Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математические модели в экономике.-2

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
971.14 Кб
Скачать

откуда получаем, что

 

 

 

 

 

 

x E A 1 C ,

(4.5)

 

 

 

 

 

п

 

где E единичная матрица размерности n n .

 

Но

тут возникает одна чисто

математическая трудность.

Очевидно, что

Cпi 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( i 1, n ). Очевидно, что вектор x

также должен удовлетворять этому же

 

 

 

 

0 ,

так как выпуск отрицательного объема

ограничению, то есть должно быть x

продукции отраслью невозможен. Необходимо, чтобы решение (4.5) удовлетворя-

ло бы этому условию.

Определение. Если для любого вектора Cp 0 вектор x E A 1 Cp также

удовлетворяет условию

 

0 , то говорят, что модель Леонтьева продуктивна

x

(матрица прямых затрат A продуктивна).

Условия продуктивности модели Леонтьева сформулируем следующим обра-

зом:

Модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда A 1 . Здесь A

максимальное положительное собственное число матрицы А.

Это утверждение и даёт необходимое и достаточное условие продуктивности

модели Леонтьева.

Изложенная выше модель Леонтьева неудовлетворительна в том смысле, что

она не учитывает ограничений, которые неизбежно имеют место в реальной жиз-

ни. Одним из таких ограничений являются ограничения на трудовые ресурсы.

Пусть Ri есть затраты трудовых ресурсов (измеряемые, например, в человеко-

часах) в i -й отрасли при производстве единицы продукции. Вектор

 

R (R , R ,

, R )T

мы будем называть вектором трудовых затрат. Тогда, если пла-

1 2

n

 

 

новый выпуск в

i -й отрасли равен xi , то суммарный объём трудовых затрат будет

равен

 

 

 

 

 

n

 

 

 

Ri xi RT x .

(4.6)

i 1

Вкачестве ограничения на все планы должно выполняться ограничение на трудо-

вые ресурсы вида

RT x L ,

(4.7)

31

где L имеющийся в нашем распоряжении объем трудовых ресурсов.

В этом случае, очевидно, нельзя требовать достижимости любого вектора по-

требления Cп . Пусть вектор потребления K задаёт не конечный спрос, а лишь его структуру. Тогда потребление равно zK .

Тогда естественно задачу планирования экономики записать в виде

 

z max,

 

 

x ,z

 

 

 

x Ax zK,

(4.8)

 

RT x L,

 

 

 

 

 

x 0, z 0,

 

которая является типовой задачей линейного программирования. Смысл первого ограничения очевиден на потребление должно остаться не меньше, чем требует-

ся структурой потребления, определяемой вектором zK . Второе ограничение учи-

тывает ограниченность трудовых ресурсов. Написанная выше задача и называется моделью Леонтьева при ограничениях на трудовые ресурсы и ее смысл, в частно-

сти, состоит а рациональном распределении трудовых ресурсов.

ЗАДАНИЕ

1. Выполнить планирование валового выпуска по отраслям. Значения матри-

цы B взаимопотребления по отраслям, вектор потребления C и вектор планируе-

мого потребления на будущий год Cп приведены в таблице. При планировании проверить матрицу прямых затрат на продуктивность.

2. Выполнить планирование валового выпуска по отраслям при ограничени-

ях на трудовые ресурсы. Значения матрицы B взаимопотребления по отраслям,

вектор стоимостей трудовых ресурсов по отраслям R , структурный вектор по-

требления K приведены в таблице. Объем трудовых ресурсов L =3000.

32

n/n Матрица взаимопо-

Вектор

Вектор пла-

Структурный

Вектор

стои-

требления

потребления

нируемого

вектор

мостей

трудо-

по отраслям

 

потребления

потребления

вых ресурсов

 

 

 

 

по отраслям

1

50

16

120

 

60

 

 

 

 

 

60

 

6

 

3

 

B 35

10

170

C 100

C

п

110

K 9

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

14

140

 

90

 

 

 

 

 

96

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

60

16

120

 

60

 

 

 

 

 

70

 

6,5

2

 

B 45

20

20

C 100

C

п

100

K

 

3

R 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

14

140

100

 

 

 

105

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

20

18

105

 

80

 

 

 

 

 

85

 

 

3

2

 

B 25

25

30

C 120

C

п

122

K 5

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

22

100

110

 

 

 

120

7

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

30

24

100

 

 

70

 

 

 

 

 

75

 

 

5,3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 45

12

40

C

96

 

