Теоретическая механика.-4

Рис. 2.5

это уравнение описывает форму траектории, в данном случае прямую линию, проходящую через точки А(0, 0) и В(4, 3) (рис.

2.5).

Составляющие скорости

vx = 8–8t, vy = 6–6t.

Тогда величина скорости

v vx2 vy2 82 62 1 t 101 t .

Ускорение

ах = –8, ау = –6, а = 10 (м/с2).

Вектор а направлен вдоль траектории (прямой) АВ (рис. 2.5), причем в начальный момент времени точка находится в начале координат (при t = 0 координаты точки x = y = 0). Так как проекции этого вектора отрицательны (они постоянны и не меняются во все время движения), точка движется с ускорением, направленным от точки В к точке А. При

t = 0: v = 10; t = 1: v = 0;

t > 1 : vx < 0, vy < 0 ,

т.е. и скорость после этого момента направлена от В к А. Итак, движение точки начинается в момент времени t = 0 из точки 0 к точке В, в начальный момент времени (t = 0) и далее вплоть до момента t = 1 обе компоненты скорости положительны. Координаты точки в момент остановки будут xB = 4, yB = 3. После этого при t > 1 компоненты скорости становятся отрицательными, т.е. движение идет уже в обратную сторону. При t = 2 точка проходит снова через точку 0 и затем с нарастающей скоростью продолжает движение в ту же сторону вдоль прямой ВА.

Пример 2

Пусть заданы уравнения пространственного движения точки:

x R sin t,y R cos t,z ut,

где R, u, – постоянные величины. Поскольку

х2 + у2 = R2 ,

то траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R. С течением времени точка перемещается по поверхности этого цилиндра, одновременно продвигаясь вдоль оси z, так что в итоге получается так называемая винтовая линия. Один виток точка проходит за время t1, определяемое из равенства

Рис. 2.6

За это время вдоль оси цилиндра точка смещается на

величину

h = u2 / ;

эта величина называется шагом винтовой линии. Проекции вектора скорости

vx R cos t, vy R sin t,vz u,

а скорость

v R2 2 u 2 const

Ненулевые проекции ускорения непостоянны:

ax R 2 sin t, ay R 2 cos t, az 0.

Ускорение

a ax2 ay2 R 2 const .

cos 1 =ax/a= –sint = – x/R,

cos 1 = ay/a = –cost = –y/R, cos 1 = az/a =0.

С другой стороны,

x/R = cos , y/R = cos ,

где , – углы, образованные R с осями х, у соответственно. Но это означает, что ускорение направлено вдоль радиуса к оси цилиндра.

Пример 3

Человек ростом h идет от фонаря, висящего на высоте H > h, со скоростью u (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Определить скорость движения конца тени. Из подобия треугольников

x2 = (H/(H–h)) x1,

а искомая скорость

v = (H/(H–h)) u.

Пример 4

Определить траекторию, скорость и ускорение средней точки шатуна М (рис. 2.8), если

ОА=АВ=2b, = t.

Рис. 2.8

Определим координаты точки М в зависимости от угла

x = 2bcos + bcos = 3b cos ; y = bsin ,

или

x = 3bcos t , y = bsin t,

Отсюда

x2 y2 1. 9b2 b2

Это уравнение траектории движения точки, или уравнение эллипса.

Проекции скорости и полная скорость

vx 3b sin t,vy b cos t,

v b 9sin 2 t cos2 t b 8sin 2 t 1.

Таким образом, скорость меняется от величины b до 3b. Проекции ускорения

ax = –3b 2cos t = – 2x, ay = –b 2sin t = – 2y.

Тогда полное ускорение

a = 2r;

причем r отсчитывается от точки О к точке М.

cos1 = ax/a = –x/r; cos1 = ay/a = –y/r.

Из этих формул следует, что ускорение направлено вдоль линии ОМ к точке О, центру эллипса.

