) точках границы называются также усло-

виями Мейкснера. В качестве компонент в (6.37) достаточно взять решения ста-

тических задач, поскольку в малой окрестности любой точки поле локально яв-

ляется статическим.

В точках источника поле тоже обращается в бесконечность, т.е. для поля источник представляет сингулярность. Но в отличие от особых точек границы плотность энергии вблизи точек источников не является интегрируемой и инте-

гралы типа (6.37) и (6.38) будут расходящимися. Можно показать, что при вы-

полнении неравенств (6.37), (6.38) поток энергии из особых точек границы будет равен нулю, т.е. поле имеет реактивный характер, а от реальных источников по-

ток энергии будет конечным.

Если область пространства, в котором ищется поле, велика, а влияние да-

леко расположенных тел мало, то удобной идеализацией является представление о бесконечно удаленной области пространства. Согласно этой идеализации все тела и источники (токи) расположены на конечном расстоянии от начала коорди-

нат и заключены внутри некоторой сферы большого, но конечного радиуса. Вне этой сферы находится открытая бесконечно протяженная область пространства, в

которой нет ни тел, ни источников. Их отсутствие математически может быть

выражено асимптотическим равенством:

U (r,θ ,ϕ ) =	e ± ikr	F (θ ,ϕ )[1 + O (R r )], r > R,	(6.39)

	r
			100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023717.66 Кб11Методы контроля и оценки качества программного обеспечения..pdf
#
05.02.20231.62 Mб10Методы манипуляции цифровой радиосвязи..pdf
#
05.02.2023865.05 Кб5Методы математического описания и расчета сложной линейной электрической цепи в стационарном режиме..pdf
#
05.02.2023589.02 Кб11Методы математической физики.-1.pdf
#
05.02.2023242.02 Кб7Методы математической физики.-2.pdf
#
05.02.20232.8 Mб11Методы математической физики.-3.pdf
#
05.02.20231.1 Mб20Методы математической физики..pdf
#
05.02.20231.66 Mб6Методы моделирования и оптимизации телекоммуникационных систем и сетей.-1.pdf
#
05.02.2023915.36 Кб7Методы моделирования и оптимизации телекоммуникационных систем и сетей..pdf
#
05.02.2023478.47 Кб7Методы неразрушающего контроля и диагностики..pdf
#
05.02.2023903.1 Кб9Методы оптимального управления в автоматизированных системах управления воздушным движением (АС УВД)..pdf