Теоретическая механика.-4

Отметим, что если бы каток был закреплен неподвижно на тележке и не мог катиться, то, очевидно, ускорение вычислялось бы по формуле

a1 = F/(m1 + m2).

Если же каток без трения может проскальзывать по тележке, то он будет перемещаться по тележке без вращения, т.е. поступательно. Повторив все сделанные ранее выкладки без учета кинетической энергии вращения катка, получим, что

a1 = F/m1.

Т.е. в этом случае тележка катится так, будто катка на ней вообще нет – он при движении тележки будет проскальзывать и оставаться на месте.

4.9Элементарная теория удара

4.9.1Основное уравнение теории удара

Ранее отмечалось, что изменение скорости тела определяется суммарным импульсом приложенных сил. Если время приложения этих сил будет стремиться к нулю, то формально и импульс сил тоже стремится к нулю.

Однако если среди приложенных сил будут такие, порядок которых 1/ , то приращение скорости при действии соответствующего импульса сил будет величиной конечной.

Явление, при котором скорости точек тела за малый (близкий к нулю) промежуток времени меняются на конечную величину, называется ударом. Возникающие при этом силы называем ударными, а временной интервал – временем удара.

В теории удара в качестве меры взаимодействия тел используют не сами ударные силы, так как за время удара они могут меняться очень сильно, а импульсы сил.

Ударный импульс можно определить формулой

S y Fy dt Fycp .

0

Это конечная величина. Импульсы обычных сил за такое малое время обычно очень малы, и ими можно пренебречь.

Тогда теорема об изменении количества движения материальной точки может быть записана в виде

где в скобках стоит разность между конечным и начальным

значениями скорости, а справа – сумма действующих на точку

ударных импульсов. В теории удара уравнение (4.29) играет такую же важную роль, как основной закон динамики при изучении движений тел при воздействиях неударных сил, и

называется основным уравнением удара.

Перемещение точки за время удара определится как произведение ее средней скорости на время удара, и так как время мало, то перемещением практически можно пренебречь.

Таким образом:

1) действием неударных сил, т.е. сил постоянных

(например, сил тяжести) или слабо меняющихся во времени, за время удара можно пренебречь;

2) перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным;

3) изменение скоростей точек тела за время удара определяется основным уравнением удара.

4.9.2 Общие теоремы теории удара

1. Теорема об изменении количества движения системы при ударе

Ранее мы рассматривали закон изменения количества движения системы. Это изменение определялось суммой импульсов внешних сил, действующих на систему. Он сохраняет свою силу и при наличии ударных сил, но импульсами обычных сил можно пренебречь, и в правой части останутся только ударные импульсы:

Q1 Q0 Ske ,

(4.30)

т.е. изменение количества движения системы за время удара

равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих

на систему. Если эта сумма равна нулю, то количество движения

системы не меняется. Внутренние ударные импульсы не могут

изменить количество движения всей системы.

2. Теорема об изменении главного момента количеств движения (теорема моментов) при ударе

Поскольку принимается, что точки системы за время удара не перемещаются, формулировка теоремы моментов меняется по сравнению с полученной ранее.

Рассмотрим систему n материальных точек. Вводя равнодействующие внешних и внутренних ударных импульсов,

действующих на точку mk, для этой точки на основании уравнения (4.29) можем записать

mk uk mvk Ske Ski .

Возьмем моменты всех этих векторных величин относительно некоторого центра О и просуммируем по всем точкам системы. Получим

mO (mk uk ) mO (mk vk ) mO (Ske ) mO (Ski ).

Слева стоят суммы, представляющие собой главные моменты количеств движения системы в конце и начале удара.

Второе слагаемое справа равно нулю по свойству внутренних сил. Окончательно получаем

K1 K0 mO (Ske ).

Изменение за время удара главного момента количеств движения системы относительно какого-либо центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на систему ударных импульсов.

Если правая часть равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно центра не меняется за время удара. Что касается внутренних сил, то их ударные импульсы не могут изменить главный момент количеств движения системы.

4.9.3 Коэффициент восстановления при ударе

Значение ударного импульса, появляющегося при соударении двух тел, зависит не только от их масс и скоростей до удара, но и от упругих свойств соударяющихся тел.

Рассмотрим в качестве примера вертикальное падение шара на жесткую горизонтальную плиту. Для прямого удара,

который происходит в данном случае, можно выделить две стадии. В течение первой стадии скорости частиц шара убывают до нуля. Шар деформируется, а его кинетическая энергия переходит в энергию упругого деформирования, т.е. в

потенциальную энергию. На второй стадии эта энергия переходит в работу по восстановлению формы шара и кинетическую энергию движения частиц шара. В конце удара,

когда шар отскочит от плиты, он приобретает некоторую скорость, причем меньшую, чем скорость падения.

Величина, равная отношению скорости отскока к скорости падения тела при прямом ударе о жесткую преграду,

называется коэффициентом восстановления при ударе.

Значение коэффициента восстановления k зависит в основном от материала соударяющихся тел и определяется опытным путем. При этом k = 1 отвечает абсолютно упругому удару, а k = 0 – абсолютно неупругому удару. Значение k дается в справочниках о свойствах материалов. Например, для скорости удара около 3 м/с такие значения даются для пар

дерево-дерево 0.5,

сталь-сталь 0.56,

стекло-стекло 0.94.

4.9.4 Удар тела о неподвижную преграду

Если нормаль к поверхности тела в точке его касания с плоской преградой проходит через его центр масс, то такой удар называется центральным. Для шара, например, удар всегда центральный. Если скорость тела при ударе совпадает с нормалью к преграде – удар прямой, иначе – косой.

1. Случай прямого удара

Проектируем уравнение (4.29) на нормаль n к преграде. При прямом ударе это означает, что проекции скоростей по величине равны модулям соответствующих скоростей и могут отличаться только знаками для подхода к преграде и отскока. Это можно записать в виде

M (un vn ) Sn .

Учтем далее, что при прямом ударе

un = u, vn = – v, Sn = S.

Тогда

M(u + v) = S.

Второе уравнение для решения задачи принимаем в виде u = k v. Зная величины M, v, k, определим теперь u, S. В частности,

получим

S = M (1+k) v.

Отсюда следует, что ударный импульс тем больше, чем больше коэффициент восстановления.

Чтобы определить среднюю величину ударной силы

(реакции), следует знать время удара. Оно обычно определяется экспериментально.

Пример

Пусть с высоты Н = 3 м падает на стальную плиту стальной шар массой 1 кг. Определить ударный импульс и среднее значение силы, если время удара = 0.0005 с.