Математика.-6

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

из промежутков [ , ) и

предлагается написать

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

её ряд Фурье. Условие				замкнутости			для функции
f (x) g(x) имеет вид
2				2 1		l
	a0 0		2	2 1			2
			an n	bn n			f (x) g(x) dx .
2					l

		n 1				l

Аналогично для функции f (x) g(x) условие замкнутости имеет вид

2			2 1		l
a0 0		2	2 1			2
		an n	bn n			f (x) g(x) dx .
2				l

	n 1				l

Вычитая из первого соотношения второе и сокращая на 4, получаем соотношение

a0 0				1		l
a0 0		a b		1			f (x) g(x)dx ,
2		a b			l		f (x) g(x)dx ,
2		n n n	n		l
		n n n	n
	n 1					l

которое называется обобщённым условием замкнутости.

если x [x1

, x2 ],

Тогда

Пусть теперь g(x)

если x [x1, x2 ].

g(x)dx

n x

g(x)cos

cos

dx ,

n x

g(x)sin

sin

dx ,

f (x) g(x)dx

f (x)dx .

Подставляя полученные выражения для 0 , n , n в обобщённое условие замкнутости, получаем

a0	x2		x2	n x	x2	n x		x2
a0				n x		n x
2	dx an cos			l	dx bn sin	l	dx	f (x)dx ,
2	x1	n 1	x1	l	x1	l		x1

181

что и означает почленную интегрируемость ряда Фурье для функции f (x) . Таким образом, мы доказали следую-

щий результат.

Теорема. Тригонометрический ряд Фурье кусочнонепрерывной функции можно интегрировать почленно независимо от характера сходимости.

Для почленной дифференцируемости удаётся доказать лишь следующий результат.

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема, то ряд Фурье для производной f (x) может быть получен почленным дифференцированием ряда Фурье для функции f (x) .

Доказательство опустим.

Отметим, что в сформулированной теореме поточечная сходимость ряда Фурье для производной не гарантируется, хотя в среднеквадратичном ряд сходится обязан.

Интересны также условия равномерной сходимости ряда Фурье, которые сформулированы в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна на [l,l] и

кусочно дифференцируема на [l,l] . Пусть,	кроме того,
f ( l) f (l) . Тогда ряд Фурье функции f (x)	сходится к
f (x) равномерно относительно x [ l,l] .

Доказательство. Для доказательства равномерной сходимости достаточно показать сходимость числового ряда

f (x)

так как он является мажорирующим

n 1

n x

для ряда Фурье

f (x)

cos

sin

функции

n 1

f (x) .

Пусть

a ,

, b

коэффициенты ряда Фурье

182

n x

f (x)

a cos

b sin

n 1

функции

f (x) . Установим связь между коэффициентами

, b и

a ,

функций

f (x)

f (x) . Применяя к коэффи-

циентам an

формулу интегрирования по частям с u f (x) ,

dv cos

n x

dx ,

du f (x)dx , v

sin

n x

, получаем

1 l

f (x) cos

n x

dx ,

f (x)

sin

n x

f (x)sin

n x

b ,

n 0,1,2,....

u f (x) ,

dv sin

n x

Аналогично

для

полагая

dx ,

du f (x)dx , v

cos

n x

, получаем

1 l

f (x)sin

n x

f (x)

cos

n x

f (x) cos

n x

, n 1,2,....

Первое

слагаемое

равно

нулю

силу

равенства

f ( l) f (l) .

Таким образом, получили

n 1,2,....

Докажем, что ряды

сходятся. Действи-

n 1

тельно, из неравенства A B 2 0 следует оценка

A2 B2

. Положив в этом неравенстве

A a

, B

183

из которой следует

получаем оценку

сходимость ряда

так как ряд

сходится в си-

n 1

f (x) . Аналогично

лу условия замкнутости для функции

, откуда следует сходимость ряда

n 1

, n 1,2,...,

Следовательно, из

получаем,

что ряд

f (x)

сходится, а поэто-

n 1

му ряд Фурье функции

f (x)

сходится равномерно. Теоре-

ма доказана.

Из доказанной теоремы следует оценка скорости сходимости к нулю коэффициентов an , bn . Точнее, имеет место следующий результат.

Следствие 1. Пусть функция f (x) непрерывна на [l,l] и кусочно дифференцируема на [l,l] . Пусть, кроме того,

f ( l) f (l) . Тогда lim an n 0 ,

lim bnn 0 .

