Математика.-7

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение. Для функции

полюсы это корни 4 степени из

1. Решим уравнение z 4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

здесь степень знаменателя на 4 больше, чем числителя, то есть модуль

функции величина порядка				1		, а дуга длины R . Поэтому интеграл
функции величина порядка				R	4	, а дуга длины R . Поэтому интеграл
					4

по дуге меньше, чем			, и стремится к 0. В пределе, действительная
по дуге меньше, чем	R	3	, и стремится к 0. В пределе, действительная
		3

ось - граница верхней полуплоскости.

Таким образом,

		1
		1		dx
(x	2	1)(x	2	dx
(x		1)(x		36)


i Re s
	z i

f (z) Re s

z 6i

(z)

где		f (z)					1					.
где		f (z)			(z	i)(z i)(z 6i)(z 6i)						.
					(z	i)(z i)(z 6i)(z 6i)
				1								1
				1		dx	= 2 i					1

	(x2 1)(x2									i)(z 2 36)
	(x2 1)(x2					36)		(z		i)(z 2 36)					i
															i

2				1		1		2	i	1			1		2
2		i						=						=
			(2i)35			( 35)(12i)		35i			2		12		35
			(2i)35			( 35)(12i)		35i			2		12		35


Ответ.					.
Ответ.				42	.
				42

(z 2

		5
		12
		12

1)(z

=
	6	7

6i) 6i

	=
	=	42
		42

Практика № 12.

26.11.2018

Задача 98. Вычислить интеграл


	x	2
	x

1dx

x 1

	1
Решение. Рассмотрим функцию	f (z)		. Найдём корни
		z 2 z 1

знаменателя, т.е. полюсы функции.

D 1 4 3

, тогда

=1 3 i . Поскольку 2 сопряжённых корня, один

2 2

полуплоскости, а другой в нижней. Вычет надо будет

	1	3i
	2
	2

вверхней

вычислять

только в точке						1
только в точке						2
						2
			1
		2	1	dx	= 2
	x	2	x 1

2	i			1
2	i
				1	3
	z					i
				2	2
				2	2
2	i	1		= 2		1

		3				3
	2	3	i			3
	2	2	i
		2
Ответ.		2		.
Ответ.			3	.
			3

3		i .
2		i .
2



i		Re s
	z		1		3
	z					i
			2	2


				=	2

1 3 i

2 2

= 2 .

						1
		1		3
z					i z
		2		2

i					1

	1		3	i			1

	2		2				2

		3
		2
		2

	1
	2
	2

3 2






	i
	i

Задача 99. Вычислить интеграл


	x	2
	x

14x

dx 20

Решение. Найдём корни знаменателя функции

4z 20

D 16 4 20

= 16 80 64 . Тогда z

4 8i

2 4i .

В верхней полуплоскости только один полюс, 2 4i .

Re s

= 2 i

4x 20

z 2 4i z

z 2 4i

= 2 i

i z 2 4i

4 .

2 4i 2 4i

2 4i

Ответ.

Замечание. Для сравнения, покажем и решение методами прошлого

																1
семестра,			без		комплексных			чисел и		вычетов.				2		1		dx	=
													x	2	4x 20



	1					1	x 2			1
		2		2	dx =		arctg		=						=		.
					dx =		arctg		=						=		.
	(x 2)		4			4		4		4	2	2				4
	(x 2)		4			4		4		4	2	2				4

Задача 100. Вычислить интеграл



1dx

x4 1

	n			n		2 k		2 k
Вспомним формулу	n	z		n	cos		i sin		. В нашем
Вспомним формулу		z			cos		i sin		. В нашем
						n		n
		4				2 k		2 k
случае получается		4	1	1 cos			i sin		, т.е. на
случае получается			1	1 cos			i sin		, т.е. на
						4		4

единичной окружности есть 4 точки, соответствующие аргументам

		k . Эти 4 точки можно записать в виде	1	i	. Вот они на
4	2		2	2

чертеже:

Две из них,					а именно		1			i	, в верхней полуплоскости. То есть,
Две из них,					а именно						, в верхней полуплоскости. То есть,
								2		2
надо будет найти сумму вычетов в 2 из 4 полюсов для функции
1		, которую можно представить в виде:

	z 4 1
											1
			1		i		1			i		1	i			1	i
z					z						z		z
			2				2					2				2	2
			2		2		2			2		2	2			2	2
В первом случае в знаменателе пропадает 1-я скобка, во втором - 4-я.
						2		i							+
					i								i		+
				1	i		1		i			1	i
z					z						z
				2			2					2
				2	2		2		2			2	2 1	i
													2	2
													2	2

				2	i
	1	i		1		i		1	i
z			z				z
	2			2				2
	2	2		2		2		2	2

		1		i
		2		2

		2	i					2	i				=
2		2i		2i	2		2	2i		2	2i		=
2		2i		2i	2		2	2i		2	2i
2	i			1				1				2
				1				1			=

2i		2		2	2i	1		2		2i
													2i
													2i

Далее приводим к общему знаменателю,

сопряжённые числа.						2	2
	2	2i	2	2i	=			=	2	.
	2	2i	2	2i		2	2		2

i	1
		2i
	2
	2

причём там

1
		.
2		.

