Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

(n 1)zn 4

Пример 7. Найти сумму ряда

n 0

Для данного ряда можем записать

(n 1)zn 4

(n 1)zn

zn 1

n 0

n 1

Ряд

состоит из

голоморфных

(аналитических)

n 0

zn 1

7 сходится

функций

и так как он внутри области

равномерно, то его можно дифференцировать почленно и поэтому

(n 1)z

n 4

n 1

n 0

49z

(7 z)2

7 z

7.3. Степенные ряды

Ряд an (z z0 )n называется степенным. Так как этот

n 0

ряд сдвигом начала координат в точку z0 может быть пре-

образован к виду an zn , то обычно последний и изучают.

n 0

Имеет место следующий результат.

Теорема (Абель). Если степенной ряд an zn сходится

n 0

в точке z1 , то он сходится, и притом абсолютно, в любой

151


точке z , для которой	z	z1	. Если степенной ряд an zn
точке z , для которой	z	z1	. Если степенной ряд an zn

n 0

расходится в точке z2 , то он расходится и в любой точке z , для которой z z2 .

Таким образом, степенной ряд имеет круг сходимости.

Выражение для нахождения радиуса R L1 круга сходи-

мости степенного ряда an zn получают с помощью при-

n 0

знака Даламбера L lim an 1 или признака Коши

n an

L lim n an .

Пример 1. Найти радиус круга сходимости и круг сходимо-

(z 5 2i)n

сти степенного ряда

3)4n

n 0

L lim

lim

Имеем

(n 3)4n

lim	1	1	1	.

		n n 3
n 4			4

Таким образом, радиус сходимости ряда равен R L1 4 и ряд сходится в круге z 5 2i 4 . Для выяснения сходимости на

границе	z 5 2i	3 круга сходимости нужны дополнитель-

ные исследования.

Пример 2. Найти радиус круга сходимости и круг сходимо-

	n	z	n
сти степенного ряда	n 1	z	3 .
n 0	(n 2)!
n 0

Имеем

152

	a	1		(n 2)n 1

L lim	n		lim
				(n 3)!
n	a		n
	n

	n 1 n
:
	(n 2)!

n 1

(n 2)

(n 2)!

(n 2)

lim

(n 3)! n 1

n (n 3) n 1

(n 2)

n 2 n

lim

e .

(n 3)

n 1

Таким образом, радиус сходимости ряда равен R L1 1e и ряд сходится в круге z 3 1e . Для выяснения сходимости на гра-

нице z 3 1e круга сходимости нужны дополнительные ис-

следования.

Пример 3. Найти радиус круга сходимости и круг сходимо-

	z	4n 5
сти степенного ряда	z	1	.
сти степенного ряда	7n 1		.
n 0	7n 1
n 0

В данном случае воспользоваться приведенными выше формулами для нахождения радиуса круга сходимости нельзя, так

как степени z 1 идут не подряд. Это так называемый ряд с

пропусками. Для выяснения области сходимости лучше всего воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши непосредственно. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем

lim

z 1 4(n 1) 5

z 1 4n 5

lim

7n 2

7n 1

z 1 4

z 1

lim

153

Таким образом, ряд сходится абсолютно при

z 1

и рас-

ходится

при

z 1

1 , или,

что тоже самое, сходится при

z 1

7 и расходится при

z 1

4 7 . При

z 1

7 ни с

помощью признака Коши, ни с помощью признака Даламбера (показывается также) выяснить сходимость нашего ряда не уда-

ётся.

Рассмотрим ряд при

z 1

4 7 . Так

как

z 1

7 , то

z 1 4 7ei ,

0 2 .

Подставляя

в ряд,

получаем

i 4n 5

ei(4n 5) . Так как

ei ( 4n 5)

то в силу

7n 1

n 0

нарушения

необходимого

признак

сходимости,

ряд

4n 5

7ei(4n 5)

расходится. Таким образом,

ряд

7n 1

n 0

сходится при z 1 47 и расходится при z 1 47 .

Нетрудно показать, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, поэтому его можно интегрировать и дифференцировать внутри этого круга лю-

бое число раз. Кроме того, так как функции (z z0 )n явля-

ются аналитическими (голоморфными) во всей комплексной плоскости и степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, то его сумма есть функция аналитическая (голоморфная) внутри круга сходимости.

154

7.4. Ряды Тейлора

Степенной ряд cn (z z0 )n , коэффициенты которого

n 0

вычисляются по формулам cn f (n) (z0 ) , называется рядом n!

Тейлора.

Теорема (Тейлор). Всякая голоморфная (аналитическая) в круге z z0 R функция есть сумма степенного

ряда cn (z z0 )n , коэффициенты cn которого вычисля-

n 0

ются по формуле

cn f (n) (z0 ) , n!

где интегрирование ведётся по любому замкнутому контуру содержащему точку z0 внутри себя и целиком лежаще-

му в круге z z0 R . Это представление единственно в

том смысле, что если мы получили разложение функции в

степенной ряд cn (z z0 )n , то это обязательно ряд Тей-

n 0

лора.

Доказательство. Опустим.

Ряд Тейлора разложения функции по степеням z , то есть при z0 0 называется рядом Маклорена.

Таблица разложений некоторых функций в ряд Маклорена.

	z	n
ez	z			;
ez				;
n 0	n!
					z2n 1		z2n 1
sin z			( 1)n			( 1)n 1		;
sin z			( 1)n		(2n 1)!	( 1)n 1		;
n 0					(2n 1)!	n 1	(2n 1)!
n 0						n 1

155

cos z ( 1)n

;

n 0

(2n)!

;

1 z

n 0

( 1)n zn ;

1 z

n 0

ln(1 z) ( 1)n 1

;

n 1

2n 1

arctgz ( 1)n

( 1)n 1

n 0

n 1

2n 1

Пример 1. Разложить в ряд cos z5

в окрестности точки

z 0 .