Доказательство. Так как ряды

b 2 схо-

n 1

дится в силу условия замкнутости для функции

f (x) ,

то

lim

a 2 0 и

lim

b 2 0

по необходимому признаку схо-

димости. Следовательно,

lim a

и lim b

0 .

Умножая

n 1,2,... на

обе части равенств

получаем требуемое. Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть периодическая с

периодом

функция f (x)

непрерывна вместе с производными до по-

184

рядка m включительно, а

m 1 -я производная кусочно

непрерывна.

Тогда lim a nm 1 0 ,

lim b nm 1 0

и ряды

nk ,

k 1,2,..., m сходятся.

n 1

Доказательство. Нетрудно показать, что если

f (x) пе-

риодическая с периодом 2l

функция, то и все её производ-

ные, если они существуют, тоже периодические с перио-

дом	2l	функции.	В	силу	периодичности
f (k ) ( l) f (k ) ( l 2l) f (k ) (l) ,			k 1,2,..., m . Так как по усло-

вию f (m) (x) непрерывна, а f

то по следствию 1, ряды

n 1

(m 1) (x) кусочно непрерывна,

(m 1)		(m 1)
an	,	bn	сходятся и
n	,	n	сходятся и
n	n 1	n
	n 1

lim a(m)n 0 ,		lim b(m)n 0 . Далее, ряды
n	n	n	n
n		n
дятся и lim a(m 1)n2				0 ,	lim b(m 1)n2		0 .
	n	n			n	n
	n				n


	an(m)	,		bn(m)	схо-
n 1			n 1

Продолжая, получа-

ем, что

ряды

nm ,

сходятся,

следовательно

n 1

сходится

ряды

nk ,

k 1,2,..., m . Кроме того

n 1

lim a(m m)nm 1

lim a nm 1

0 ,

lim b(m m)nm 1

lim b nm 1 0 .

Следствие доказано.

185

Приложение 1

1.1. Комплексные числа и действия над ними

При решении алгебраических уравнений степени два и выше иногда приходится рассматривать конструкции вида

a b 1 , где a и b – некоторые действительные числа.

Например, подставляя формально конструкцию 1 2

в не	имеющее действительных				корней уравнение
x2 2x 5 0 ,				1 2		2	2 1 2		5 .
			получаем		1			1
Действуя		в	полученном	выражении			с конструкцией

1 2	1	как с двучленом по правилам алгебры, извест-

ным из школы, раскрывая скобки и приводя подобные, имеем

(1)2 2 2		2			2
	1			1		2 2 2 1 5 4 4 ( 1) 0 .

Таким образом,			конструкцию 1 2 1 можно считать
корнем новой природы						(не действительным) уравнения

x2 2x 5 0 .

Пусть i – некоторый формальный символ, x и y – действительные (вещественные) числа. Конструкции вида

z x iy		назовём комплексными числами, x действитель-
ной, а	y	мнимой частями комплексного числа z x iy и
будем	обозначать их соответственно x Re z, y Im z .
Число	x iy будем называть сопряжённым (комплексно

сопряжённым) к числу z x iy и обозначать z . Два ком-

плексных числа будем считать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:

z1 z2 (x1 iy1 ) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) ; z1z2 (x1 iy1 )(x2 iy2 ) (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 ) .

186

Заметим, что z z 2Re z 2x , z z 2Im z 2 y , следо-

вательно x Re z	z z	,	y Im z	z z	.
2				2i
Если действительные числа отождествить с комплекс-

ными числами вида x 0 i , то складывая и умножая числа x 0 i и y 0 i по приведённым выше формулам, получаем

(x 0 i) ( y 0 i) (x y) i (0 0) (x y) 0 i , (x 0 i)( y 0 i) (xy 0 0) i(x 0 y 0) xy 0 i .

Как видим, операции сложения и умножения комплексных чисел вида x 0 i не выводят за множество чисел этого вида (то есть получаются числа того же вида). Поэтому можно считать, что операции сложения и умножения совпадают с обычными операциями над действительными числами и считать комплексные числа расширением множества действительных чисел. Из введённых выше операций над комплексными числами следует, что для комплексного числа i 0 i 1 получаем

i2 (0 i 1)(0 i 1) (0 0 1 1) i(0 1 1 0) 1 0 i 1.

Заметим, что операции сложения и умножения комплексных чисел производятся как соответствующие операции над двучленами с раскрытием скобок и приведением подобных и учётом того, что i i 1. Слагаемые вида 0 и

0 i

обычно опускаются.