	2i

умножаются

Ответ.	2	.
Ответ.	2	.
	2
					1
Задача 101. Вычислить интеграл				2	1	3	dx .
			(x	2	1)	3

Решение. В этом примере, если решать без вычетов, решение было бы более громоздким: надо было бы дважды применять рекуррентную формулу из прошлого семестра, чтобы от 3 степени перейти ко 2-й и затем к 1-й. А с помощью вычетов, будет просто один вычет в полюсе порядка 3.

f (z)							1		=
f (z)				(z	2		1)	3	=
					2			3

один полюс z i .
			1
		2	1			3	dx	= 2
	(x	2		1)		3

	1			. В верхней полуплоскости только
(z i)	3	(z i)	3

i Re s

= 2

z i

(z i)

	( 3)
	( 3)
i
	(z i)	4
	(z i)

	( 3)( 4)
i		5
	(z i)	5
	(z i)		i
			i

i	12
i	(2i)	5
		5


	2		2		3
i	2				3
i	2	5		i		5
		5				5

Учитывая, что									i	4		( 1)				2	1	, тогда	i	5	i , далее:
Учитывая, что									i			( 1)					1	, тогда	i		i , далее:
i 2		2		3						3				3
				3			=	i		3		=		3	.
					5		=	i			3	=			.
2	5		i		5				2		3	i	8
2			i						2			i	8
Ответ.						3	.
Ответ.						8	.
						8

Интегралы								типа					f (x) sin axdx						и			f (x) cos axdx

вычисляются в

комплексе, одним действием, если вместо sin и cos рассмотреть


По формуле Эйлера, e	aiz	cos az i sin az . Тогда
									i Re s f (
f (z) cos azdz i f (z) sin azdz			=	f (z)e	aiz	dz	=	2

e	aiz		.

z)e		aiz

по всем полюсам в области. Если же область это верхняя полуплоскость, а граница - действительная ось, то сумма вычетов по всем полюсам в верхней полуплоскости. Тогда получается, что:

			Re 2	i Re s f (z)e
	f (x) cos axdx =						aiz
							aiz


			Im 2	i Re s f (z)e
	f (x) sin axdx	=				aiz
						aiz

			2 i Re s f (z)e			,
то есть вычислив					aiz
то есть вычислив

Im получившегося комплексного числа.



затем достаточно найти Re и

sin x

x cos

Задача 102. Вычислить интегралы

dx .

x 4

Решение. Рассмотрим функцию f (z)

zeiz

. Здесь

z 2 4

(z 2i)(z 2i)

всего лишь один полюс в верхней полуплоскости, а именно z 2i .

Тогда

		ze	iz
2	i Re s
	z 2i	(z 2i)(z 2i)
	z 2i	(z 2i)(z 2i)

			ze	iz				2ie	2
=	2	i	ze		=	2	i	2ie
=	2	i	z 2i		=	2	i	4i
			z 2i		2i			4i
					2i

2 i

. При этом Re

, Im

x sin x

x cos x

Ответ.

= 0.

dx =

2 ,

cos x

Замечание. Кстати, интеграл

можно записать и в таком

виде, что выделить чётную и нечётную компоненту, т.е. под интегралом нечётная функция (произведение нечётной на чётную), и результат по правой и левой полуосям взаимоуничтожается. Поэтому можно было сразу заметить, что он равен 0.

Далее изучим задачи на вычисление интегралов f (sin x, cos x)dx .

При этом применяется замена z eix , чтобы свести к интегралу по единичной окружности в комплексной плоскости. Тогда:

cos x =

1		1
	z
2		z

sin x =

1 z 2i

1 z

1 iz

Задача 103. Вычислить интеграл cos 2 xdx .

Решение.