Пользуясь разложением cos z ( 1)n

можем запи-

(2n)!

n 0

10n

сать cos z5 ( 1)n

( 1)n

. По теореме един-

n 0

(2n)!

n 0

(2n)!

ственности это ряд Тейлора для функции cos z5 .

Пример 2. Пусть

f (z)

. Найти

f ( 4) .

(2n 3)7

Коэффициенты разложения функции

f (z) в ряд Тейлора по

степеням z 4

вычисляются по формуле c

f (n) ( 4)

. По-

этому f ( 4) 2!c2 . Так как c2

3)72

343

то

f ( 4)

343

156

Пример 3. Разложить по положительным степеням z 1

функции			1			и							1		.

				z 3					z 3 2
	Можем записать												1							1											1				. Далее, для

													z 3					z 1 1 3									(z 1) 4
разложения по положительным степеням z 1 , имеем
1					1						1					1					n z 1							n									n (z 1)n
																		1													1										.
	(z 1)		4		4							z 1						1					4								1							4	n 1		.
	(z 1)		4		4	1						z 1				4 n 0							4									n 0						4
						1							4
													4
Это разложение справедливо при																									z 1					1 или,							что тоже
																									z 1
																										4
																										4
					z 1			4 .
самое, при					z 1			4 .
													1							1
													1							1
	Далее, так как																					, то можем записать
	Далее, так как									z 3 2												, то можем записать
										z 3 2									z	3
																																						n 1
1													1 n			(z 1)				n								1 n					n(z 1)					n 1
1																(z 1)																	n(z 1)
			2																n 1
			2														4		n 1															4		n 1
		z 3					n 0										4									n 1								4
для разложения по положительным степеням z 1 .
	Пример 4. Функцию																		1				разложить по степеням

														z 1 (z						3)
														z 1 (z						3)
z 2 .
	Раскладывая рациональную дробь																												1					на сумму

																								z 1 (z									3)
																								z 1 (z									3)
																				1									1				1				1
двух простейших, получаем																																								.
двух простейших, получаем																		z																						.
																		z		1 (z 3)									4		z		1				z 3

157

Первое слагаемое раскладывается по степеням z 2 сле-

дующим образом. Так как

, то разложение по

z 1

(z 2) 3

положительным степеням z 2 имеет вид

(z 2)n

z 1

3n 1

n 0

и справедливо при

z 2

3 .

Аналогично,

для

слагаемого

можем

записать

z 3

Поэтому

разложение

по

z 3

z 2 1

1 (z 2)

z 3

положительным степеням z 2 имеет вид

( 1)n (z 2)n

z 3

n 0

и справедливо в области

z 2

1 .

Объединяя результаты, получаем разложение

(z 2)

( 1)n (z 2)n ,

z 1 (z 3)

4 n 0

3n 1

4 n 0

справедливое в области

z 2

1 .

Пример 5. Функцию ez 4

разложить по степеням z 2 .

Имеем ez 4 e z 2 6

e6ez 2 e6

2 .

158

8. Ряды Фурье

Рассмотрим множество вещественнозначных функций заданных на отрезке [a,b] и интегрируемых вместе со своим квадратом, то есть таких, что существуют интегралы

b	b
f (x)dx и	f 2 (x)dx. Такими являются, например, все не-
a	a

прерывные на отрезке [a,b] функции, функции имеющие конечное число точек разрыва 1-го рода отрезке [a,b] . Для

таких функций конструкция f (x)g (x)dx обладает всеми

свойствами скалярного произведения. Поэтому на множестве функций интегрируемых вместе со своим квадратом вводят скалярное произведение по формуле

b
( f , g) f (x)g(x)dx	(8.1)

Для комплекснозначных функций действительного переменного интегрируемых со своим квадратом скалярное произведение вводят по формуле

b
( f , g) f (x)g(x)dx .	(8.2)

Отметим, что как только появилось скалярное произведение, то сразу же можем ввести понятие нормы элемента

по формуле

( f , f ) . Для

действительнозначных

функций получаем

( f , f ) f

(x)dx .

Для комплекснозначных функций имеем

159

					1
		b				2

				2
f	( f , f )		f (x)		dx .

		a

А так как есть понятие нормы элемента, то есть понятие расстояния между элементами, которое можно ввести по формуле ( f , g) f g . В нашем случае получаем

( f , g)

f g

f (x) g(x) dx

для действительнозначных функций и

( f , g)

f g

f (x) g(x)

для комплекснозначных функций.

Откуда в такой форме взялось? Каждая функция, заданная на отрезке [a,b] , полностью определяется набором

своих значений, то есть если для всякого x из [a,b] можем найти f (x) , то функция определена полностью. Не всегда

удаётся задать функцию набором своих значений. Поэтому можно попытаться охарактеризовать функцию прибли-

жённо набором	в конечном числе точек. Пусть
f (x1), f (x2 ),..., f (xn )	такой набор. Тогда этот набор можно

считать n -мерным вектором f (x1), f (x2 ),..., f (xn ) T . Другую функцию g(x) тоже можно охарактеризовать в тех же точ-

ках. Чем больше точек, тем точнее характеристика функции. А теперь повторим схему, реализованную при построении интегральных сумм в интеграле Римана. Разо-

бьем отрезок [a,b]	на части точками a x0 x1 ... xn b ,
выберем внутри каждого элементарного отрезка [xi , xi 1]		по
точке i [xi , xi 1] .	Рассмотрим f ( 1), f ( 2 ),..., f ( n ) T	и

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб52Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf
#
05.02.2023671.92 Кб5Математическая логика и теория алгоритмов.-3.pdf