Элементы электронной техники.-1
.pdf
где L - исходный линейный размер кристалла. Относительное изменение длины будет равно:
L/L = T .
Величина физического свойства в заданном направлении определяется с помощью выражения
( L/L)n = ij ni n j T .
Распишем его в полном виде, что предполагает проведение суммирования по двум индексам
( L / L )n ( 11 n12 12 n1n2 13n1n3 21 n1n2 22 n22 23n2n331 n1n3 32n2n3 33 n32 ) T.
Подставим в данное выражение сначала значения компонент единичного век-
тора n , у которого n3=0, тогда
( L / L )n ( 11 n12 12 n1n2 21 n1n2 22 n22 ) T.
Теперь вместо ij в данное выражение подставим численные значения компо-
нент тензора, а также численное значение изменения температуры
( L / L ) |
( 9.5 n |
2 |
4.8 n n |
2 |
4.8 n n |
2 |
9.5 n |
2 ) 10 4 |
T |
||
n |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|||
( 2 9.5 |
2 |
2 4.8 |
2 |
) 10 4 |
10 14.3 10 3 |
1.43 10 2 . |
|
||||
4 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2. Определить величину электропроводности кристалла в направ-
лении, задаваемым единичным вектором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 0, |
2 2, 2 2 , если известно, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
что тензор электропроводности данного кристалла в кристаллофизической сис-
теме координат имеет следующий вид:
51
15 4.5 0 4.5 15 0 10 7 , Ом -1 см -1.
0 0 88.8
Решение. Как и в предыдущей задаче, сначала запишем общее выраже-
ние для величины физического свойства в выбранном направлении
n ij ni n j 11 n12 12n1n2 13n1n3 21n2n1 22n22 23n2n331n3n1 32n3n2 33n32 .
В данном выражении равны нулю все слагаемые, содержащие n1, а также и те,
которые содержат 13 , 31, 23 , 32 . Если эти слагаемые опустить, то полу-
чим, что требуемая величина равна
n ij ni n j 22n22 33n32 .
Подстановка в данное выражение численных значений компонент тензора и координат единичного вектора дает
2 |
2 |
|
15 |
2 |
88.8 |
2 |
|
10 |
7 |
516. 10 |
7 |
|
|
|
|
|
n ij ni n j 22n2 |
33n3 |
|
|
|
|
|
|
Ом |
-1 |
см |
-1 |
. |
||||
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 3. Вычислить величину абсолютной диэлектрической проницае-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мости а кристалла в направлении |
n |
|
2 2, 0, |
|
|
, если тензор относи- |
||
|
2 2 |
|||||||
тельной диэлектрической проницаемости о тн имеет вид
16 2.2 7.4
2.2 18 5.6 .
7.4 5.6 24
52
Решение. Величина абсолютной диэлектрической проницаемости а
связана с относительной диэлектрической проницаемостью через диэлектриче-
скую проницаемость вакуума 0 8.85 10 12 Ф / м
а о тн 0 .
Значит, требуемая величина определится с помощью следующего выражения
аn 0 ( 11 n12 12n1n2 13n1n3 21n2n1 22n22 23n2n331n3n1 32n3n2 33n32 ).
Его упрощение возможно за счет использования симметричности тензора ди-
электрической проницаемости
аn 0 ( 11 n12 2 12n1n2 2 13n1n3 22n22 2 23n2n3 33n32 ).
Теперь подставим в полученное выражение значения компонент единичного
вектора и учтем, что n2 = 0, тогда
аn 0 ( 11 n12 2 13n1n3 33n32 ) 8.85 10 12 (16 24 2 7.4 24 24 24 )
8.85 10 12 (8 7.4 12 ) 8.85 10 12 27.4 2.4 10 10 (Ф / м ).
Итак, величина абсолютной диэлектрической проницаемости в направлении
вектора n составляет 2.4 10-10 Ф/м.
53
13.ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕЛИЧИНЫ ФИЗИЧЕСКОГО СВОЙСТВА
В ЗАДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ
ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
1.Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии m3m в на-
правлении единичного вектора n 1, 0, 0 , если тензор электропроводности
кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
88 |
0 |
0 |
|
0 |
88 0 |
10 6 , Ом -1 см -1 . |
|
0 |
0 |
88 |
|
|
|
|
|
2. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии m3m в на-
правлении единичного вектора |
|
|
|
0, 1, 0 , если тензор электропроводности |
||
|
n |
|||||
кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид: |
||||||
|
|
0 |
0 |
|
||
|
88 |
|
||||
|
0 |
88 0 |
10 6 , Ом -1 см -1 . |
|||
|
0 |
0 |
88 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии mmm в на-
правлении единичного вектора |
|
0, 1, 0 , если тензор электропроводности |
|||
n |
|||||
кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид: |
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
77 |
|
|||
|
0 |
88 0 |
10 6 , Ом -1 см -1 . |
||
|
0 |
0 |
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
54
4. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии mmm в на-
правлении единичного вектора n 0, 0, 1 , если тензор электропроводности кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 0 0 0 88 0 10 6 , Ом -1 см -1 . 0 0 99
5. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 6mm в на-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правлении единичного вектора |
n |
2 2, |
|
, если тензор электропро- |
||||
|
2 2, 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водности кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 0 0 0 77 0 10 6 , Ом -1 см -1 . 0 0 99
6. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 6mm в на-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правлении единичного вектора |
n |
0, |
|
|
, если тензор электропро- |
||||
|
2 2, 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водности кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 0 0 0 77 0 10 6 , Ом -1 см -1 . 0 0 99
7. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 6mm в на-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правлении единичного вектора |
n |
3 3, |
|
|
, если тензор электро- |
|||||
|
3 3, 3 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проводности кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
55
77 0 0 0 77 0 10 6 , Ом -1 см -1 . 0 0 99
8. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 2 в направ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении единичного вектора |
