Теоретическая механика.-4

Справедливость этого преобразования проверяется непосредственным дифференцированием произведения, находящегося справа в скобках. Далее используем еще два соотношения:

основано на том, что операции полного дифференцирования по времени и частного по обобщенной координате перестановочны, т.е.

Подставляя теперь полученные величины в (4.22),

находим

Имея ввиду, что vk2 vk2 , окончательно обобщенную силу инерции (4.21) запишем в виде

где буквой Т обозначена кинетическая энергия системы. Аналогичные выражения получаются и для других

обобщенных сил инерции. Тогда окончательно

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, или уравнения Лагранжа. Число этих уравнений равно числу степеней свободы. Важное достоинство уравнений Лагранжа: они дают простой единый метод решения задач динамики. Вид этих уравнений и их число не зависят от количества точек или тел, входящих в систему, или от вида их движения. Число уравнений Лагранжа всегда определяется только числом степеней свободы системы. При идеальных связях правые части уравнений (4.23) содержат только обобщенные активные силы, таким образом, уравнения Лагранжа сразу исключают из рассмотрения неизвестные реакции связей.

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы по известным обобщенным силам и начальным условиям найти закон движения системы, т.е. зависимости обобщенных координат от времени.

Так как кинетическая энергия системы зависит от обобщенных скоростей, то при дифференцировании первых слагаемых слева в (4.23) появятся вторые производные по времени от искомых обобщенных координат. Таким образом, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат.

Рассмотрим случай потенциальных сил.

Тогда, например, первое из уравнений (4.23) можно представить в виде

Это можно сделать потому, что потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, а является функций только

обобщенных координат, и П 0. . Введем функциюq1

L = T – П,

равную разности между кинетической и потенциальной

энергиями системы. Она носит название функции Лагранжа или

кинетического потенциала. Тогда уравнения Лагранжа

принимают вид

Таким образом, состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется единственной функцией – функцией Лагранжа, так как для составления дифференциальных уравнений движения достаточно знать лишь эту функцию.

Далее, если заданы силы, определяется закон движения системы. Если же задан закон движения, определяются силы.

Пример 1

Составить уравнение колебаний физического маятника с использованием метода Лагранжа (рис. 4.20).

O

a

C

K

P

Рис. 4.20

Маятник имеет одну степень свободы, и в качестве обобщенной координаты примем угол . На возможном перемещении > 0 работу совершает только сила тяжести:

A1 = (–Pa sin ) ,

где а = ОС, в точке С находится центр масс маятника.

Таким образом,

Q1 = –Pa sin .

Кинетическая энергия маятника определяется как

T J 0 2 / 2 J 0 2 / 2.

Уравнение Лагранжа принимает вид

Найти закон движения шарика и величину момента, приложенного к трубке.

vB

ve A

O

Рис. 4.21

Система имеет две степени свободы, и в качестве обобщенных координат принимаем координату х, определяющую относительное движение шарика, и угол поворота трубки . Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид

Сначала определим обобщенные силы. На перемещении х действующие силы работу не совершают, т.к. трубка вращается в горизонтальной плоскости. Следовательно, A1 = 0. На перемещении момент М совершает работу А2 = М . Таким образом

Q1 = 0, Q2 = M.

Кинетическая энергия слагается из энергии Т1 шарика и энергии Т2 трубки. Энергию Т1 определим для абсолютного движения шарика. Для этого в выражении кинетической энергии используем скорость шарика при его абсолютном движении. Она складывается из скорости вдоль трубки (относительной) и скорости вращения вместе с трубкой (переносной). Так как направления этих скоростей взаимно перпендикулярны, то

T1 m(x2 x2 2 ) / 2.

Если обозначим момент инерции трубки относительно оси вращения как J0, то

T2 J 0 2 / 2 J0 2 / 2.

Окончательно выражение полной энергии будет

Подставляя теперь эти значения и выражения для обобщенных сил в уравнения (а) и учитывая, что по условию угловая скорость постоянна, получим

Интегрируя первое из этих уравнений с учетом того, что при t = 0 x = x0 и скорость равна нулю, получаем закон движения шарика вдоль трубки:

Второе из равенств (4.26) определяет величину момента, действующего на трубку. Она равна моменту кориолисовой силы инерции. Если с помощью (4.27) выразить скорость через координату х, то получим зависимость момента от координаты шарика:

M 2m 2 xx2 x02 .

Рассмотренный пример интересен тем, что в рамках одной задачи мы определяем закон движения шарика по заданным силам (решается основная задача динамики), и по