Элементы электронной техники.-1

Теперь подставим в данное выражение значения компонент тензора и матрицы преобразования, имея в виду их диагональный вид:

T11' ' С1' k C1' l Tkl С11' 2Т11 Т11 .

В данном выражении отбрасываем слагаемые, содержащие недиагональные элементы тензора:

T12' ' С11' C21' T11 С12' C2' 2Т22 С13' C2' 3Т33 .

Но недиагональные элементы матрицы преобразования равны нулю, поэтому

T12' ' 0.

Для компоненты Т13 в новой системе координат будем иметь выражение

i' 1' , j' 3' :

T13' ' С1' k C3' l Tkl С11' C31' T11 C11' C3' 2T12 C11' C3' 3T13

C12' C31' T21 С12' C3' 2Т22 C1э2C3' 3T23

C13' C31' T31 C13' C3' 2T32 С13' C3' 3Т33 .

Отбросим слагаемые, которые содержат недиагональные элементы тензора:

T13' ' С11' C31' T11 С12' C32' Т22 С13' C33' Т33 .

Поскольку недиагональные элементы матрицы преобразования системы координат равны нулю, то T13' ' 0.

61

Ввиду симметричности исходного тензора из полученных результатов

можно сделать вывод, что T21' ' 0, T31' ' 0.

Теперь определим элемент T22 в новой системе координат. Для этого в исходном выражении положим i' 2' , j' 2' . Тогда

T2' 2' С2' k C2' l Tkl С2'1C2'1T11 C2'1C2' 2T12 C2'1C2' 3T13

C2' 2C2'1T21 С2' 2C2' 2Т22 C2э2C13' T23

C2' 3C2'1T31 C2' 3C2' 2T32 С2' 3C2' 3Т33 .

Отбросим слагаемые, содержащие недиагональные элементы тензора:

T2' 2' С21' C21' T11 С2' 2C2' 2Т22 С2' 3C2' 3Т33 .

Недиагональные элементы матрицы преобразования также равны нулю, поэто-

му окончательно имеем:

T2' 2' С2' 2C2' 2Т22 T22 .

Определим элемент T33 в новой системе координат. Для этого в исходном выражении положим i' 3' , j' 3' . Тогда

T3' 3' С3' k C3' l Tkl С31' C31' T11 C31' C3' 2T12 C31' C3' 3T13

C3' 2C31' T21 С3' 2C3' 2Т22 C3э2C3' 3T23

C3' 3C31' T31 C3' 3C3' 2T32 С3' 3C3' 3Т33 .

По тем же причинам, что и в предыдущих вычислениях получим

T33' ' С33' C33' Т33 T33 .

Нам осталось определить компоненты Т23 и Т32. Из соображений симмет-

ричности исходного тензора (тензор симметричный в какой-либо системе ко-

ординат должен оставаться симметричным в любой другой системе) следует,

что эти элементы должны быть равны друг другу. Следовательно требуется

вычислить только одну компоненту, например, Т23. Полагаем i' 2' , j' 3' :

62

T2' 3' С2' k C3' l Tkl С2'1C31' T11 C2'1C3' 2T12 C2'1C3' 3T13

C2' 2C31' T21 С2' 2C3' 2Т22 C2э2C3' 3T23

C2' 3C31' T31 C2' 3C3' 2T32 С2' 3C3' 3Т33 .

Отбрасываем все слагаемые, содержащие недиагональные элементы тензора:

T2' 3' С21' C31' T11 С2' 2C32' Т22 С2' 3C33' Т33 0.

Итак, эта компонента тензора равна нулю, т.к. все его слагаемые равны нулю из-за нулевых значений недиагональных компонент матрицы преобразования.

Окончательно, вид тензора в новой системе координат остался неизмен-

ным по отношению к кристаллофизической системе координат.

4.8 0 0

0 4.8 0 .

0 0 7.4

Полученный вид тензора в новой системе координат подтверждается тем,

что выбранная матрица преобразования системы координат соответствует дей-

ствию оси симметрии второго порядка, расположенной по оси Х1. Симметрия же кристалла описывается точечной группой 422, которая имеет такую ось симметрии и, согласно принципу Неймана, эту же ось симметрии должно иметь любое физическое свойство, наблюдаемое в данном кристалле. Что и было получено путем строгих математических вычислений.

15. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА

ТЕНЗОРА В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

1. Определить вид и значения компонент тензора Т тетрагонального кристалла точечной симметрии 422 в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

63

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 0.0

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

2. Определить вид и значения компонент тензора Т тетрагонального кристалла точечной симметрии 422 в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 7.4

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

3. Определить вид и значения компонент тензора Т тетрагонального кристалла точечной симметрии 422 в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 0.0

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

64

4. Определить вид и значения компонент тензора Т тетрагонального кристалла точечной симметрии 422 в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 0.0

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

5. Определить вид и значения компонент тензора Т тетрагонального кристалла точечной симметрии 422 в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 0.0

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

65

6. Определить вид и значения компонент тензора Т кубического кристалла то-

чечной симметрии m3m в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 4.8

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

7. Определить вид и значения компонент тензора Т кубического кристалла то-

чечной симметрии m3m в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 4.8

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

8. Определить вид и значения компонент тензора Т кубического кристалла то-

чечной симметрии m3m в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

66

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 4.8

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

9. Определить вид и значения компонент тензора Т кубического кристалла то-

чечной симметрии m3m в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 4.8

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

10. Определить вид и значения компонент тензора Т кубического кристалла точечной симметрии m3m в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 4.8 0 ,

0 0 4.8

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

67

11. Определить вид и значения компонент тензора Т ромбоэдрического кри-

сталла точечной симметрии mmm в новой системе координат, если в кристал-

лофизической системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 9.6 0 ,

0 0 15.2

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

12. Определить вид и значения компонент тензора Т ромбоэдрического кри-

сталла точечной симметрии mmm в новой системе координат, если в кристал-

лофизической системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 9.6 0 ,

0 0 15.2

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

68

13. Определить вид и значения компонент тензора Т ромбоэдрического кри-

сталла точечной симметрии mmm в новой системе координат, если в кристал-

лофизической системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 9.6 0 ,

0 0 15.2

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

14. Определить вид и значения компонент тензора Т ромбоэдрического кри-

сталла точечной симметрии mmm в новой системе координат, если в кристал-

лофизической системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 9.6 0 ,

0 0 15.2

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

15. Определить вид и значения компонент тензора Т ромбоэдрического кри-

сталла точечной симметрии mmm в новой системе координат, если в кристал-

лофизической системе координат он имеет вид:

69

4.8 0 0

0 9.6 0 ,

0 0 15.2

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

16. Определить вид и значения компонент тензора Т ромбоэдрического кри-

сталла точечной симметрии mmm в новой системе координат, если в кристал-

лофизической системе координат он имеет вид:

4.8 0 0

0 9.6 0 ,

0 0 15.2

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

17. Определить вид и значения компонент тензора Т моноклинного кристалла точечной симметрии m в новой системе координат, если в кристаллофизиче-

ской системе координат он имеет вид:

4.8 6.2 0

6.2 9.6 0 ,

0 0 15.2

а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:

70