
Математические модели в экономике.-2
.pdf
откуда получаем, что |
|
|
|
|||
|
|
|
x E A 1 C , |
(4.5) |
||
|
|
|
|
|
п |
|
где E единичная матрица размерности n n . |
|
|||||
Но |
тут возникает одна чисто |
математическая трудность. |
Очевидно, что |
|||
Cпi 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( i 1, n ). Очевидно, что вектор x |
также должен удовлетворять этому же |
|||||
|
|
|
|
0 , |
так как выпуск отрицательного объема |
|
ограничению, то есть должно быть x |
продукции отраслью невозможен. Необходимо, чтобы решение (4.5) удовлетворя-
ло бы этому условию.
Определение. Если для любого вектора Cp 0 вектор x E A 1 Cp также
удовлетворяет условию |
|
0 , то говорят, что модель Леонтьева продуктивна |
x |
(матрица прямых затрат A продуктивна).
Условия продуктивности модели Леонтьева сформулируем следующим обра-
зом:
Модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда A 1 . Здесь A
максимальное положительное собственное число матрицы А.
Это утверждение и даёт необходимое и достаточное условие продуктивности
модели Леонтьева.
Изложенная выше модель Леонтьева неудовлетворительна в том смысле, что
она не учитывает ограничений, которые неизбежно имеют место в реальной жиз-
ни. Одним из таких ограничений являются ограничения на трудовые ресурсы.
Пусть Ri есть затраты трудовых ресурсов (измеряемые, например, в человеко-
часах) в i -й отрасли при производстве единицы продукции. Вектор |
|
||
R (R , R , |
, R )T |
мы будем называть вектором трудовых затрат. Тогда, если пла- |
|
1 2 |
n |
|
|
новый выпуск в |
i -й отрасли равен xi , то суммарный объём трудовых затрат будет |
||
равен |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Ri xi RT x . |
(4.6) |
i 1
Вкачестве ограничения на все планы должно выполняться ограничение на трудо-
вые ресурсы вида
RT x L , |
(4.7) |
31

где L имеющийся в нашем распоряжении объем трудовых ресурсов.
В этом случае, очевидно, нельзя требовать достижимости любого вектора по-
требления Cп . Пусть вектор потребления K задаёт не конечный спрос, а лишь его структуру. Тогда потребление равно zK .
Тогда естественно задачу планирования экономики записать в виде
|
z max, |
|
|
x ,z |
|
|
|
|
x Ax zK, |
(4.8) |
|
|
RT x L, |
|
|
|
|
|
|
|
x 0, z 0, |
|
которая является типовой задачей линейного программирования. Смысл первого ограничения очевиден на потребление должно остаться не меньше, чем требует-
ся структурой потребления, определяемой вектором zK . Второе ограничение учи-
тывает ограниченность трудовых ресурсов. Написанная выше задача и называется моделью Леонтьева при ограничениях на трудовые ресурсы и ее смысл, в частно-
сти, состоит а рациональном распределении трудовых ресурсов.
ЗАДАНИЕ
1. Выполнить планирование валового выпуска по отраслям. Значения матри-
цы B взаимопотребления по отраслям, вектор потребления C и вектор планируе-
мого потребления на будущий год Cп приведены в таблице. При планировании проверить матрицу прямых затрат на продуктивность.
2. Выполнить планирование валового выпуска по отраслям при ограничени-
ях на трудовые ресурсы. Значения матрицы B взаимопотребления по отраслям,
вектор стоимостей трудовых ресурсов по отраслям R , структурный вектор по-
требления K приведены в таблице. Объем трудовых ресурсов L =3000.
32

