Теоретическая механика.-4

ar ddtvr1 .

В свою очередь, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при переносном

движении, т.к. ae am , где m – точка, жестко связанная с осями Oxyz, и получает ускорение только при движении вместе с ними. Поэтому

ae dve2 . dt

В итоге

Обозначим

эта величина характеризует изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости при ее относительном движении и называется поворотным, или кориолисовым, ускорением точки. Тогда

Это не что иное, как теорема Кориолиса

При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений – относительного, переносного и поворотного (кориолисова).

Найдем для определения кориолисова ускорения формулу, вытекающую из (2.34).

dvr1 vr . dt

В итоге

akor 2( vrel ).

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости на относительную скорость точки.

При поступательном переносном движении угловая скорость равна нулю, и тогда

aa ar ae .

При поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений, как в обычном случае по теореме о сложении скоростей.

Кориолисово ускорение обращается в нуль в случаях:

1.Когда переносное движение является поступательным (переносная угловая скорость равна нулю).

2.Когда равна нулю относительная скорость, т.е. точка «привязана» к в подвижной системе координат.

3.Когда вектор скорости относительного движения vr параллелен оси переносного вращения.

2.5.3 Примеры решения задач

Пример 1

Клин с углом при вершине движется горизонтально с ускорением а1. Найти ускорение стержня DE в вертикальных направляющих (рис. 2.41).

Направлено ускорение точки D вверх.

Относительное ускорение аr = 0, т.к. относительное движение является прямолинейным, и u = const. Движение кулисы ОА для ползуна В – переносное. Переносное ускорение ползуна В равно ускорению соответствующей точки кулисы с координатой х. Так как угловая скорость кулисы постоянна, то ускорение этой точки направлено вдоль ОА к оси вращения и по модулю равно

ае = 2х.

Ко р и о ли с ов о ус к о р е н и е – в р а с с м а т ри в а е м ом п ри м е р е

дв и ж е н и е п л ос к ое – оп р е д е ля е тс я к а к

akor = 2u.

Направлено это ускорение перпендикулярно ОА в сторону вращения кулисы.

По теореме Кориолиса

aa ar ae akor.

Первое слагаемое равно нулю, а два других по направлению перпендикулярны друг другу, и полное ускорение по величине определяется формулой

aa ae2 akor2 4 x2 4 2u2 2 x2 4u2 .

Пример 4

Точка движется по земному меридиану с севера на юг с постоянной относительной скоростью u (рис. 2.43).

M

akor

u

Рис. 2.43

Найти модуль и направление кориолисова ускорения, когда точка находится на широте .

Угол, который составляет вектор скорости u с осью вращению, равен . Поэтому ускорение Кориолиса равно величине

akor = 2 u sin ,

где – скорость вращения Земли.

Очевидно, что при = 900 (на полюсе) кориолисово ускорение максимально, на экваторе, при = 0 оно равно нулю.

По определению векторного произведения кориолисово ускорение направлено на восток. По этой причине в северном полушарии у реки, текущей на север, всегда правый берег подмывается водой, и является обычно более крутым, чем левый. Интересно отметить, что для реки, текущей в северном полушарии на юг, тоже правый ее берег (определяемый относительно направления течения) будет сильнее подмыт водой. Это легко определить, приняв в схеме рис. 2.43 другой

направление скорости u.

2.6Сложное движение твердого тела

2.6.1Сложение поступательных движений

Движение тела называется сложным, если тело движется относительно подвижных осей Oxyz, а эти оси движутся по отношению к неподвижной системе O1x1y1z1.

Основные кинематические характеристики движения тела – его поступательные и угловые скорости и ускорения. Далее рассматриваются только скорости.

Если в относительном движении для всех точек скорость одинакова (что и говорит о поступательном движении) и равна v1, а в переносном движении постоянна и равна v2, то абсолютная скорость любой точки будет v = v1 + v2, и абсолютное движение тела будет тоже поступательным. Нужно обратить внимание на то, что эти равенства записаны в векторной форме, то есть при суммировании имеется в виду геометрическая сумма.

Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростями v1 и v2 результирующее движение тоже будет поступательным со скоростью v = v1 + v2.

2.6.2 Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

Пусть тело вращается с угловой скоростью 1 вокруг оси аа, содержащей точку А, а эта ось вращается с угловой скоростью 2 вокруг оси bb, содержащей точку В (рис. 2.44).

b a

b a

Рис. 2.44

Рассмотрим частные случаи.

1. Вращения направлены в одну сторону

Построим плоскость S, перпендикулярную осям; в этой плоскости находятся точки А и В (рис. 2.45). Очевидно, что относительно точки А скорость точки В определяется обычным образом:

Рис. 2.45

vB= 2 AB.

Относительно точки В скорость точки А определяется аналогично

vА = 1 AB.

Очевидно, что эти скорости параллельны и направлены в разные стороны. Но тогда точка С – мгновенный центр скоростей, а ось сс – мгновенная ось вращения тела. Для угловой скорости вращения вокруг оси сс справедливо:

= vB/BC = vA/AC.

Тогда на основании свойства пропорций (из равенства а/А = =b/В следует, что (а + b)/(A + В)), можно записать

= (vA+vB) / AB.

Это дает

= 1 + 2.

Итак, если тело одновременно участвует в двух вращениях вокруг параллельных осей, направленных в одну сторону, результирующее движение будет вращением вокруг мгновенной оси, параллельной данным.

Т.к. ось аа перемещается, то ось мгновенного вращения

ссописывает цилиндрическую поверхность.

2.Вращения направлены в разные стороны

П р и э т ом с к о р ос ти п а ра л ле ль н ы и н а п ра в л е н ы в од н у с т о р о н у. Т ог д а ц е н т р в ра щ е н и я – в т оч к е С , п ри ч е м