1
		z
4i	z 1
	z 1

2
cos		2

0
1		2
z	3	z

		1		1	2	1			1				1			1
		1		1		1			1			2	1			1
xdx =			z				dz	=			z				2		dz	=
xdx =		4	z			iz	dz	=	4i		z		z	2	2		dz	=
	z 1	4		z		iz			4i	z 1			z		z
	z 1									z 1

dz , разобьём на сумму 3 интегралов:

1	zdz	1		1
4i		4i		z	3
	z 1		z 1

	dz	1
	dz	4i
		4i

		2
		z
	z 1

. В первом, аналитическая функция,

не имеющая особых точек. Интеграл от неё по замкнутому контуру равен 0. Во 2-м и 3-м слагаемом, единственным полюсом является

точка

z 0

, но в одном из них полюс 3 порядка, а в другом 1 порядка.

Там, где полюс 3-го порядка, надо вычислить 2-ю производную от числителя, но 2 производная от константы равна 0. И только в 3-м слагаемом при вычислении вычета остаётся ненулевой результат, потому что там полюс 1 порядка, и производную от константы

считать не нужно. Подставлять

z 0

в функцию, тождественно

равную 2, тоже нет необходимости, ведь она равна 2 в любой точке.

0 2 i Re s

2 i Re s 2

= 0

2 = 0 0 = .

z 0

2 2!

0 2

А для сравнения, можно было решить и старым методом, без комплексных чисел. Применим формулу понижения степени.

2
cos	2	xdx
cos		xdx
0

2	1	cos 2x
			dx
		2
0

2	1	2	cos 2x
		dx		dx
	2		2
0		0

x 2

		sin 2x
		4
		4

2 0 2

Ответ.

Задача

104.

0	= 0	= .

2	cos x
Вычислить интеграл		dx .
	2 sin x
0

cos x

1 dz

Решение.

dx =

sin x

1 iz

z 1

Чтобы упростить это выражение, сначала домножим на

в числителе

и знаменателе, затем на 2, затем домножим i

, которое есть в

знаменателе, на все слагаемые слева от него.

z 1 2z

z 2 1 iz

z 1

z 2

1 iz

z 1 4iz z

1 z

Отдельный

множитель

знаменателе

наоборот,

лучше не

объединять со знаменателем большой дроби, ведь он и так

соответствует полюсу

z 0 . Чтобы не приводить к 3-й степени и не

усложнять поиск корней многочлена, лучше оставить это z

отдельно,

и найти 2 корня многочлена второй степени.

Итак, получили

4iz

dz . Один полюс

z 0 видно сразу,

ищем 2 других. Ищем корни многочлена z 2 4iz 1.

D (4i)

4( 1) 16 4 12 .

4i 2

3 i . При этом

i по модулю больше 1, т.е. этот

полюс вне единичного круга,

а точка

3 i

внутри круга.

Итак, 2 из 3 полюсов внутри круга радиуса 1, т.е. интеграл определяется суммой вычетов в них.

впрочем, когда мы будем

Подынтегральную функцию можно представить в виде:
		z	2	1		1
			2
f (z)	z 2	3	i z 2		3 i	z
	z 2	3	i z 2		3 i	z

считать вычет в 0, те две скобки можем для краткости опять объединить.


Итак, мы должны вычислить	2	i	Re s f (z)	Re s		f (z)
Итак, мы должны вычислить	2	i	Re s f (z)	Re s	i	f (z)
			z 0	z 2 3	i

полюсы 1-го порядка.

, причём

			z			1						z		1
			z		2	1						z	2	1
					2								2
2	i	z	2	4iz 1						z 2						3	i z								=
			2																	2		3
								0															i
								0															i
		1									2			3		i 2	1
		1									2			3		i 2	1
															2
2	i					2					i 2					3		i 2									=
2	i	1				2			3		i 2					3		i 2				3			i


											2
						2			3			1									4 3 4							3 1
2		1				2			3			1			2					1	4 3 4							3 1
	i						3i 2				3 i			=			i									2				=
	i					2								=			i					2			3				3	=





							4 3 6												4	3 6								i 1 1 = 0.
2		1					3 2					= 2				1								=		2
2	i	1										= 2		i		1								=		2
						2				3									4	3 6

Для сравнения, покажем решение этой задачи методами прошлого семестра, без вычетов. Можно было применить универсальную тригонометрическую подстановку, но лучше подвести под знак дифференциала.

2		cos x
			dx
	2	sin x
0

2	d (sin x)

	2	sin x
0

2	d (2		sin x)

	2	sin x
0

= ln

	2 sin x	2
	2 sin x	0
		0

ln 2 ln 2

= 0. Ответ. 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб53Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf
#
05.02.2023671.92 Кб5Математическая логика и теория алгоритмов.-3.pdf
#
05.02.2023482.94 Кб5Математическая логика и теория алгоритмов.-4.pdf