Обратные операции определяются однозначно и зада-

ются формулами:

z1 z2 (x1 iy1 ) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) ;

x1 iy1

(x1 iy1)(x2 iy2 )

(x1x2 y1 y2 ) i(x2 y1 x1 y2 )

x iy

(x iy

)(x iy

)

(x )2 ( y

Каждому

комплексному

числу

z x iy

сопоставим

точку (x, y)

плоскости R2 . Этим устанавливается взаимно

однозначное соответствие между комплексными числами

187

и точками плоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с операцией сложения радиус-векторов точек (x, y) . Для операции умножения комплексных чисел

не находится соответствующей операции над векторами.

Модулем

комплексного

числа

z x iy

назовём

длину

радиус-вектора

точки

(x, y) ,

то

есть

число

2 . Далее,

x2 y2 . Заметим,

что zz x2 y2

z x iy

x2 y2

Числа

являются соответственно

x2 y2

косинусом и синусом угла между радиус-вектором точки (x, y) и осью OX . Поэтому можем записать z z (cos i sin ) . Эта форма записи числа z называется тригонометрической формой комплексного числа. Угол при этом называется аргументом числа z . Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на 2 , совпадают. Среди всех значений аргумента числа z выбирают значение, называемое главным и обозначают его argz .

Совмещая алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа z , можем записать

z x iy Re z i Im z z (cos isin ) z cos i z sin .

Следовательно,

x Re z

cos ,

y Im z

sin . Раз-

делив

мнимую

часть

на действительную, получаем

Im z

sin

tg , или выписывая крайние части со-

Re z

cos

отношения, tg

. Если

x Re z 0 , то есть комплексное

число z

лежит в правой полуплоскости (в первой или чет-

188

вёртой четверти), то arctg xy Если же x Re z 0 , то есть комплексное число z лежит в левой полуплоскости (во

второй или третьей четверти),				то arctg				y	.	Отметим

								x
частные случаи. Если число			z	действительное и положи-
тельное, то есть x Re z 0 ,			y Im z 0 , то 0 , если чис-
ло z действительное и отрицательное,							то есть x Re z 0 ,
y Im z 0 ,	то	. Если	число z				мнимое,			то есть
x Re z 0 ,	то	в случае y Im z 0					, а			в случае
							2
y Im z 0 можно взять либо					3	, либо .

				2			2

Подводя итог вышесказанному, получаем, что при выборе главного значения аргумента из промежутка [0,2 ) его находят по формулам

			y					если x 0, y 0,
arctg				,
arctg			x	,
	,		x

								если x 0, y 0,
	2
					y
arg z	arctg					,				если x 0,
arg z	arctg				x	,				если x 0,
	3				x
	3							если x 0, y 0,
		,
	2	,
					y
2 arctg							,	если x 0, y 0.
2 arctg							,	если x 0, y 0.
					x
Удобным также является выбор главного значения ар-
гумента из промежутков [ , )											3
					и					,		. Формулы для
					и					,		. Формулы для
									2		2
									2		2

нахождения главного значения аргумента при выборе его

189

самостоятельно. Все значения аргумента обозначают Arg z . Отметим, что Arg z arg z 2k .

Полагая ei cos isin , можем записать z z ei . Эта форма записи числа z называется показательной формой

записи	комплексного	числа.	Так	как
e i cos( ) isin( ) cos isin , то,			складывая и вычи-

тая с ei , получаем формулы Эйлера:

cos		ei e i		sin	ei	e i
			,				.
			,				.
		2				2i
Далее,
ei 1 ei 2	(cos isin )(cos isin )
		1		1	2	2
cos( ) isin(				) ei( 1 2 ) .
1	2	1		2

Поэтому

z1z2 z1 (cos1 i sin 1 ) z2 (cos2 i sin 2 )z1 z2 cos( 1 2 ) isin( 1 2 ) z1 z2 ei( 1 2 ) .

Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично можно получить, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Как следствие этих результатов, получаем формулы возведения комплексного числа в степень n и извлечения корня n -ой степени из комплексного числа, называемые формулами Муавра:

n ein

n (cosn i sin n) ;

cos

2k i sin

2k , k 0,1,...,n 1.

n z n

Заметим, что для любого действительного отрицательного числа главное значение аргумента равно , для лю-

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб51Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf
#
05.02.2023671.92 Кб5Математическая логика и теория алгоритмов.-3.pdf