Изучение вынужденных электромагнитных колебаний.-1
.pdfФедеральное агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
(ТУСУР)
Кафедра физики
УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой физики
________________Е.М. Окс
________________
Физика
ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Руководство к компьютерной лабораторной работе
Разработчики: |
|
Профессор |
Бурдовицин В.А. |
Доцент |
Троян Л.А. |
Томск-2006
2
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной работы является изучение вынужденных электромагнитных колебаний и явления резонанса в последовательном колебательном контуре.
1 КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. С этой целью в колебательный контур включают источник внешней периодически изменяющейся э.д.с.
Колебания, возникающие под действием периодически изменяющейся э.д.с., называются вынужденными колебаниями.
Рассмотрим вынужденные колебания в последовательном контуре (Рис. 1.1), состоящем из R, L, C, возникающие под действием внешнего источника, э.д.с. которого изменяется по закону
R L C
E
Рисунок 1.1 - Колебательный контур
E Emcos t
Будем считать, что в контуре протекают квазистационарные токи, так как выполняется условие
l ,
где l - размеры контура;
- длина волны распространяющихся электромагнитных ко-
лебаний.
С учетом выше сказанного, на основании второго правила Кирхгофа можно записать
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
UL UC |
UR |
E |
|
(1.1) |
|||||||||||||
Из уравнения (1.1.) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
dI |
RI |
q |
Emcos t |
(1.2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||||
Используя соотношение |
|
|
I |
dq |
, |
уравнение (1.2) можно записать |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
d2 q |
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
q |
U |
|
cos |
|
(1.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
m |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
t, |
|
||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
|||||||
где |
|
|
- коэффициент затухания, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.5) |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
- собственная частота контура без затухания, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Um |
|
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
|||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1.3) является дифференциальным уравнением вынужденных электрических колебаний в контуре. Данное уравнение является неоднородным. И, как следует из теории дифференциальных уравнений, решение его равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения q1 (т.е. уравнения (1.3) без пра-
вой части) и частного решения неоднородного уравнения |
q2 |
q q1 q2 |
(1.7) |
Общее решение однородного уравнения известно из теории затухающих колебаний и может быть записано в виде
q qm1e t |
cos( 1t ) , |
(1.8) |
где 1 02 2 - частота свободных затухающих колебаний.
Частное решение этого уравнения имеет вид
q |
2 |
q |
m |
cos( t ), |
(1.9) |
|
|
|
|
где - частота изменения внешней э.д.с.;
- начальная фаза вынужденного колебания.
Слагаемое (1.8) играет существенную роль в начальной стадии процесса, при установлении колебаний.
Следовательно, вклад (1.8) в установившиеся колебания очень мал, и им можно пренебречь. Поэтому установившиеся вынужден-
4
ные колебания будут определяться частным решением неоднородного уравнения
q q2 |
qm cos( t ) |
(1.10) |
Для нахождения значений |
qm и найдем производные q' и q'' |
q' qmsin( t ) qmcos( t ) 2
q'' 2qmcos( t ) 2qmcos( t )
(1.11)
(1.12)
Подставив (1.10), (1.11), (1.12) в (1.3), получим уравнение
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
qm cos t 2 qm cos t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
(1.13) |
|
02qm cos t Um cos t |
|
|
||||
|
|
|
||||
Из (1.13) |
следует, что постоянные qm и |
|
должны иметь такие |
|||
значения, чтобы гармоническая функция |
Um cos t была равна |
сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части уравнения. Для нахождения значений qm и воспользуемся методом
векторных диаграмм, который заключается в том, что гармонически изменяющаяся величина изображается вектором, вращающимся с частотой вокруг своего начала против часовой стрелки.
Длина этого вектора равна амплитуде колебаний соответствующей физической величины.
Если изобразить функцию 02 qm cos( t ) вектором, длина
которого |
q |
m |
, |
|
направленным |
вправо, |
то |
|
функция |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
qm cos( t |
изобразится вектором длиной |
2 q |
|
по- |
||||||||||
) |
m |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вернутым относительно вектора |
02 qm |
против часовой стрелки |
|||||||||||||
на угол |
|
(рис. 1.2), |
а функция |
2 qm cos( t ) - вектором |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
длиной 2 qm , повернутым относительно вектора |
02 qm |
на угол |
. Чтобы уравнение (1.13) выполнялось, сумма трех перечислен-
5
ных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию Um cos t .
