Теоретическая механика.-3

91

Таким образом, упругость (жесткость) эквивалентной пружины с определяется из (4). Она равна

Поскольку сила тяжести и реакция опоры, как и в предыдущей задаче, направлены по нормали к направлению движения, то они в уравнение движения не войдут. Уравнение имеет канонический вид

По аналогии с предыдущей задачей запишем выражения для амплитуды, начальной фазы колебаний, уравнение движения и период колебаний:

tgα = kx0 = 0.66, α = arctg0.66 = 0.58( рад). x0

x = 7.25sin(14.9t + 0.58)(см),

T = 2π = 0.42(c). k

Пример 3.16

Груз массой m прикреплен к концу пружины с жесткостью с и движется по горизонтальной поверхности с трением скольжения, определяемым коэффициентом трения f. В начальный момент времени груз отклонен от положения равновесия на величину b0 вправо и отпущен без начальной скорости.

Написать уравнение движения груза и найти закон изменения его наибольших отклонений от положения равновесия.

Р е ш е н и е. Схема для этой задачи такая же, как в предыдущей, за тем исключением, что имеется лишь одна пружина. Сила трения меняет свое направление в зависимости от направления движения груза, она всегда направлена против движения. Поэтому запишем сначала уравнение движения для случая движения справа налево (из начального положения),

93

Если в этом крайнем левом положении окажется, что сила трения больше силы упругости пружины, то движение прекратится и груз остановится. Пусть сила трения меньше силы упругости пружины. При движении груза направо уравнение движения будет

mx = −cx − fmg, или

x + k 2 x = − fg.

Общее решение этого неоднородного уравнения ищется точно так же, как и в случае движения груза справа налево, и оно имеет вид

x = −C3 k sin kt + C4 k cos kt.

Положение точки и ее нулевая скорость, отвечающие остановке груза при движении справа налево, дают начальные условия для определения постоянных С3 и С4 :

t = 0 : x = x1 , x = 0.

Определяя эти постоянные, получим решение в виде

Движение закончится в момент t2, когда скорость обратится в ноль, т.е.

t2 = π . k

Таким образом, время движения из крайнего правого положения в крайнее левое и обратно постоянно. Более того, это время совпадает с полупериодом свободных колебаний. Следовательно, наличие трения не меняет период колебаний – хотя в данном случае движение, строго говоря, не является периодическим, и термин «период» можно использовать только условно.

Моменту остановки отвечает наибольшее отклонение груза при его движении вправо. Это положение определится из первого соотношения (6)

Разница между максимальными отклонениями влево и вправо по абсолютной величине составит

94

Если это сравнить с разницей между исходным положением и положением первой остановки, то они равны. Это значит, что и при следующем цикле движение все будет повторяться – до тех пор, пока сила трения не станет больше силы упругости пружины.

3.4. Относительное движение

Законы динамики сформулированы в так называемой неподвижной системе координат – условно, поскольку абсолютно неподвижную систему координат трудно привести в качестве примера. Так, мы обычно принимаем за неподвижную систему координат, связанную с Землей, хотя прекрасно понимаем, что Земля вращается вокруг своей оси и движется вокруг Солнца, а сама солнечная система движется в Галактике и т.д. Тем не менее при решении подавляющего большинства практических задач система координат, связанная с поверхностью Земли, нас вполне устраивает как неподвижная система.

При описании движения в подвижной системе координат, которая сама движется в общем случае с ускорением по отношению к некоторой «неподвижной», в уравнения движения нужно вводить дополнительные силы – силы инерции.

Для неподвижной системы координат уравнение движения точки имеет вид

n

ma = ∑ Fk ,

k =1

где m – масса точки, a - ее ускорение, Fk – силы, приложенные к точке. Уравнение динамики относительного движения материальной точки

можно записать в виде

n

mar = ∑ Fk + J e + Jc ,

k =1

где справа второе слагаемое – сила инерции в переносном движении, а третье – кориолисова сила инерции, определяемая соотношением

Jc = −mac = −2 * m *ω e × vr .

В этом выражении ω e - угловая скорость вращения подвижной системы отсчета относительно «неподвижной», vr - относительная скорость точки.

96

точном вращении. Это вращение является равномерным, поэтому следует учитывать только центробежную силу инерции, которая направлена не к центру Земли, а к центру вращения – центру окружности, которую описывает человек при вращении Земли. Если широта местности, на которой находится человек, равна ψ, то величина этой силы определяется центробежным ускорением. Оно равно R*ω2*cosψ. При суммировании силы тяжести и силы инерции нужно учитывать, что сила тяжести направлена к центру Земли, а сила инерции – к центру окружности, о которой шла речь выше. Для сопоставления этих сил по величине составим отноше-

g = 9.81 м/с2 дает величину cosψ/290. Такой порядок и будет у поправки к силе тяжести, на которую отличается натяжение лестницы от веса человека. Таким образом, в подавляющем большинстве практических расчетов можно не учитывать влияние сил инерции, связанных с вращением Земли.

Пример 3.18

Треугольная призма АВЕ (рисунок а) массой М лежит на гладкой горизонтальной поверхности. От вершины В начинает спускаться без начальной скорости точка с массой m.

Определить ускорение призмы, абсолютное ускорение точки, относительное ускорение точки по отношению к призме. Найти траекторию абсолютного движения точки и силы давления на призму и призмы на горизонтальную плоскость.

Р е ш е н и е. Обозначим точкой С общий центр масс призмы и точки. Сила тяжести и реакция опоры направлены по вертикали, поэтому в соответствии с теоремой о движении центра масс можно записать

Отсюда следует, что угол ϕ постоянен, и движение точки m происходит по прямой, образующей этот угол с горизонтом.

Относительное ускорение (см. схему) равно

Сила давления призмы на горизонтальную плоскость N1 равна сумме проекций на ось Оу всех внешних сил, действующих на призму: