Теоретическая механика.-4

T2cos + T1cos = P,

T1sin – T2sin = 0.

Примером статически неопределимой системы может служить груз, подвешенный на трех тросах, лежащих в одной вертикальной плоскости. В этом случае можно записать попрежнему два уравнения равновесия, а реакций (усилий в тросах) будет три. Это значит, что такая система не решается однозначно.

По той же причине балка,

лежащая на двух опорах, статически определима, а на

Рис. 1.16

трех – нет (рис. 1.16).

Расчет плоских ферм

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных по концам шарнирами.

Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах.

Далее пренебрегаем весом стержней, и тогда стержни фермы работают только на растяжение или сжатие.

Рассмотрим жесткие плоские фермы без лишних стержней, образованные из треугольников. Число стержней k, число узлов n, при этом для таких ферм выполняется связь между этими числами

k = 2n–3.

При k = n = 3 ферма вырождается в треугольник из трех стержней. Присоединение каждого следующего узла требует добавления двух стержней, поэтому для всех новых узлов количеством (n–3) нужно добавить 2(n–3) стержней. В итоге общее число стержней составит

k=3+2(n–3)=2n–3.

о том, что все стержни растянуты. Если при решении получим отрицательный знак усилия в стержне, это означает, что сила сжимающая.

Решение задач о равновесии ферм начинается всегда с определения реакций опор. Для этого принимается,

что ферма представляет собой абсолютно жесткую конструкцию (АТТ) и реакции опор определяются из рассмотрения равновесия фермы в целом.

В нашем случае получается ХА = 3F (эта реакция уравновешивает все три силы), YA = 1.5 F. Последний результат следует из условия равновесия в форме моментов сил

относительно центра В. Из условия Fky 0 получим N = YA =

1.5 F.

Составим уравнения равновесия сил, сходящихся в каждом

узле:

Fkx= Fky=0.

Расчет начнем с узла I, где сходятся два стержня. Искомые

усилия в стержне 1обозначим S1 , в стержне 2 - S2 и т.д. Тогда из двух условий равновесия можно найти две силы:

F + S2cos45o = 0, N + S1 + S2sin45o = 0.

Тогда

S2 = –F 2 ; S1 = –N–S2 2 /2 = –F/2.

Зная S1, можно составить два уравнения равновесия для узла II, где тоже остаются два неизвестных усилия, и т.д.

Если теперь свести результаты в таблицу, то получим

Таким образом, только 5-й стержень растянут, все остальные сжаты, кроме 7-го – этот стержень вообще не нагружен. Его роль сводится к фиксации шарнира, соединяющего стержни 6 и 8. Если эти стержни заменить одним стержнем, то стержень 7 можно удалить, т.к. ничего не изменится. Как видно из таблицы,

S6 = S8.

1.6 Трение

Сила сопротивления относительному скольжению тел называется трением скольжения. Такое сопротивление существует практически для всех соприкасающихся тел. В одних случаях трение играет положительную роль, например, при торможении транспортных средств и при ходьбе (вспомните, как неприятно ездить и ходить в гололед). В других случаях, например, в разного рода двигателях, передачах и т.д., такая сила заставляет тратить энергию на ее преодоление и играет отрицательную роль.

На основе многочисленных экспериментальных исследований сформулированы три следующих основных закона трения скольжения.

1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (сцепления) F, для которой существуют ограничения

0 ≤ F ≤ Fпр.

Здесь Fпр называется предельной силы трения.

Сила трения всегда направлена против направления, в котором действующие на тело силы стремятся его сдвинуть.

2. Предельная сила трения определяется соотношением

Fпр = f0 N,

где f0 – безразмерный коэффициент трения (покоя), N – нормальное давление, т.е. давление, которое оказывает одно из соприкасающихся тел на другое по нормали к поверхности контакта. Если такая поверхность горизонтальна, то свободно лежащее на ней тело давит силой своего веса P (P = N), если же поверхность наклонна, то нужно учесть именно нормальную к этой поверхности составляющую веса тела. Коэффициент трения

f0 зависит от материалов и состояния поверхностей контактирующих тел.

3. Значение Fпр в широких пределах не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей.

Очевидно, при равновесии тела под действием приложенной сдвигающей силы F справедливо соотношение F < Fпр, или F < f0N. Если F = Fпр, то налицо случай предельного равновесия. Значения коэффициента трения для различных пар соприкасающихся тел варьируются в широких пределах. В некоторых машиностроительных справочниках, наряду с другими значениями, обязательной является величина силы трения пары тел из одного материала. Для примера приведем ряд значений:

При движении сила трения всегда направлена против направления движения, при этом F = f N, f –

динамический коэффициент трения скольжения; этот коэффициент определяется экспериментально.

Величина f зависит от скорости скольжения V; обычно с ростом V сначала f уменьшается, далее f = const.

Реакция R шероховатой поверхности имеет две

составляющие – нормальную N и силу трения F . В итоге R всегда отклонена от нормали на угол 0 (рис. 1.18):

N

tg 0 = Fпр/N.

0

Fпр

Обозначим разность натяжений нити через

dT = f0 dN,

(*)

где dN – нормальная реакция. Ее определяем из уравнения равновесия в проекции на ось Y.

Таким образом, дважды обмотав канат вокруг столба, мы при усилии 20 Н удержим 10000 Н.

Трение качения

Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рис. 1.20 Идеальная (а) и реальная (b) схемы взаимодействия катящегося круглого цилиндра с горизонтальной опорой

Если, например, цилиндрический каток катится по шероховатой абсолютно твердой поверхности, то вес P уравновешен реакцией N (рис. 1.20, а), а горизонтальная сила Q с силой трения F образуют пару, т.к. численно они равны. В

этом случае при любом, даже самом малом, значении Q должно начаться качение.

В действительности дело обстоит иначе.

Вследствие деформации тел их реальное взаимодействие идет по некоторой площадке АВ (рис. 1.16, b). В

итоге реакция связи (в данном случае горизонтальной опоры) N смещается в сторону точки В. С увеличением Q это смещение растет до некоторого предельного значения k. В предельном положении, когда Q = Qпр, имеем

Qпр R = N k, или Qпр = k/R N.

При Q < Qпр каток будет находиться в покое.

k – это линейная (размерная) величина и называется коэффициентом трения качения. Величина k ( в см) для случаев:

Как правило, k/R<<f0, поэтому скольжение всегда стараются заменить качением.