2.1.6 Оси естественного трехгранника. Числовые значения скорости. Касательное и нормальное ускорение точки

П о н я ти е ос е й е с те с тв е н н ог о т р е хг р а н н и к а и с п о ль з уе т с я , к ог д а з а к он д в и ж е н и я з а д а н е с т е с тв е н н ы м , и ли т р а е к т о р н ы м , с п ос о б ом .

Вэтом случае проекции скорости и ускорения строятся

восях M nb, движущихся вместе с точкой М. Оси этого так называемого естественного трехгранника направлены следующим образом:

-ось направлена по касательной к траектории в сторону положительных значений s;

-ось n направлена по нормали к траектории, расположенной

всоприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

-ось b направлена по нормали к и n таким образом, чтобы

витоге система осей была правой.

n носит название главной нормали, b – бинормали.

В этих осях скорость точки определяется только одной проекцией на ось , причем v = v , т.е. проекция скорости может отличаться только знаком. Поэтому далее обозначаем v = v и называем v числовым (алгебраическим) значением скорости.

Как и ранее,

соприкасающейся плоскости M n. Следовательно, проекция этого вектора на ось b всегда равна нулю. Остается определить две другие проекции. Обозначим проекции вектора dv на осии n соответственно через dv и dvn; тогда

a dvdt , an dvdtn .

Модуль вектора dvn (рис. 2.9):

dvn = vd , d – угол смежности.

v dvn

ds M d

d

Рис. 2.9

Отношение d /ds определяет так называемую кривизну траектории

d /ds = k = 1/ ,

где – радиус кривизны. Тогда

нормальное ускорение равно произведению скорости точки на угловую скорость поворота касательной к траектории.

Полное ускорение точки

что дает

s = s0+vt.

Если s0 = 0, то s= vt, v = s/t.

3.Равномерное прямолинейное движение

Вэтом случае an = a = 0. Это означает, что при

равномерном прямолинейном движении (и ни в каких других случаях!) ускорение точки равно нулю.

4. Равнопеременное криволинейное движение

Движение называется равнопеременным, если а = const. В этом случае

v = v0 + a t, s = s0 + v0t + a t2/2.

Сопоставляя направления векторов a и v, можно ввести понятия ускоренного (угол между a и v острый) и замедленного (угол между a и v тупой) движения. Если скорость и ускорение имеют одинаковые знаки, то движение равноускоренное, если разные – равнозамедленное.

5. Гармонические колебания

Движение представляет собой простые гармонические колебания, если оно подчиняется уравнению

x = A coskt,

где A, k – постоянные величины, А – амплитуда колебаний.

Т.к. функция косинус периодическая с периодом 2 , то Т = =2 /k – период колебаний. Скорость и ускорение определяются из закона движения однократным и двойным дифференцированием по времени соответственно:

v = –Ak sin kt, a = –Ak2 cos kt.

(2.18)

Таким образом, при гармонических колебаниях все характеристики движения – координата, скорость и ускорение – меняются по гармоническому закону.

Все полученные выше результаты остаются в силе, если закон колебаний задать в виде

x = A sin kt,

только знаки у скорости и ускорения после дифференцирования могут быть другими.

Гармоническое движение (колебания) и все его закономерности могут быть справедливы при криволинейном движении, только вместо координаты х вводится величина s, отсчитываемая вдоль траектории:

s = A cos kt.

В э т о м с л уч а е и м е е тс я к а с а те л ь н ое ус к о ре н и е , н а п ра в л е н н о е п о к а с а т е ль н о й к т ра е к т о ри и , а н о рм а ль н а я

с о с та в ля ю щ а я ус к о ре н и я оп ре д е л я е тс я к а к

an = v2 / .

2.1.8 Графики движения, скорости и ускорения точки

Если в декартовых координатах по оси абсцисс откладывать время, а по оси ординат – расстояние s , то графиком движения точки будет кривая s = f (t).