n |
3 3, |
|
|
, если тензор электропровод- |
|||||
|
3 3, 3 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ности кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 45 0 55 88 0 10 6 , Ом -1 см -1. 0 0 99
9. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 2 в направ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении единичного вектора |
n |
2 2, |
|
, если тензор электропроводно- |
||||
|
2 2, 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 45 0 55 88 0 10 6 , Ом -1 см -1. 0 0 99
10. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 2 в направ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении единичного вектора |
n |
2 2, 0, |
|
, если тензор электропроводно- |
||||
|
2 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 45 0 55 88 0 10 6 , Ом -1 см -1. 0 0 99
11. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 2 в направ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении единичного вектора |
n |
0, |
|
|
, если тензор электропроводно- |
||||
|
2 2, 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
56
77 45 0 55 88 0 10 6 , Ом -1 см -1. 0 0 99
12. Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 4 в направ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении единичного вектора |
n |
0, |
|
|
, если тензор электропроводно- |
||||
|
2 2, 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 |
45 |
0 |
|
45 88 |
0 |
10 6 , Ом -1 см -1 . |
|
00 99
13.Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 4 в направ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении единичного вектора |
n |
3 3, |
|
|
, если тензор электропровод- |
|||||
|
3 3, 3 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ности кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 |
45 |
0 |
|
45 88 |
0 |
10 6 , Ом -1 см -1 . |
|
00 99
14.Вычислить значение электропроводности кристалла симметрии 4 в направ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении единичного вектора |
n |
2 2, 0, |
|
, если тензор электропроводно- |
||||
|
2 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти кристалла в кристаллофизической системе координат имеет вид:
77 |
45 |
0 |
|
45 88 |
0 |
10 6 , Ом -1 см -1 . |
|
00 99
15.Вычислить значение абсолютной диэлектрической проницаемости кристал-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла симметрии 4 в направлении единичного вектора |
n |
3 3, 3 3, |
|
, ес- |
||||||
|
3 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
ли тензор относительной диэлектрической проницаемости кристалла в кри-
сталлофизической системе координат имеет вид:
4.8 2.1 02.1 6.7 0 .
00 7.4
16.Вычислить значение абсолютной диэлектрической проницаемости кристал-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла симметрии 4 в направлении единичного вектора |
n |
2 2, 0, |
|
, если |
||||
|
2 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тензор относительной диэлектрической проницаемости кристалла в кристал-
лофизической системе координат имеет вид:
4.8 2.1 02.1 6.7 0 .
00 7.4
17.Вычислить значение абсолютной диэлектрической проницаемости кристал-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла симметрии 4 в направлении единичного вектора |
n |
0, |
|
|
, если |
||||
|
2 2, 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тензор относительной диэлектрической проницаемости кристалла в кристал-
лофизической системе координат имеет вид:
4.8 2.1 02.1 6.7 0 .
00 7.4
18.Вычислить значение абсолютной диэлектрической проницаемости кристал-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла симметрии 2 в направлении единичного вектора |
n |
0, |
|
|
, если |
||||
|
2 2, 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тензор относительной диэлектрической проницаемости кристалла в кристал-
лофизической системе координат имеет вид:
58
4.8 2.1 0
3.9 6.7 0 .
00 7.4
19.Вычислить значение абсолютной диэлектрической проницаемости кристал-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла симметрии 2 в направлении единичного вектора |
n |
2 2, 0, |
|
, если |
||||
|
2 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тензор относительной диэлектрической проницаемости кристалла в кристал-
лофизической системе координат имеет вид:
4.8 2.1 0
3.9 6.7 0 .
00 7.4
20.Вычислить значение абсолютной диэлектрической проницаемости кристал-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла симметрии 2 в направлении единичного вектора |
n |
3 3, |
|
|
, ес- |
|||||
|
3 3, 3 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ли тензор относительной диэлектрической проницаемости кристалла в кри-
сталлофизической системе координат имеет вид:
4.8 2.1 0
3.9 6.7 0 .
0 0 7.4
59
14. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ТЕНЗОРА
В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Задача 1. Определить вид и значения компонент тензора Т тетраго-
нального кристалла точечной симметрии 422 в новой системе координат, если в кристаллофизической системе координат он имеет вид:
4.8 0 0
0 4.8 0 ,
0 0 7.4
а матрица преобразования кристаллофизической системы координат в новую систему имеет следующий вид:
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
. |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|||
Решение. Для определения компонент тензора второго ранга при смене системы координат воспользуемся выражением
Тi' j' = Сi' k Cj' l Tkl ,
где Сi' k и С j' l - компоненты матрицы преобразования системы координат, а
суммирование в правой части идет по индексам k и l, каждый из которых про-
бегает значения 1, 2, 3. Определим компоненту тензора Т11 в новой системе ко-
ординат сначала в общем виде, полагая в приведённом выше выражении
i' j' 1' :
T11' ' С1' k C1' l Tkl С11' 2Т11 C11' C12' T12 C11' C13' T13
C12' C11' T21 С12' 2Т22 C1э2C13' T23 C13' C11' T31
C13' C12' T32 С13' 2Т33 .
60