Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Практика № 13.

03.12.2018

Задача 105. Вычислить интеграл

2		1

	5	4 cos x
0

Решение.

cos x 1 2

Здесь надо сделать замену

z	1		dx	1
		,			dz .
		,			dz .
	z			iz

e	ix

, при которой:

2		1
		1	dx		=
	5 4 cos x

0
0
1		1
i		5z 2 z 2		1
	z 1

z 1 5

		1	1
	1		1
4		z
4		z
	2		z

1				1
i		2z	2	5z
	z 1

dz =	1			1		1	dz	=

		i			1	z
			z 1 5 2 z
			z 1 5 2 z
					z
dz .
2

Теперь найдём корни многочлена в знаменателе, тем самым найдём полюсы функции.

D 25 4 2 2 9 .	z	5 3	, корни	1	и	2	. Один из них,
		4		2

очевидно, внутри единичного круга, другой снаружи. Поэтому надо будет найти всего один вычет.

С учётом найденных полюсов, интеграл запишется в виде:

1				1
i
i
					z
	z 1 2 z 2				z

2		1
2		2 z	2
		2 z	2	z		1
				z		2
						2

Ответ. 23 .

	1	dz	= 2
	1

	2
= 2				1
= 2					1
					1
		2 2

					2


	1					1
	1					1
i		Re		1s					=
i	i	Re		1s				1	=
		z				2 z 2	z
				2


								2
	=		2		.
	=		3		.
			3

Задача 106. Вычислить интеграл

2
cos	4
cos
0

xdx

Решение. Сделаем ту же замену что и в прошлой задаче.

	ix	, cos x	1		1			1
z e	ix			z		,	dx		dz .
z e				z		,	dx		dz .
			2		z			iz
			2		z			iz

2		1			1	4	1
						4
Тогда cos 4 xdx =								dz ,
Тогда cos 4 xdx =			4	z				dz ,
0	z 1	2			z		iz
0	z 1

вынесем за знак интеграла все константы,

1			1	4	1			1					1
											2	2
		z				dz	=			z
16i					z			16i					z	2
	z 1		z						z 1

получим

	2	2	1		1	dz
z				2
			z		z

1			4	4z	2	6	4
16i		z		4z		6	z	2
16i	z 1						z
	z 1

1
z	4

1 z

16i

z 1

что далее можно представить в виде суммы 5 интегралов. Для 1-го и 2-го из них функции вообще не имеет особых точек внутри круга радиуса 1, эти слагаемые 0. Исследуем 3 последних.

, каждый считается

с помощью

16i

z 1

вычета внутри круга, причём для всех полюс это точка

z 0 . Но в

одном случае это полюс 1 порядка, а в других 3-го и 5-го. Если полюс кратный, то находится производная от числителя, а он равен константе, значит, производная равна 0. Таким образом, два последних интеграла тоже 0.

2	i				6			4				1					1		1	(4)
					6			4				1				6	1		1	(4)
	Re s					Re s			3	Re s			5	=		6		4		1	=
16i		z 0			z		z 0	z	3		z 0	z	5		8		2!		4!
16i					z			z				z			8		2!		4!

6 0 0						=	6	=		3	.
6 0 0						=		=			.
8							8			4
Ответ.			3	.
Ответ.		4		.
		4

Задача 107. Вычислить интеграл

		cos x
		cos x
(x	2	1)(x	2
(x		1)(x

dx4)

Решение. В соответствии с тем методом, который был описан на странице 86 перед задачей 102, здесь надо рассмотреть функцию

		e	iz
					, она имеет 4 полюса	i,i,2i, 2i , из них i,2i	в верхней
	2	1)(z		2
(z					4)

полуплоскости. Надо будет искать с помощью суммы вычетов в								i,2i .

i Re s

1)(z

eiz

Re 2

i Re s

Re s

1)(z

учитывая тот факт, что

здесь мы в 1 слагаемом

(z i) , во втором

(z 2i) .

			e	iz
Re	2	i	e
Re	2	i	(z i)(z		2	4)
					2
							i
							i

eiz	(z
2 1)(z 2 4)

надо устранить из

		e	iz
		e
(z	2	1)(z 2i)
(z		1)(z 2i)
				2i

eiz ,

i)(z i)( z 2i)(z 2i)

знаменателя множитель

Re 2

( 3)4i

2i 3

2 2

12 e

Ответ.



1 e

= Re

	e		1	e	2
2
		6		12
		6		12

= 2

e		1	e	2

	6		12
	6		12

Ещё серия подобных задач на повторение перед контрольной.

Задача 108 А. Вычислить интеграл

		1
		1
(x	2	1)(x	2
(x		1)(x

dx4)

Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь в числителе нет

					1						1
2	i	Re s						Re s						=
2	i	Re s	(z	2	1)(z	2	4)	Re s	(z	2	1)(z	2	4)	=
		i		2		2		2i		2		2


2	i
2	i		(z



2		1
2
		6

Ответ.