C

п

100

K

 

4

R

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

28

112

120

 

 

 

125

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

30

24

110

 

80

 

 

 

 

 

88

 

7

1

 

B 55 12

50

C 90

C

п

 

92

K 8

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65

30

122

120

 

 

 

125

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

50

40

100

 

70

 

 

 

 

 

77

 

5,7

2

 

B 50 10

40

C 82

C

п

 

84

K 3, 2

R 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

30

110

120

 

 

 

120

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

30

35

110

65

 

 

 

60

6

 

3

 

B 50 15

55

C 55

C

п

57

K 8

R 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65

30

120

90

 

 

 

93

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

50

25

120

 

60

 

 

 

 

 

60

 

6, 2

2

 

B 25

10

150

C 110

C

п

103

K

 

4

R 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

12

140

55

 

 

 

 

 

65

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

60

16

120

 

60

 

 

 

 

 

70

 

6

 

3

 

B 45

20

20

C 100

C

п

 

95

K 5

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

14

140

100

 

 

 

106

7

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

30

23

150

 

80

 

 

 

 

 

85

 

9

 

5

 

B 26

22

40

C 110

C

п

120

K 8

R 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

20

100

120

 

 

 

110

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

5. Взаимодействие двух фирм на рынке одного товара

Случай, когда существует несколько производителей (продавцов), называется олигополией. Случай, когда имеются две фирмы, выпускающие однотипную про-

дукцию, называется дуополией.

Рассмотрим стратегию Курно взаимодействия двух фирм. Пусть xi – обозна-

чает количество выпускаемого товара i – ой фирмой, C0i – себестоимость произ-

водства одной единицы i-го товара. Произведенный обеими фирмами товар посту-

пает на общий рынок. Будем предполагать, что в соответствии с экономической теорией, цена на товар будет уменьшаться в зависимости от поступающего на ры-

нок общего количества товаров x = x1 + x2. Будем также предполагать, что цена то-

вара линейно зависит от x:

С(x) = a b x

(a >0, b>0).

(5.1)

Вычислим прибыль i -ой фирмы:

Wi (x1, x2 ) xi (a bx) C0i xi bxi [( ab x) Cb0i ] .

Окончательно получим:

Wi (x1, x2 ) bxi (di x),

(5.2)

где

 

 

 

 

 

d

 

 

(a C0i )

.

 

i

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

Стратегия управления Курно заключается в том, что обе фирмы знают объем

выпуска продукции каждой фирмы. Тогда каждая фирма можем максимизировать свою прибыль. Для этого необходимо решить два уравнения

dW1(x1, x2 )

0 ,

dW2 (x1, x2 )

0 .

 

 

 

dx1

dx2

Корни этих уравнений дадут нам оптимальный объем выпуска для каждой фирмы.

Выполнив соответствующие математические расчеты, получим:

x

d1 x2

,

x

d2 x1

.

(5.3)

1

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

34

Исследуем динамику процесса управления фирмами по Курно. Для этого до-

полнительно будем предполагать, что обе фирмы имеют одинаковую продолжи-

тельность цикла производства товара, кроме того, будем предполагать, что циклы производства товаров в обеих фирмах начинаются одновременно. Введем в рас-

смотрение дискретное время процесса t = 1,2, …, один такт которого соответствует одному полному циклу производства товара от начала до конца. Реально динамика стратегии Курно будет реализовываться не по уравнениям (5.3), а в соответствии со следующими уравнениями:

x1(t)

d1

x2 (t 1)

,

x1(0) x10 ,

(5.4)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 (t)

 

d

2

x1

(t 1)

,

x2 (0) x20 ,

(5.5)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x10 , x20 начальные значения выпусков товаров для фирм. Исследуем эти уравнения на устойчивость. Для этого преобразуем уравнения (5.4), (5.5) к виду

x1(t) 12 x2 (t 1) d21 ,

 

x (t)

1

x (t 1)

d2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

и представим их в векторно-матричной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(t) Az(t 1) d ,

 

 

 

 

(5.6)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

d1

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

2

,

z(t) 1

,

d

d22

 

.

 

2

0

 

 

x2

 

 

 

 

2

 

 

Вычислим собственные числа матрицы А, для этого определим корни уравнения: det A E 0 ,

где E единичная, переменная. В результате получим.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

det A E det

 

 

 

2

 

2

 

0 .

(5.7)

 

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Корни уравнения (5.7) 1 12 , 2 12 являются собственными числами матрицы A .