Такое совпадение возможно, как видно из рис. 1.2, если
|
U |
2 |
( |
2 2)2 |
q2 |
|
|
4 |
2 |
|
2 |
q2 |
(1.14) |
||||||
|
|
m |
|
|
0 |
|
m |
|
|
|
|
m |
|
||||||
Из (1.14) найдем амплитуды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
qm |
|
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 2 4 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис.1.2 позволяет получить значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.16) |
|||||
|
|
|
( 02 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что |
|
2 |
|
1 |
; |
|
|
R |
|
|
Um |
Em |
, |
|
|||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
LC |
|
|
2L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||||
|
|
|
|
2δqm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ω02 –ω2) qm |
|
|
|
|
||
|
ω 2qm |
|
|
ω0 2qm |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рисунок 1.2 - Векторная диаграмма |
|
||||||||||
Получаем |
qm |
|
|
|
|
Em |
|
|
(1.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R2 ( L 1 |
)2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
tg |
|
R |
|
|
|
(1.18) |
|||||
|
|
|
L |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
6
Продифференцировав выражение (1.17) по t , найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:
I |
dq |
qmsin( t ) Imcos( t |
|
), |
(1.19) |
|
2 |
||||
|
dt |
|
|
где Im - амплитудное значение установившегося тока в контуре
Im qm |
|
Em |
|
|
(1.20) |
|
|
|
|
|
|||
R2 ( L 1 |
)2 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
C |
|
|
|
В соответствии с (1.19) напряжение на резисторе
UR RIm cos( t |
|
) |
(1.21) |
|
|||
2 |
|
|
Разделив выражение (1.10) на емкость, получим напряжение на конденсаторе
|
|
UC |
qm |
cos( t ) UCm |
cos( t ) |
(1.22) |
|||||||||
|
|||||||||||||||
Здесь |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
qm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
UCm |
|
|
|
Em |
|
|
|
|
Im |
(1.23) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||
|
|
|
|
|
) 2 |
||||||||||
|
|
|
|
C C R2 ( L 1 |
|
|
|
||||||||
Напряжение на индуктивности |
C |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
UL L |
dI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.24) |
|||
|
LI sin( t |
|
) ULm cos( t ) |
||||||||||||
dt |
2 |
|
Сопоставляя выражения (1.21), (1.22), (1.23) видим, напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током.
Таким образом, изменения I , q , UC , UL , UR - представ-
ляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте внешней э.д.с. Для данной колебательной системы амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей э.д.с. и при определенных значениях ее достигает максималь-
ного значения. Это явление называется резонансом, а соответст-
вующая частота резонансной частотой.
Чтобы определить резонансную частоту РЕЗ любой из выше перечисленных гармонически изменяющихся величин, нужно ис-
7
следовать функцию, определяющую данную величину, на максимум. Так из (1.15) видно, что максимальное значение qm будет при минимальном значении подкоренного значения знаменателя. Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв ну-
лю, получим условие, определяющее РЕЗ :
4( 20 2) 8 2 0
Данное уравнение имеет три решения 0 и 20 2 2 .
Решение 0 соответствует максимальному значению знаменателя, а отрицательное значение не имеет смысла. Т.о. резонансная частота для q и напряжение UC определяются выражением:
ωqрез= ωUрез |
|
|
|
1 |
|
R2 |
|
(1.25) |
|
02 2 |
2 |
0 |
|||||||
LC |
2L2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
UC . Отдель- |
|||
На рис 1.3 приведены резонансные кривые для |
ные кривые на графике соответствуют различным значениям коэффициента затухания . Чем меньше , тем выше и правее лежит
максимум кривой. При большом затухании, когда 2 2 02 , резо-
нанс не наблюдается, с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую при4 ). При стремлении к нулю резонансные кривые сходятся в
одной точке с ординатой UCm Um . Величина Um равна напря-
жению, которое возникает на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Um . При малом затухании
( 2 02 ) резонансную частоту можно брать равной рез 0 .