		1
i)(z			2	4)
i)(z				4)		i
						i
1		=		2	1
		=		2
12					12
12					12
	.
6	.
6

(z 6

	1
2	1)(z 2i)
	1)(z 2i)
.

  

			1	1
=	2	i			=
=	2	i			=
			2i 3
			2i 3	( 3)4i

																				1
Задача 108 Б. Вычислить интеграл																			2	1	2	dx .
																		(x	2	4)	2



Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи,
полуплоскости полюс 2 порядка, зато всего один.
							1									1						2
							1									1			= 2		i	2
2 i Re s						2					2		= 2 i				2		= 2		i			3
					(z	2		4)			2				(z 2i)		2					(z	2i)	3
			2i		(z			4)							(z 2i)							(z	2i)		2i
			2i
																		2i
																		2i
2 i		2			=		4					i	=	i	=	.
2 i		2			=								=	i	=	.
				3				3		3			2			16
	(4i)						4		i					4 ( i)		16
	(4i)						4		i					4 ( i)
Ответ.					.
Ответ.					.
			16

в верхней

Задача 108 В. Вычислить интеграл

				z 2
Решение. 2	i Re s					= 2
Решение. 2	i Re s		2			= 2
		(z	2	4)	2
	2i	(z		4)

				x	2
				x				dx
		(x	2	4)			2	dx
		(x		4)

			z 2
			z 2
i
i						2
	(z 2i)					2
	(z 2i)							2i
								2i

2	i	2z

2 i

Ответ.

(z 2i (

4iz

2i)3

		.
	4	.
	4


)	2	2(z
)		2(z
z 2i)			4
z 2i)

= 2

2i)z	2

8
4	3	i	3

	=	2			i
2i
=	2	8
=	2	4	3	i	2
			3		2


2z(z 2i) 2z
(z 2i)			3

= 2	8
	3	( 1)
4

2i
16
4	3

Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье.

Задача 109. Разложить в тригонометрический ряд Фурье:

f (x)

0, x ( 1,0)
	1, x (0,1)

Решение. Здесь l 1, функция ступенчатая, на левой половине тождественно равна 0. Поэтому при вычислениях надо будет учесть только интеграл от 0 до 1.

	1		0		1
a0				0dx		1dx	= 1. Тогда
	1

		1			0
		1			0

высота графика этой функции.

a0 2

1 2

. Кстати, это и есть средняя

	1		1			1	1	1
an				cos(n x)dx	=		sin n x =		(sin n sin 0) 0	так как

	1					n		n
		0					0

синус любого угла, кратного , есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов. Впрочем, об этом можно было догадаться и сразу и не считать интегралы: ведь если сместить этот график вниз на 1/2, то

получится нечётная функция.

1	cos n cos 0 =	1	( 1)
n		n

b		1
b
n		1
		1

n 1 =

1

sin( n x)dx
0

1 ( 1)n . n

1 n

1 cos(n x) 0

	1		1 ( 1)	n
Ответ. Ряд Фурье:				sin( n x) .
	2		n

		n 1

Подробнее изучим строение частичных сумм. Видно, что при чётном n коэффициент равен 0. Получается:

1	2	sin( x)	2	sin( 3 x)	2	sin( 5 x) ...
2			3		5

Вот чертёж, на котором показано строение частичных сумм.

Жирная фиолетовая линия - это исходная ступенчатая функция,

пунктирная линия - константа					a	0		1		(средняя высота) , зелёный,

					2			2

синий и красный графики это суммы:
f1 (x) =	1	2	sin( x) ,	f2 (x) =			1		2	sin( x)	2	sin( 3 x) ,
	2						2				3

f	3	(x)
	3

=	1	2	sin( x)	2	sin( 3 x)	2	sin( 5 x) .
				3		5
	2

Чем больше слагаемых содержит частичная сумма и чем большие частоты учтены, тем меньше среднеквадратичное отклонение от исходной функции.

Практика № 14.

10.12.2018

Задача 110. Найти наилучшее среднеквадратичное приближение

функции	f (x) x	3	среди линейных функций	y kx b	на 1,1 .

Решение. Среднеквадратичное отклонение пропорционально такому

	1	x		2
				2
интегралу от квадрата разности:			3	(kx b)	dx .
			3

	1

На чертеже видно, что если провести прямую через точки

( 1, 1)

(1,1)

, то отклонение не получится наименьшим. А если угол наклона

сделать чуть меньше, то получится. Так вот, мы и должны вычислить, какой именно угол наклона обеспечит наименьшее отклонение.