В силу того, что оба собственных числа по модулю меньше 1, динамика стратегии Курно всегда устойчива и сходится в состояния устойчивого равновесия. Найдем

35

точку Курно – значения x1 и x2 , соответствующие равновесному состоянию. Для этого необходимо решить систему уравнений (5.3). В результате получим:

 

 

xK

2d1 d2

,

xK

2d2 d1

.

(5.8)

 

 

 

 

 

 

1

3

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь xK

и xK

координаты точки Курно. Осуществим анализ экономических по-

1

2

 

 

 

 

 

 

 

казателей стратегии Курно в устойчивом состоянии. Для упрощения будем счи-

тать, что d1 d2 d . Тогда координаты точки Курно будут следующие:

 

 

xK

d

, xK

d

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим прибыль в точке Курно W K

и W K , в результате получим:

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

W K W K bxK (d (xK

xK ))

bd 2

.

 

1

2

i

 

1

2

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Суммарная прибыль для стратегии Курно равна

 

 

 

W K W K

W K

2bd 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И наконец, установившаяся цена на товар равна:

C K a 2bd3 .

Рассмотрим случай когда одна из фирм зная, что конкурент выбрал стратегию Курно, действует не по стратегии Курно, а используюя эту информацию выбирает себе другую стратегию. Такая стратегия называется стратегией Стакельберга. Для простоты будем считать, что d1 d2 d . Пусть первая фирма дает возможность узнать свой ход x1, тогда вторая фирма выбирает стратегию

x2 (d x1 ) . (5.9)

2

Но первая фирма будет действовать тайно по другому с учетом знания стратегии второй фирмы. Подставим в формулу для прибыли первой фирмы значение x2 ,

определяемое формулой (5.9), в результате получим:

W1 bx1(d (x1 x2 )) bx1(d (x1 d x1 )) bx1(d x1 ) . 2

Тогда решив уравнение:

dW1 0 , dx1

36

Найдем оптимальное значение x1 , соответствующее стратегии Стакельберга, в ре-

зультате получим:

x1S d2 .

Подставив это значение формулу (8) получим:

x2S d4 .

Общий выпуск товаров по стратегии Стакельберга равен:

xS x1S x2S 34d .

Вычислим прибыли фирм, в результате получим:

W S bxS (d (xS xS ))

bd 2

W K ,

 

1

1

1

2

8

1

 

 

 

 

 

W S bxS (d (xS xS ))

bd 2

W K .

 

2

2

1

2

16

2

 

 

 

 

 

Суммарная прибыль по Стакельбергу равна:

W S 316bd .

Установившаяся цена на товар равна

CS a b(x1S x2S ) a 3bd4 .

Как видно, цена на товар в случае Стратегии Стакельберга меньше, чем в стратегии Курно, т.е. стратегия Стакельберга для потребителя выгодней, чем стра-

тегия Курно. Итак, мы видим, что прибыль первой фирмы возрастает. Но здесь обе фирмы могут попасть в ловушку, если обе начнут действовать по стратегии Ста-

кельберга. Тогда их прибыль будет уменьшаться. Эта стратегия опасна для фирм.

Фирмы могут объединиться в монополию или образовать картель (это тайный сговор двух фирм с целью поддержания заданной цены). Рассмотрим его подроб-

ней в предположении, что d1 d2 d . В этом случае суммарная прибыль двух фирм равна:

W W1 W2 bx1(d x) bx2 (d x) bx(d x) .

Максимум прибыли достигается при выпуске:

37

xM d2 .

Равновесная цена будет следующей:

CM a b(x1M x2M ) a bd2 .

Для объединения фирм в форме картеля имеем:

x1C x2C d4 , W1C W2C bd8 2 .

Итак, из расчетов видно, для потребителя наиболее выгодна стратегия Ста-

кельберга и наименее выгодной является стратегия монополии или картеля.

ЗАДАНИЕ

1. Для заданных значений параметров a , b , C01 , C02 , x1(0) , x2 (0) получить графики динамики изменения объемов выпуска фирм, динамики изменения при-

былей фирм и динамики изменения цены для стратегии Курно. Построить фазо-

вый портрет, найти точку Курно, установившиеся значения прибылей фирм, объе-

мов выпуска и установившуюся цену. Исходные данные приведены в таблице 5.1.

