Математические модели в экономике.-5

В примере

то есть компенсация должна составить 27 единиц.

Отметим, что при изменении цен на товары происходит изменение структуры потребления. В этом изменении структуры потребления одно-

временно сказываются два эффекта:

-изменение соотношения цен между различными товарами;

-изменение финансовой ситуации для покупателя.

Понятие компенсации позволяет исключить второй эффект и выде-

лить эффект влияния изменения соотношения цен между товарами на их приобретение в чистом виде.

ЗАДАНИЕ

1. Пусть имеется два вида товаров с ценами, c1 и c2 . Функция полез-

ности имеет вид:

u(x1, x2 ) d1x12 d2 x22 d3x1x2 .

Имеющийся в наличии капитал, равен K . Какое количество товаров дол-

жен приобрести потребитель, для максимизации функции полезности.

Значения c1 , c2 , d1, d2 , d3, K приведены в таблице. Расчет выполнить сна-

чала при d3 0 , затем для того значения d3 , которое приведено в таблице

1.1.

2. Пусть цена c1 увеличилась на 2у.е. Рассчитать компенсацию K для капитала при тех же исходных данных, обеспечив при этом прежнее зна-

чение функции полезности. При этом параметр d3 принять равным нулю.

11

то ПФ F(K, L) называется однородной ПФ со степенью однородности .

Если 1, то однородная ПФ F(K, L) называется линейно-однородной ПФ.

Теорема 2.1. (Теорема Эйлера). Если F(K, L) является однородной ПФ

со степенью однородности , то справедливо равенство

i 1

Рассмотрим основные экономико математические характеристики.

Средней производительностью труда называется величина

13

т.е. y это количество валового продукта, приходящегося на единицу тру-

т.е. z это количество валового продукта, приходящегося на единицу ос-

т.е. k это количество основных фондов, приходящееся на единицу трудо-

вых ресурсов.

Предельной производительностью труда или нормой прибыли с тру-

довых ресурсов называется величина

т.е. это прирост валового продукта, приходящийся на единицу приро-

ста трудовых ресурсов.

Предельной фондоотдачей или нормой прибыли с основных фондов называется величина

(2.11)

т.е. r это прирост валового продукта, приходящийся на единицу основ-

ных фондов.

Пусть при заданном K прирост трудовых ресурсов, равный L , вы-

зывает прирост валового продукта, равный F . Тогда, согласно (2.4),

F / L . Пусть при заданном L прирост основных фондов, равный K ,

вызывает прирост валового продукта, равный F . Тогда, согласно (2.11), r F / K . Таким образом, экономический смысл параметров и r оче-

виден.

Очевидно, что

14

являются соответственно доходами, полученными с основных фондов и трудовых ресурсов. Тогда для линейно-однородной ПФ, согласно (2.11), (2.12), следует, что

F(K, L) YK YL .

Таким образом, теорема Эйлера для линейно-однородная ПФ дает представление валового продукта в виде суммы YK и YL .

Коэффициентом эластичности по фондам называется величина

т.е. это процентный прирост валового продукта, приходящийся на один процент прироста основных фондов.

Коэффициентом эластичности по трудовым ресурсам называется ве-

личина

т.е. это процентный прирост валового продукта, приходящийся на один процент прироста трудовых ресурсов.

Справедливость следующих двух формул очевидна

Теорема 2.3. Пусть F(K, L) являются линейно-однородная ПФ со сте-

пенью однородности , тогда имеет место свойство

.

Пусть F(K, L) однородная ПФ со степенью однородности . Тогда соотношению F( K, L) F(K, L) эквивалентно соотношение

y L 1 f (k) ,

15

где y Y / L, k K / L соответственно средняя производительность труда

и фондовооруженность труда, а для k 0 имеет вид

f (k) F(k,1) .

Очевидно, что неоклассические условия для f (k) имеют вид (здесь и далее штрихи, как правые верхние индексы, означают производные соответ-

ствующего порядка по k )

10 ) f (k) 0; 20 ) f (k) 0;

30 ) lim f (k) ;

k 0

40 ) lim f (k) 0.

k

Теорема 2.4. Если F(K, L) однородная ПФ со степенью однородно-

сти , то F(K, L) и f (k) связаны соотношениями

F(K, L) L f (k) .

Теорема 2.5. Экономико математические параметры z, , r, , для однородной ПФ определяются формулами

z(1/ k)L 1 f (k) ,

L 1[ f (k) kf (k)] ,

rL 1 f (k) ,

k[ f (k) / f (k)],

k[ f (k) / f (k)] .

Если F(K, L) линейно-однородная ПФ, то r является убывающей, а

возрастающей функцией фондовооруженности k .

Если хотя бы один из коэффициентов эластичности либо не за-

висит от фондовооруженности k , то линейно-однородная ПФ является ПФ Кобба Дугласа.

16

Рссмотрим параметры эластичности замены факторов.

Пусть фактор K получил приращение K . Ставится вопрос: на какую величину L должен уменьшиться фактор L , чтобы величина валового продукта не изменилась. Справедлив и обратный вопрос. Таким образом,

основное соотношение для решения поставленного вопроса замены одного фактора производства другим имеет вид

Произведение предельных норм замены равно единице, т.е.

SK SL 1 .

Если ПФ является однородной со степенью однородности , то име-

ют место формулы

ром L называется процентное изменение фактора L , вызывающее изме-

нение предельной нормы замены SL на один процент.

17

Согласно определению

Теорема 2.6. Для того, чтобы норма замены SK либо SL линейно-

однородной ПФ не зависела от фондовооруженности k , необходимо и до-

статочно, чтобы она была линейной, т.е.

F(x1, x2 ,..., xn ) 0 , определяющая валовой продукт Y через факторы произ-

водства, т.е.

Y F(x1, x2 ,..., xn ) ,

называется производственной функцией.

Если для 0 и 0 имеет место свойство

F(x1, x2 ,..., xn ) F(x1, x2 ,...,xn ) ,

то ПФ F(x1, x2 ,..., xn ) называется однородной ПФ со степенью однородно-

сти . Если 1, то однородная ПФ называется линейно однородной ПФ.

Теорема 2.7. (Теорема Эйлера). Если F(x1, x2 ,..., xn ) является однород-

ной ПФ со степенью однородности , то имеет место свойство

18

ПФ F(x1, x2 ,..., xn ) называется неоклассической ПФ, если для

xi 0, i 1; n , она удовлетворяет условиям

т.е. yi это количество валового продукта, приходящегося на единицу фактора xi .

Фондовооруженностью фактора x j относительно фактора xi называ-

ется величина

rij xi ,

x j

т.е. rij это количество фактора xi , приходящегося на единицу фактора x j .

Предельной производительностью фактора xi или нормой прибыли с фактора xi называется величина

19

F (x1, x2 ,..., xn ) ,

ixi

т.е. i это прирост валового продукта, приходящийся на единицу приро-

ста фактора xi .

Очевидно, что

Yi F (x1, x2 ,..., xn ) xixi

является доходом, полученным за счет фактора xi . Тогда для линейно-

однородная ПФ, справедливо равенство

n

F (x1, x2 ,..., xn ) Yi ,

i 1

т.е. для линейно-однородной ПФ теорема Эйлера дает представление ва-

лового продукта в виде суммы Yi .

Коэффициентом эластичности по фактору xi называется величина

т.е. i это процентный прирост валового продукта, приходящийся на

f (k1,i , k2,i ,..., ki 1,i ,1, ki 1,i ,..., kn,i ) fi ().

Тогда

F(x1, x2 ,..., xn ) xi fi ( ) ,

20