1
x			3	(kx
x				(kx
1
1
x			6	2kx		4
x				2kx
1
	7	1				5
x					2kx
7			1		5
7			1		5

2					1	x
2
b)	dx			=				6		2x	3	(kx b) (kx b)					2	dx
								6			3						2

				1
2bx			3	k	2	x	2		2kbx b					2	dx	=
2bx				k		x			2kbx b						dx	=
1		2bx4			1					k 2 x3		1	kbx2			1 b2 x	1 .
													kbx2			1 b2 x	1 .
1				4	1				3			1				1	1
1					1							1

Там, где были нечётные степени, а после интегрирования стали чётные, результат 0 (ведь по формуле Ньютона-Лейбница получается c c ). Так что из 6 слагаемых остаются лишь 4. А где нечётные, там наоборот, удваивается, ведь отнимается подобный результат при 1

Получается

переменная

7 x ,

4k	2k	2
		2b	2	. Вычислили интеграл, исчезла

5	3

но зависимость от параметров осталась, т.е. получили

		2	4k	2k	2
некую функцию	(k, b) =				2b	2	.

		7	5	3

Чтобы найти экстремум, надо найти частные производные по приравнять к нулю.

	= 0,						=	4	4k		= 0.

b = 4b					k			5		3
								5		3
Тогда b 0		,	k		1	, т.е.		k	3	. Линейная функция		y	3	x .
Тогда b 0		,	3		5	, т.е.		k	5	. Линейная функция		y	5	x .
			3		5				5				5
Ответ.	y		3	x .
Ответ.	y		5	x .
			5

k , b

Задача 111. Разложить в тригонометрический ряд Фурье:

f (x)

1, x ( 2,0)
	5, x (0,2)

Решение. Здесь функция ступенчатая, поэтому вычислять интегралы по частям не придётся, будет в 1 шаг. Но разбивать на две части надо, т.к. функция задана по-разному справа и слева от 0. Кроме того, надо

учесть, что					l 2			здесь.
	1		0			2				1	2 10 = 6. Тогда	a0
	1									1		a0
a0	2			1dx			5dx		=	2		2	3 . Кстати, это и есть
	2	2				0				2		2
		2				0

средняя высота графика этой функции.

		1		0		n x		2			n x					1	2			n x		0	2		n x
		1				n x					n x					1	2			n x			2		n x
an		2			cos	2	dx		5cos			2		dx	=			sin		2		5	n	sin	2
		2		2		2		0				2				2 n				2			n		2
				2				0														2
																						2
1	2		(sin 0 sin( n )) 5								2		(sin n			sin 0)			0
			(sin 0 sin( n )) 5										(sin n			sin 0)			0		так как синус
2 n										n

любого угла, кратного , есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов. Впрочем, об этом можно было догадаться и сразу и не считать

  

интегралы: ведь если сместить этот график вниз на 3, то получится нечётная функция.

		1	0		n x		2		n x			1 2		n x	0		2		n x
		1			n x				n x			1 2		n x			2		n x
bn				sin	2	dx		5sin	2	dx	=		cos	2		5	n	cos	2
		2	2		2		0		2			2 n		2			n		2
			2				0								2
															2
=	1	(cos 0 cos n ) 5(cos n cos 0) притом здесь мы уже сразу
=	n	(cos 0 cos n ) 5(cos n cos 0) притом здесь мы уже сразу
	n

учли чётность косинуса, что cos( n ) cos n .

  

Итак,

1	1 ( 1)	n	5( 1)	n

n

1 ( 1)	n	5( 1)	n	5

	n

44( 1)n n

	1	( 1)	n
4
		n

Ответ. Ряд Фурье:

	1	( 1)	n
3 4			sin
		n
n 1

n x 2

Задача 112. Разложить в тригонометрический ряд Фурье f (x) x x на 1,1 .

Решение. Сначала исследуем, что такое f (x) x x	и как это
	2x	x
выражение ведёт себя на разных частях интервала: f (x)
	0	x

Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен Остаётся вычислять только на (0,1).

	1	1		a0	1
a0	2xdx x 2		1,			. Это и есть средняя высота функции
		0		2	2
	0

(показано зелёной тонкой линией).

2x cos n xdx

интегрируем по частям:

u 2x

sin n x

u 2

v cos n x

Тогда

sin n x

sin n xdx

= 0

cos n x

2(cos n cos 0)

2(( 1)

2x sin n xdx

тоже по частям,

u 2x u 2

Тогда

v1 cos n x n

v sin n x
	2x		1	2	1
		cos n x			cos n xdx
	n			n
			0		0

2		2			1	2( 1)n	2(sin n sin 0)			2( 1)	n 1
	cos n			sin n x	=				=
n		n	2			n	n	2		n
					0
		2					2

	1		2(( 1)n 1)			2( 1)n 1
Ответ.					cos n x		sin n x .
Ответ.	2		2	2	cos n x	n	sin n x .
	2	n 1	n			n
					100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб53Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf
#
05.02.2023671.92 Кб5Математическая логика и теория алгоритмов.-3.pdf
#
05.02.2023482.94 Кб5Математическая логика и теория алгоритмов.-4.pdf