n/n Матрица взаимопо- |
Вектор |
Вектор пла- |
Структурный |
Вектор |
стои- |
требления |
потребления |
нируемого |
вектор |
мостей |
трудо- |
по отраслям |
|
потребления |
потребления |
вых ресурсов |
|
|
|
|
|
по отраслям |
1 |
50 |
16 |
120 |
|
60 |
|
|
|
|
|
60 |
|
6 |
|
3 |
|||||
|
B 35 |
10 |
170 |
C 100 |
C |
п |
110 |
K 9 |
R 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
15 |
14 |
140 |
|
90 |
|
|
|
|
|
96 |
5 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
60 |
16 |
120 |
|
60 |
|
|
|
|
|
70 |
|
6,5 |
2 |
||||||
|
B 45 |
20 |
20 |
C 100 |
C |
п |
100 |
K |
|
3 |
R 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
15 |
14 |
140 |
100 |
|
|
|
105 |
|
|
4 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
20 |
18 |
105 |
|
80 |
|
|
|
|
|
85 |
|
|
3 |
2 |
|||||
|
B 25 |
25 |
30 |
C 120 |
C |
п |
122 |
K 5 |
R 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
35 |
22 |
100 |
110 |
|
|
|
120 |
7 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
30 |
24 |
100 |
|
|
70 |
|
|
|
|
|
75 |
|
|
5,3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
B 45 |
12 |
40 |
C |
96 |
|
C |
п |
100 |
K |
|
4 |
R |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
55 |
28 |
112 |
120 |
|
|
|
125 |
|
|
3 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
30 |
24 |
110 |
|
80 |
|
|
|
|
|
88 |
|
7 |
1 |
||||||
|
B 55 12 |
50 |
C 90 |
C |
п |
|
92 |
K 8 |
R 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
65 |
30 |
122 |
120 |
|
|
|
125 |
4 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
50 |
40 |
100 |
|
70 |
|
|
|
|
|
77 |
|
5,7 |
2 |
||||||
|
B 50 10 |
40 |
C 82 |
C |
п |
|
84 |
K 3, 2 |
R 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
38 |
30 |
110 |
120 |
|
|
|
120 |
|
|
5 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7 |
30 |
35 |
110 |
65 |
|
|
|
60 |
6 |
|
3 |
|||||||||
|
B 50 15 |
55 |
C 55 |
C |
п |
57 |
K 8 |
R 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
65 |
30 |
120 |
90 |
|
|
|
93 |
5 |
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
50 |
25 |
120 |
|
60 |
|
|
|
|
|
60 |
|
6, 2 |
2 |
||||||
|
B 25 |
10 |
150 |
C 110 |
C |
п |
103 |
K |
|
4 |
R 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
15 |
12 |
140 |
55 |
|
|
|
|
|
65 |
|
|
4 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 |
60 |
16 |
120 |
|
60 |
|
|
|
|
|
70 |
|
6 |
|
3 |
|||||
|
B 45 |
20 |
20 |
C 100 |
C |
п |
|
95 |
K 5 |
R 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
15 |
14 |
140 |
100 |
|
|
|
106 |
7 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
30 |
23 |
150 |
|
80 |
|
|
|
|
|
85 |
|
9 |
|
5 |
|||||
|
B 26 |
22 |
40 |
C 110 |
C |
п |
120 |
K 8 |
R 4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
36 |
20 |
100 |
120 |
|
|
|
110 |
5 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33

5. Взаимодействие двух фирм на рынке одного товара
Случай, когда существует несколько производителей (продавцов), называется олигополией. Случай, когда имеются две фирмы, выпускающие однотипную про-
дукцию, называется дуополией.
Рассмотрим стратегию Курно взаимодействия двух фирм. Пусть xi – обозна-
чает количество выпускаемого товара i – ой фирмой, C0i – себестоимость произ-
водства одной единицы i-го товара. Произведенный обеими фирмами товар посту-
пает на общий рынок. Будем предполагать, что в соответствии с экономической теорией, цена на товар будет уменьшаться в зависимости от поступающего на ры-
нок общего количества товаров x = x1 + x2. Будем также предполагать, что цена то-
вара линейно зависит от x:
С(x) = a – b x |
(a >0, b>0). |
(5.1) |
Вычислим прибыль i -ой фирмы:
Wi (x1, x2 ) xi (a bx) C0i xi bxi [( ab x) Cb0i ] .
Окончательно получим:
Wi (x1, x2 ) bxi (di x), |
(5.2) |
||||
где |
|
|
|
|
|
d |
|
|
(a C0i ) |
. |
|
i |
|
|
|||
|
|
b |
|
||
|
|
|
|
Стратегия управления Курно заключается в том, что обе фирмы знают объем
выпуска продукции каждой фирмы. Тогда каждая фирма можем максимизировать свою прибыль. Для этого необходимо решить два уравнения
dW1(x1, x2 ) |
0 , |
dW2 (x1, x2 ) |
0 . |
|
|||
|
|
||
dx1 |
dx2 |
Корни этих уравнений дадут нам оптимальный объем выпуска для каждой фирмы.
Выполнив соответствующие математические расчеты, получим:
x |
d1 x2 |
, |
x |
d2 x1 |
. |
(5.3) |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
34