 

 

 

 

 

 

Таблица 5.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

n/n

a

b

C01

C02

x1(0)

 

x1(0)

1

15

1,1

1,1

1,4

7,0

 

4,5

 

 

 

 

 

 

 

 

2

17

1,2

1,05

1,5

5,0

 

4,7

 

 

 

 

 

 

 

 

3

20

1,1

1,2

1,3

6,5

 

4,2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

19

1,3

1,2

1,1

5,6

 

5,5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

21

1,3

1,2

1,3

6,5

 

4,7

 

 

 

 

 

 

 

 

6

13

1,4

1,1

1,7

7,6

 

4,5

 

 

 

 

 

 

 

 

7

24

1,0

1,2

1,5

4,5

 

6,2

 

 

 

 

 

 

 

 

8

20

1,3

1,08

1,2

6,2

 

6,2

 

 

 

 

 

 

 

 

9

15

1,0

1,4

1,2

6,0

 

4,5

 

 

 

 

 

 

 

 

10

20

1,1

1,2

1,3

6,2

 

4,8

 

 

 

 

 

 

 

 

11

15

1,6

1,3

1,4

5,0

 

6,5

 

 

 

 

 

 

 

 

12

25

1,35

1,4

1,3

6,5

 

5,2

 

 

 

 

 

 

 

 

38

v1(k 1) (1 k21)v1(k) s1(k) ,
z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) , v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) ,
………………….
………………….
zn (k 1) (1 k1n )zn (k) sn (k) un (k) , vn (k 1) (1 k2n )vn (k) sn (k) ,
w(k) c1s1(k) c2s2 (k) ... cnsn (k) k31z1(k) k32z2 (k) ...
... k3n zn (k) c01u1(k) c02u2 (k) ... c0nun (k) ,

6. Динамические модели фирмы

Рассмотрим модель производства n видов товаров в условиях рынка. Вектор

состояния x(k) представлен компонентами:

 

 

 

 

z1 (k )

 

 

 

 

 

 

v (k )

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

z2

(k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(k )

v2

(k )

 

 

 

 

 

 

 

,

(6.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

(k )

 

 

 

 

 

v

n

(k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w(k )

 

 

где zi (k) количество товаров i -го вида на рынке; vi (k)

количество товаров i -го

 

 

 

прибыль.

 

 

вида у потребителя, i 1, n ; w(k)

 

 

Математическая модель динамики изменения количества товаров у потреби-

телей и на рынке, а также прибыли может быть записана в следующем виде: z1(k 1) (1 k11)z1(k) s1(k) u1(k) ,

w(k 1)

(6.2)

где ui (k) количество товаров, выпускаемых за один такт, i 1, n , k1i коэффици-

енты потерь; k2i коэффициенты потребления; k3i стоимость хранения единицы товаров; с0i себестоимости; si (k) количество проданных товаров i -го вида в один такт, i 1, n . Функции продаж определяются по формулам:

39

s (k) n exp( c )(1 v (k)Y 1)z (k) ,

(6.3)

i

i

i

i

i

i

 

ni коэффициенты продаж; сi

 

цены на товары,

 

 

 

потенциальный спрос

 

i 1, n ; Yi

для i -го вида товара (объем рынка для i -го вида товара).

Модель (6.2), (6.3) может быть представлена в следующем векторно-

матричном виде:

 

 

 

 

x(k 1) A (x(k)) Bu(k) ,

 

 

 

 

(6.4)

где вектор (x(k)) следующий:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 (k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1 (k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn (k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vn (k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x(k ))

 

 

w(k )

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v (k )z (k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

(k )z2 (k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

n

(k )z

n

(k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица динамики A для данного объекта имеет вид:

 

 

 

 

 

 

a11

0

0

 

0

 

0

 

 

0

 

 

a1,2n 2

0

 

0

 

 

 

a21

a22

0

 

0

 

0

 

 

0

 

 

a2,2n 2

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

a2n 1,2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

0

0

0

 

0

 

 

0

 

 

0

0

a2n 1,3n 1

 

 

0

0

0

a

2n,2n 1

a

2n,2n

0

 

 

0

0

a

2n,3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2n 1,1

0

a2n 1,3

a2n 1,2n 1

 

0

 

 

1 a2n 1,2n 2

a2n 1,2n 3

a2n 1,3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где элементы матрицы определяются по формулам:

a11 1 k11 n1 exp( c1 ),

a

n1 exp( c1 ) ,

1,2n 2

 

Y1

 

 

 

a21 n1 exp( c1 ),

a22 1 k21,

a2,2n 2 n1 exp( c1 ) ,

Y1

a2n 1,2n 1 1 k1n nn exp( cn ),

40