Вакуумная и плазменная электроника.-6

Поскольку т << М, то v << v и v + v= 2v. Умножая (1.8) на v + v , и при-

нимая во внимание, что кинетическая энергия частицы массой т до взаимодей-

Из последнего соотношения следует, что при упругом взаимодействии легкой и тяжелой частицы передача кине-тической энергии последней мини-

мальна. Так, например, при столкновении электрона с атомом аргона (т/М = 1/80000) E = =Ек/40000. Таким образом, электрон при столкновении с атомом практически не передает ему никакой энергии, если это столкновение упругое.

Неупругое соударение

Ограничимся рассмотрением так называемого лобового столкновения,

когда движение каждой из частиц происходит только вдоль оси x (рис. 14.2).

Для этого случая законы сохранения энергии и импульса запишутся в виде

где Eвн – изменение внутренней энергии частицы. Выражая из (1.12) V и под-

ставляя его в (1.11), получаем для Eвн

72

А (атома) и взаимодействует с ней. Под взаимодействием понимается любой возможный процесс (упругое рассеяние, ионизация, рекомбинация и др.).

В результате этого взаимодействия частицы выбывают из потока (рассеи-

ваются). При этом может произойти изменение внутренних состояний падаю-

щих частиц и частицы А. Для простоты будем считать, что внутреннее состоя-

ние изменяется только у частицы А.

Рассмотрим площадку dS (см. рис. 1.3), расположенную на расстоянии r

от частицы А. Эту площадку располагаем перпендикулярно радиус-вектору r ,

проведенному из центра частицы А. Угол отклонения радиус-вектора обозна-

чим через θ. Тогда телесный угол dω, опирающийся на площадку dS, равен, по

где θ – азимут точки F в полярной системе координат. Очевидно, что поток от-

клоненных частиц в единицу времени dν будет тем больше, чем больше поток падающих частиц N, чем больше телесный угол dω и, кроме того, поток откло-

ненных частиц dν должен зависеть от некоторой вероятностной функции ζ(θ, θ), учитывающий как характер (тип) взаимодействия, так и направление откло-

74

Так как dν имеет размерность с–1, a N, соответственно, см–2с–1, то величина dζ(θ, θ) должна иметь размерность площади – см2. Эта величина зависит от уг-

лов θ и θ, а также от характера процесса, который в общем виде можно харак-

теризовать как переход частицы А из состояния i в состояние j (например, i оз-

начает состояние частицы как нейтрального атома, а j – как однозарядного по-

ложительного иона, тогда переход из i в j означает ионизацию атома). Величи-

ну dζij(θ, θ) называют дифференциальным эффективным сечением перехода частицы А из состояния i в состояние j с отклонением падающей частицы в на-

правлении, составляющем углы θ и θ по отношению к исходному. Если при взаимодействии состояние частицы А не меняется, то это означает, что взаимо-

действие носит упругий характер. Дифференциальное сечение для этого случая обозначают через dζii(θ, θ). Размерность дифференциального эффективного се-

чения в единицах площади позволяет определить его физический смысл сле-

дующим образом: dζij(θ, θ) – это часть сечения частицы А, при попадании в ко-

торое падающей частицы обязательно произойдет переход частицы А из со-

стояния i в состояние j и падающая частица отклонится в телесный угол, опре-

деляемый направлением θ и θ. Следует также отметить, что dζij(θ, θ) есть диф-

ференциальное сечение рассеяния в единичный телесный угол.

Интегрируя dζij(θ, θ) по всем возможным значениям угла θ от 0 до 2π, по-

лучаем дифференциальное эффективное сечение частицы А при отклонении падающей частицы в направлении θ

Физический смысл величины dζij(θ), по аналогии с dζij(θ, θ), – это часть се-

чения частицы А, при попадании в которое падающей частицы обязательно произойдет переход частицы А из состояния i в состояние j и падающая частица отклонится в пространство между двумя конусами с углами при основании θ и θ + dθ, то есть падающая частица отклонится в телесный угол, определяемый направлением θ под любым возможным значением угла θ.