Исследуем динамику процесса управления фирмами по Курно. Для этого до-
полнительно будем предполагать, что обе фирмы имеют одинаковую продолжи-
тельность цикла производства товара, кроме того, будем предполагать, что циклы производства товаров в обеих фирмах начинаются одновременно. Введем в рас-
смотрение дискретное время процесса t = 1,2, …, один такт которого соответствует одному полному циклу производства товара от начала до конца. Реально динамика стратегии Курно будет реализовываться не по уравнениям (5.3), а в соответствии со следующими уравнениями:
x1(t) |
d1 |
x2 (t 1) |
, |
x1(0) x10 , |
(5.4) |
||||
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 (t) |
|
d |
2 |
x1 |
(t 1) |
, |
x2 (0) x20 , |
(5.5) |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где x10 , x20 начальные значения выпусков товаров для фирм. Исследуем эти уравнения на устойчивость. Для этого преобразуем уравнения (5.4), (5.5) к виду
x1(t) 12 x2 (t 1) d21 ,
|
x (t) |
1 |
x (t 1) |
d2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
и представим их в векторно-матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z(t) Az(t 1) d , |
|
|
|
|
(5.6) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
d1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A |
1 |
2 |
, |
z(t) 1 |
, |
d |
d22 |
|
. |
|||||||
|
2 |
0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Вычислим собственные числа матрицы А, для этого определим корни уравнения: det A E 0 ,
где E единичная, переменная. В результате получим.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
||||||
det A E det |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
0 . |
(5.7) |
||
|
1 |
|
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
Корни уравнения (5.7) 1 12 , 2 12 являются собственными числами матрицы A .
В силу того, что оба собственных числа по модулю меньше 1, динамика стратегии Курно всегда устойчива и сходится в состояния устойчивого равновесия. Найдем
35

точку Курно – значения x1 и x2 , соответствующие равновесному состоянию. Для этого необходимо решить систему уравнений (5.3). В результате получим:
|
|
xK |
2d1 d2 |
, |
xK |
2d2 d1 |
. |
(5.8) |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь xK |
и xK |
координаты точки Курно. Осуществим анализ экономических по- |
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
казателей стратегии Курно в устойчивом состоянии. Для упрощения будем счи-
тать, что d1 d2 d . Тогда координаты точки Курно будут следующие:
|
|
xK |
d |
, xK |
d |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим прибыль в точке Курно W K |
и W K , в результате получим: |
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
W K W K bxK (d (xK |
xK )) |
bd 2 |
. |
||||||||
|
|||||||||||
1 |
2 |
i |
|
1 |
2 |
|
9 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммарная прибыль для стратегии Курно равна |
|
|
|||||||||
|
W K W K |
W K |
2bd 2 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
9 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
И наконец, установившаяся цена на товар равна:
C K a 2bd3 .
Рассмотрим случай когда одна из фирм зная, что конкурент выбрал стратегию Курно, действует не по стратегии Курно, а используюя эту информацию выбирает себе другую стратегию. Такая стратегия называется стратегией Стакельберга. Для простоты будем считать, что d1 d2 d . Пусть первая фирма дает возможность узнать свой ход x1, тогда вторая фирма выбирает стратегию
x2 (d x1 ) . (5.9)
2
Но первая фирма будет действовать тайно по другому с учетом знания стратегии второй фирмы. Подставим в формулу для прибыли первой фирмы значение x2 ,
определяемое формулой (5.9), в результате получим:
W1 bx1(d (x1 x2 )) bx1(d (x1 d x1 )) bx1(d x1 ) . 2
Тогда решив уравнение:
dW1 0 , dx1
36

Найдем оптимальное значение x1 , соответствующее стратегии Стакельберга, в ре-
зультате получим:
x1S d2 .
Подставив это значение формулу (8) получим:
x2S d4 .
Общий выпуск товаров по стратегии Стакельберга равен:
xS x1S x2S 34d .
Вычислим прибыли фирм, в результате получим:
W S bxS (d (xS xS )) |
bd 2 |
W K , |
|||
|
|||||
1 |
1 |
1 |
2 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
W S bxS (d (xS xS )) |
bd 2 |
W K . |
|||
|
|||||
2 |
2 |
1 |
2 |
16 |
2 |
|
|
|
|
|
Суммарная прибыль по Стакельбергу равна:
W S 316bd .
Установившаяся цена на товар равна
CS a b(x1S x2S ) a 3bd4 .
Как видно, цена на товар в случае Стратегии Стакельберга меньше, чем в стратегии Курно, т.е. стратегия Стакельберга для потребителя выгодней, чем стра-
тегия Курно. Итак, мы видим, что прибыль первой фирмы возрастает. Но здесь обе фирмы могут попасть в ловушку, если обе начнут действовать по стратегии Ста-
кельберга. Тогда их прибыль будет уменьшаться. Эта стратегия опасна для фирм.
Фирмы могут объединиться в монополию или образовать картель (это тайный сговор двух фирм с целью поддержания заданной цены). Рассмотрим его подроб-
ней в предположении, что d1 d2 d . В этом случае суммарная прибыль двух фирм равна:
W W1 W2 bx1(d x) bx2 (d x) bx(d x) .
Максимум прибыли достигается при выпуске:
37

