Математические модели в экономике.-5

C K a 2bd3 .

Рассмотрим случай когда одна из фирм зная, что конкурент выбрал стратегию Курно, действует не по стратегии Курно, а используюя эту ин-

формацию выбирает себе другую стратегию. Такая стратегия называется стратегией Стакельберга. Для простоты будем считать, что d1 d2 d .

Пусть первая фирма дает возможность узнать свой ход x1, тогда вторая фирма выбирает стратегию

Но первая фирма будет действовать тайно по другому с учетом знания стратегии второй фирмы. Подставим в формулу для прибыли первой фир-

мы значение x2 , определяемое формулой (5.9), в результате получим:

W1 bx1(d (x1 x2 )) bx1(d (x1 d x1 )) bx1(d x1 ) . 2

Тогда решив уравнение:

dW1 0 , dx1

Найдем оптимальное значение x1 , соответствующее стратегии Стакельбер-

га, в результате получим:

x1S d2 .

Подставив это значение формулу (8) получим:

x2S d4 .

Общий выпуск товаров по стратегии Стакельберга равен:

xS x1S x2S 34d .

Вычислим прибыли фирм, в результате получим:

41

Суммарная прибыль по Стакельбергу равна:

W S 316bd .

Установившаяся цена на товар равна

CS a b(x1S x2S ) a 3bd4 .

Как видно, цена на товар в случае Стратегии Стакельберга меньше,

чем в стратегии Курно, т.е. стратегия Стакельберга для потребителя вы-

годней, чем стратегия Курно. Итак, мы видим, что прибыль первой фирмы возрастает. Но здесь обе фирмы могут попасть в ловушку, если обе начнут действовать по стратегии Стакельберга. Тогда их прибыль будет умень-

шаться. Эта стратегия опасна для фирм.

Фирмы могут объединиться в монополию или образовать картель (это тайный сговор двух фирм с целью поддержания заданной цены). Рассмот-

рим его подробней в предположении, что d1 d2 d . В этом случае сум-

марная прибыль двух фирм равна:

W W1 W2 bx1(d x) bx2 (d x) bx(d x) .

Максимум прибыли достигается при выпуске:

xM d2 .

Равновесная цена будет следующей:

CM a b(x1M x2M ) a bd2 .

Для объединения фирм в форме картеля имеем:

x1C x2C d4 , W1C W2C bd8 2 .

42

Итак, из расчетов видно, для потребителя наиболее выгодна страте-

гия Стакельберга и наименее выгодной является стратегия монополии или картеля.

ЗАДАНИЕ

1. Для заданных значений параметров a , b , C01 , C02 , x1(0) , x2 (0) полу-

чить графики динамики изменения объемов выпуска фирм, динамики из-

менения прибылей фирм и динамики изменения цены для стратегии Кур-

но. Построить фазовый портрет, найти точку Курно, установившиеся зна-

чения прибылей фирм, объемов выпуска и установившуюся цену. Исход-

ные данные приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

43

6. Динамические модели фирмы

Рассмотрим модель производства n видов товаров в условиях рынка.

Вектор состояния x(k) представлен компонентами:

Математическая модель динамики изменения количества товаров у потребителей и на рынке, а также прибыли может быть записана в следу-

ющем виде:

z1(k 1) (1 k11)z1(k) s1(k) u1(k) , v1(k 1) (1 k21)v1(k) s1(k) ,

z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) , v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) ,

………………….

………………….

zn (k 1) (1 k1n )zn (k) sn (k) un (k) ,

44

где ui (k) количество товаров, выпускаемых за один такт, i 1, n , k1i ко-

ются по формулам:

ный спрос для i -го вида товара (объем рынка для i -го вида товара).

Модель (6.2), (6.3) может быть представлена в следующем векторно-

матричном виде:

45

a11 1 k11 n1 exp( c1 ),

a21 n1 exp( c1 ),

a22 1 k21,

a2,2n 2 n1 exp( c1 ) ,

Y1

a2n 1,2n 1 1 k1n nn exp( cn ),

a2n 1,1 k31 c1n1 exp( c1 ),

a2n 1,3 k32 c2n2 exp( c2 ),

a2n 1,2n 1 k3n cnnn exp( cn ), ,

46

48

ЗАДАНИЕ

1. Для модели фирмы, производящей два вида товаров (6.6) (6.8) вы-

полнить моделирование для следующих значений параметров:

u1 60, u2 65 количество товаров, выпускаемых фирмой за один такт; n1 1,95, n2 1,8 коэффициенты продаж; c1 2,5 у.е., c2 1,5 у.е. цены на товары; c0,1 1,0 у.е., c0,2 0,9 у.е. себестоимости; Y1 Y2 1000 потенци-

альный спрос (объем рынка); k1,1 0,15, k1,2 0,13 коэффициенты потерь; k2,1 0,1, k2,2 0,055 коэффициенты потребления; k3,1 0,002 у.е., k3,2 0,001

у.е. стоимости хранения единицы товара за один день.

Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140 (один такт соответствует 1 дню) для следующих начальных условий:

z1(0) 150, z2 (0) 300, v1(0) 250, v2 (0) 170, w(0) w0 у.е.

Построить графики процессов (величина w0 приведена в таблице 6.1).

2. Исследовать влияние различных стратегий управления фирмой на полученную прибыль.

Стратегия 1. Увеличить цену 2-го вида товара c2 до величины 2,3 у.е.

Привести в отчет графики изменения прибыли. Определить прибыль в по-

следний день исследуемого периода ( w140 ). Оценить возможность реальной реализации этой стратегии. Сделать выводы.

Стратегия 2. Увеличить коэффициент продаж n2 до величины 3,2 (увеличение этого коэффициента можно осуществить, реализовав реклам-

ную компанию). В модели учесть затраты на рекламу в 2у.е. в течении первых 10 дней. Затем этот коэффициент должен уменьшаться по линей-

ному закону в течение 60 дней до первоначальной величины n2 1,8 . Затем опять провести рекламную компанию в течение 10 дней.

49

Построить графики изменения прибыли. Определить прибыль в по-

следний день исследуемого периода ( w140 ). Сделать выводы.

Стратегия 3. Увеличить потенциальный спрос (объем рынков для 1-го и 2-го вида товаров). В модели учесть затраты на расширение рынка в 8у.е.

в течении первых 60 дней. По окончании этого периода значения Y1 и Y2

принять равными 2000 (увеличение этих параметров осуществляется по-

средством расширения рынка в течении первых 60 дней, например, создав новые торговые точки в новом регионе).

Построить графики изменения прибыли. Сделать выводы.

3. Применить метод покоординатного спуска для максимизации кри-

терия J (u1, u2 ) w140 (прибыли фирмы в последний день), применив метод деления шага пополам. Начальное значение шага принять равным 10. оп-

тимизацию осуществить сначала по переменной u2 , затем по переменной u1 .

Промежуточные результаты оформить в виде таблицы. Привести в отчете оптимальные значения объемов производства и оптимальное значе-

ние прибыли.

4. Найти оптимальные значения объемов производства и прибыли с учетом ограничений (величина uмах приведена в таблице 6.2):

u1 u2 uмах .

50