75

Наконец, проинтегрировав dζij(θ) по всем возможным значениям угла θ от

0 до 2π, получим полную величину дифференциального эффективного сечения перехода i → j

Величина ζij – это сечение частицы А, при попадании в которое падаю-

щей частицы обязательно произойдет переход частицы А из состояния i в со-

стояние j. В большинстве случаев направление отклонения падающей частицы не очень важно, поэтому наибольшее применение находит величина ζij. Эта ве-

личина отличается от газокинетического размера молекулы или атома. Чаще всего она намного меньше и, кроме того, зависит от многих факторов (напри-

мер, полное дифференциальное эффективное сечение ионизации атомов элек-

тронным ударом зависит от энергии электронов).

l

Рис. 1.4 Схема, поясняющая физический смысл параметра Qij

Если концентрация частиц А в рассматриваемом объеме равна п, то вели-

чина Qij = ζijп представляет собой полное сечение данного процесса. Определим физический смысл параметра Qij. Пусть в некотором объеме длиной l и сечени-

ем S находятся частицы А (рис. 1.4). Через этот объем проходят некоторые дру-

гие частицы (допустим для определенности, что это электроны), начальное ко-

личество которых N0. Нас интересует некоторый процесс взаимодействия элек-

тронов с частицами А (например, ионизация). Зададимся вопросом: если полное

76

дифференциальное сечение ионизации электронами частиц А есть величина ζei,

то какое количество электронов пройдет данный объем, не принимая участия в ионизации?

Предположим, что, претерпев ионизационное соударение, электрон вы-

бывает из потока. Выберем в рассматриваемом объеме бесконечно тонкий уча-

сток dx, удаленный от границы этого объѐма на расстояние x. Этот участок на-

столько тонок, что частицы А не перекрывают друг друга. Пусть к этому участ-

ку доходят Nx электронов, не участвовавших в ионизации. Очевидно, что для этого случая вероятность ионизации равна отношению суммарных сечений час-

тиц А, находящихся в объеме Sdx, к его поперечному сечению S, т.е.

ласть без ионизации, необходимо проинтегрировать (1.21) по всей длине про-

межутка l

На основе понятия «средняя длина свободного пробега» введен анало-

гичный термин «средняя длина ионизации» λei – расстояние, которое электрон проходит между двумя ионизациями. Очевидно, что на участке dx вероятность ионизации

Таким образом, полное сечение некоторого процесса обратно пропорцио-

нально длине пробега для данного процесса и означает количество событий

77

(ионизации, возбуждения и т.д.), совершаемых падающей частицей на единице

своего пути.

14.3 Кулоновские столкновения. Формула Резерфорда

Упругие взаимодействия в плазме – это, прежде всего, взаимодействия между заряженными частицами, происходящие по закону Кулона. Поэтому их называют кулоновскими взаимодействиями. Эти взаимодействия играют важ-

ную роль в плазменных процессах. Кроме них, в низкотемпературной слабоио-

низованной плазме следует учитывать упругие рассеяния заряженных частиц на нейтральных атомах и молекулах, так же как и столкновения нейтральных час-

тиц между собой.

Рассмотрим более подробно кулоновские взаимодействия. Для этого предварительно рассмотрим взаимодействие двух частиц в системе центра масс или центра инерции. По аналогии с процессами, описанными в разд. 1.2, упру-

гое столкновение двух частиц, соответственно, массами т1 и m2 и начальными скоростями v1 и v2 описывается законами сохранения импульса и энергии

где Eпот – изменение потенциальной энергии системы. Дальнейшее рассмот-

рение удобно вести, переходя к системе координат, связанной с центром инер-

ции взаимодействующих частиц. Известно, что координата центра инерции,

выраженная через радиус-вектор, связана с координатами каждой из частиц r1 и r2 соотношением

78