xM d2 .
Равновесная цена будет следующей:
CM a b(x1M x2M ) a bd2 .
Для объединения фирм в форме картеля имеем:
x1C x2C d4 , W1C W2C bd8 2 .
Итак, из расчетов видно, для потребителя наиболее выгодна стратегия Ста-
кельберга и наименее выгодной является стратегия монополии или картеля.
ЗАДАНИЕ
1. Для заданных значений параметров a , b , C01 , C02 , x1(0) , x2 (0) получить графики динамики изменения объемов выпуска фирм, динамики изменения при-
былей фирм и динамики изменения цены для стратегии Курно. Построить фазо-
вый портрет, найти точку Курно, установившиеся значения прибылей фирм, объе-
мов выпуска и установившуюся цену. Исходные данные приведены в таблице 5.1.
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n/n |
a |
b |
C01 |
C02 |
x1(0) |
|
x1(0) |
1 |
15 |
1,1 |
1,1 |
1,4 |
7,0 |
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
17 |
1,2 |
1,05 |
1,5 |
5,0 |
|
4,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
20 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
6,5 |
|
4,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
19 |
1,3 |
1,2 |
1,1 |
5,6 |
|
5,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
21 |
1,3 |
1,2 |
1,3 |
6,5 |
|
4,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
13 |
1,4 |
1,1 |
1,7 |
7,6 |
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
24 |
1,0 |
1,2 |
1,5 |
4,5 |
|
6,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
20 |
1,3 |
1,08 |
1,2 |
6,2 |
|
6,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
15 |
1,0 |
1,4 |
1,2 |
6,0 |
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
20 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
6,2 |
|
4,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
15 |
1,6 |
1,3 |
1,4 |
5,0 |
|
6,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
25 |
1,35 |
1,4 |
1,3 |
6,5 |
|
5,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
38

6. Динамические модели фирмы
Рассмотрим модель производства n видов товаров в условиях рынка. Вектор
состояния x(k) представлен компонентами:
|
|
|
|
z1 (k ) |
|
|
||
|
|
|
|
v (k ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
(k ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k ) |
v2 |
(k ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
, |
(6.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
(k ) |
|
||
|
|
|
|
v |
n |
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(k ) |
|
|
||
где zi (k) количество товаров i -го вида на рынке; vi (k) |
количество товаров i -го |
|||||||
|
|
|
прибыль. |
|
|
|||
вида у потребителя, i 1, n ; w(k) |
|
|
Математическая модель динамики изменения количества товаров у потреби-
телей и на рынке, а также прибыли может быть записана в следующем виде: z1(k 1) (1 k11)z1(k) s1(k) u1(k) ,
w(k 1)
(6.2)
где ui (k) количество товаров, выпускаемых за один такт, i 1, n , k1i коэффици-
енты потерь; k2i коэффициенты потребления; k3i стоимость хранения единицы товаров; с0i себестоимости; si (k) количество проданных товаров i -го вида в один такт, i 1, n . Функции продаж определяются по формулам:
39

s (k) n exp( c )(1 v (k)Y 1)z (k) , |
(6.3) |
|||||||
i |
i |
i |
i |
i |
i |
|
||
ni коэффициенты продаж; сi |
|
цены на товары, |
|
|
|
потенциальный спрос |
||
|
i 1, n ; Yi |
для i -го вида товара (объем рынка для i -го вида товара).
Модель (6.2), (6.3) может быть представлена в следующем векторно-
матричном виде:
|
|
|
|
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) , |
|
|
|
|
(6.4) |
||||||||||
где вектор (x(k)) следующий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vn (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( x(k )) |
|
|
w(k ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
v (k )z (k ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
v2 |
(k )z2 (k ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
n |
(k )z |
n |
(k ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Матрица динамики A для данного объекта имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a11 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
a1,2n 2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
a2,2n 2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
a2n 1,2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
a2n 1,3n 1 |
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
a |
2n,2n 1 |
a |
2n,2n |
0 |
|
|
0 |
0 |
a |
2n,3n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2n 1,1 |
0 |
a2n 1,3 |
a2n 1,2n 1 |
|
0 |
|
|
1 a2n 1,2n 2 |
a2n 1,2n 3 |
a2n 1,3n 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где элементы матрицы определяются по формулам:
a11 1 k11 n1 exp( c1 ),
a |
n1 exp( c1 ) , |
||
1,2n 2 |
|
Y1 |
|
|
|
a21 n1 exp( c1 ),
a22 1 k21,
a2,2n 2 n1 exp( c1 ) ,
Y1
a2n 1,2n 1 1 k1n nn exp( cn ),
40