Резонансные кривые для силы тока приведены на рис. 1.4. Как видно из выражения (1.20), амплитуда тока будет иметь максимальное значение при
ωIрез |
0 |
|
|
1 |
|
(1.26) |
|
|
|
||||
|
|
|
LC |
|
|
При 0 , ток в цепи равен нулю, т.к. при постоянном напряжении ток в цепи с конденсатором протекать не может. При таком соединении элементов как на
8 |
|
|
UCm |
|
|
1 |
|
|
|
1 2 3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
Um |
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
Рисунок 1.3 - Резонансные кривые для напряжения UС |
||
Im |
1 |
|
|
1 2 |
3 |
3 |
2 |
|
0 |
|
|
Рисунок 1.4 - Резонансные кривые для силы тока |
рис. 1.1, когда РЕЗ 0 , амплитуда силы тока |
I |
Em |
, а разность |
|
|||
|
|
R |
фаз 0 , т.е. в цепи как бы нет ни емкости, ни индуктивности.
Иначе говоря, при этой частоте напряжения на емкости и индуктивности полностью компенсируют друг друга, будучи равными по величине и противоположными по фазе. При этом напряжения UL
и UC могут значительно превышать напряжение Em, приложенное к цепи. Поэтому этот резонанс, наблюдаемый в цепи переменного
9
тока, содержащей последовательно включенные L, C, R и ис-
точник э.д.с., называют резонансом напряжений.
При вынужденных колебаниях весь процесс характеризуют несколько параметров: собственная частота 0 , логарифмический
декремент затухания:
T |
R |
|
2 |
|
R |
|
(1.27) |
|
2L 0 |
||||||||
L 0 |
||||||||
|
|
|
||||||
и добротность Q . Добротность с точностью до множителя |
2 |
равна отношению энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент WЗАП к убыли этой энергии за период колебаний
W
Q 2 WЗАП |
(1.28) |
W |
|
Поскольку энергия W пропорциональна квадрату амплиту-
ды колебаний, а амплитуда свободных колебаний изменяется в реальном колебательном контуре по закону
А(t) Ame t , то
|
|
|
|
|
|
2 A2(t) |
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
||||
|
Q A2(t) A2(t T) 1 e 2 T |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
При малом затухании, когда 2 |
02 |
|
|
|
|
|||||||||||||
1 e 2 T 2 T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 L |
|
L 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Q |
|
|
|
|
|
L |
|
(1.29) |
||||||||||
|
|
|
|
R |
C |
|||||||||||||
|
T RT R |
|
|
|
|
Отсюда видно, что чем меньше затухание колебаний, тем больше добротность, а чем больше добротность, тем больше амплитуда резонансного напряжения на конденсаторе UCрез в сравнении с амплитудой внешнего напряжения Em . Убедимся в этом, для
чего найдем отношение амплитуд с учетом (1.23)
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
UСтРЕЗ |
|
|
|
LC |
|
|
L |
|
Q |
(1.30) |
|||
Em |
0CR |
CR |
|
R |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, добротность контура определяет также остроту резонансных кривых. Чем больше Q , тем уже резонансная кривая.
Если резонансную кривую нормировать относительно максималь-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|
f( |
) |
|
|
ного |
значения и |
|
построить |
зависимость |
|
|
|
|
|
, то |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
РЕЗ Q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IтРЕЗ |
|
|
|
|
||||||||
|
где |
|
|
|
- |
ширина |
|
|
|
|
резонансной |
|
кривой |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Im |
|
|
f( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, взятая на |
|
|
высоте 0,7. Обозначим отношение токов |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
IтРЕЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Im |
|
через σ и, помня, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ImРЕЗ |
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.31) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 ( L 1 |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
можно записать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
( L 1 |
|
|
|
|
)2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для удобства использования соотношения (1.32) |
возведем левую и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
правую части уравнения в квадрат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( L 1 |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (1.33) есть уравнение резонансной кривой в безразмерной форме.
Преобразуем (1.33), вынося за скобку, стоящую под знаком корня,
множитель |
L |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
L |
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
1 |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
R |
C |
|
L |
C |
|
|
|
R |
C |
|
|
|
LC |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|