Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

эллиптический параболоид, вершина которого в точке (1,1). Этим и объясняется то, что в вершинах треугольника высота наибольшая, ведь они наиболее удалены от вершины параболоида.

Ответ. Наименьшее значение 0 в точке (1,1), наибольшее значение 2, достигается в трѐх точках: (0,0), (2,0) и (2,2).

Выпуклость графика и 2-я производная.

Задача 195. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции f (x) sin x .

Решение. f (x) cosx ,	f (x) sin x .
При (0 2k, 2k) :	f (x) 0 ,	f выпукла вверх.
При ( 2k,2 2k) :	f (x) 0,	f выпукла вверх.
Точки перегиба: x k .

Задача 196. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз

графика функции f (x)	x3
		.
	x 2 1

Решение. Сначала, очевидно, надо найти первую производную.


	x	3		3x	2	(x	2	1)		2x(x		3	)		x	4		3x	2
		3			2		2					3				4			2
			=											=						.
	2	1				(x			2	1)	2				(x		2	1)	2
x		1				(x				1)					(x			1)

Первая производная положительна, она может обратиться в 0 лишь при x 0. Так как она нигде не отрицательна (ведь все степени чѐтные) то интервал роста не сменяется интервалом убывания, а снова продолжается рост. Таким образом, мы установили, что экстремумов нет, функция монотонно возрастает.

171

Теперь найдѐм 2-ю производную.
x4			3x		2		(4x3	6x)(x2	1)2	2(x2 1)2x(x4 3x2 )
f (x)						=
f (x)		2				=				2		4
	(x	2		1)	2				(x	2	1)	4
	(x			1)					(x		1)

Сократим по крайней мере на одну степень выражения (x 2 1) .

(4x3 6x)(x2 1) 4x(x4 3x

2 )

4x5 10x3 6x 4x5 12x3

(x2

1)3

(x2

1)3

6x 2x

x(3

x 2 )

выделили

множитель, который

(x2 1)

(x 2

1)3

заведомо больше 0, а также там видим 2 множителя, которые могут менять знак. Когда они одного знака, оба плюс или минус, тогда вторая производная больше 0, а когда разного знака, тогда меньше 0.


1)	x 0 на (0, ) ,	x 0 на ( ,0) .
	3 x 2 0 x2 3 x			.
2)	3 x 2 0 x2 3 x		3, 3	.

Теперь сопоставим эти интервалы, вот на схеме жѐлтым показано, на каком интервале то или иное выражение положительно, а зелѐным - отрицательно:

f (x) 0 , если x ,

и x 0,

Итак,

На этих интервалах график выпуклый вниз.

f (x) 0 , если x

3,0 и x

3, .

На этих интервалах график выпуклый вверх.

Ответ. x ,

и x

выпуклый вниз,

3,0 и x

выпуклый вверх.

Точки перегиба

3,0,

3 .

172

Асимптоты.

Задача 197. Найти асимптоты графика функции f (x)	x3
		.
	x 2 1

Решение. Во-первых, знаменатель не обращается в 0, поэтому точек разрыва 2-го рода нет, и нет вертикальных асимптот. Горизонтальных

	x3
асимптот также нет, т.к. lim			, предел не константа С.

x x 2		1
Ищем наклонные асимптоты.

k lim

f (x)

lim

= lim

= 1.

x (x2 1)x

x x3 x

b lim f (x) kx =

x3 x

lim

= lim

x x

0 . Асимптота

y x . Чертѐж:

lim

x x 2

Ответ. Асимптота y x .

Д-63. Найти асимптоты функции f (x)	x2
		.
	(x 1)(x 3)	.
Решение. Во-первых, заметим, что
173

	x2	= lim	x 2
lim				= 1. То есть, здесь 2-сторонняя

x (x 1)(x 3)		x x 2	4x 3

горизонтальная асимптота y 1.

Кроме того, точки разрыва 2 рода x 1 и x 3, значит, есть две вертикальные асимптоты x 1 и x 3 .

Чтобы подробнее исследовать строение графика, можно найти все односторонние пределы в 1 и 3.

	x2	= ,		x2
lim			lim		= ,
	(x 1)(x 3)
x 1 0			x 1 0	(x 1)(x 3)
	x2			x2
lim		= ,	lim		= .
	(x 1)(x 3)
x 3 0			x 3 0	(x 1)(x 3)
Ответ. Вертикальные асимптоты x 1 и x 3.
Горизонтальная асимптота y 1.

Чертѐж:

174

Задача 198. Найти асимптоты графика функции	f (x)	2x 2	.

		x 1

Решение. Во-первых, при x 1 знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая x 1 это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты.

k lim

f (x)

lim

2x2

= lim

2x 2

= 2. Причѐм этот результат не

x (x 1)x

x x 2 x

зависит от того, предел при или

, ведь обе старшие степени

чѐтные. Нашли k 2 , т.е. есть наклонная асимптота типа

y 2x b .

теперь найдѐм b .

b lim f (x) kx =

2x2

2x(x 1)

lim

x 1

x x 1

2x 2

2x 2 2x

lim

2 . Итак,

b 2 и опять же,

x 1

x x 1

это независимо от или . Значит, прямая y 2x 2 это двусторонняя асимптота.

Ответ. Вертикальная x 1 и наклонная 2x 2 . График:


Задача 199. Найти асимптоты графика функции f (x)	x2 1 .
Решение. Область определения: ( , 1] [1, ) .	Здесь нет

знаменателя, который мог бы обращаться в 0, поэтому вертикальных

175

асимптот нет. Функция не ограниченная при x , поэтому и горизонтальных асимптот нет, так что ищем только наклонные. Функция чѐтная, поэтому можем искать только при x на правой полуплоскости, а на левой график симметричен, так что если y kx b будет асимптотой на правой полуплоскости, то

y kx b на левой. А вот двусторонняя асимптота здесь никак не

могла бы быть, ведь график симметричен относительно вертикальной оси, т.к. функция чѐтная.

k lim

f (x)

lim

x2 1

= lim

x 2

lim

= 1.

x x 2

lim

x =

f (x) kx =

x 2

x 2 1

b lim

x 2 1

lim

x 2 1 x

здесь умножили на сопряжѐнное, как в таких пределах делали раньше.

lim

x2 1 x2

lim

0 .

x2 1 x

Итак, k 1 , b 0 , на правой полуплоскости асимптота y x . Тогда из-за симметрии графика чѐтной функции на левой полуплоскости наклонная асимптота y x .

Ответ. Две односторонние асимптоты y x и y x . График (асимптоты показаны зелѐным цветом).

Задача 200. Найти асимптоты графика функции f (x) x2 1 x .

Решение. Функция не является чѐтной, поэтому здесь придѐтся прии искать пределы каждый отдельно.

176

f (x)

k lim

lim

1 0 1 2 .

x 2x =

x =

f (x) kx =

b lim

lim

x 2 1

lim

x 2 1

lim

2 1

x 2 1

= lim

x 2 1 x 2

lim

= 0.

x 2

1 x

x 2

1 x

x2 1 x

Итак,

k 2 ,

b 0 , на правой полуплоскости асимптота

y 2x .

На левой полуплоскости:

f (x)

k lim

lim

1 0 1 0 .

x =

f (x) 0x =

x 2 1

b lim

lim

x 2 1

lim

x 2 1 x

= lim

x2 1 x2

lim

но так как x

отрицательно то

x2 1 x

lim

. Итак, на левой полуплоскости k 0 ,

b 0 .

y 0 .

Здесь не наклонная, а горизонтальная асимптота,

Ответ. На правой полуплоскости наклонная асимптота y 2x ,

на левой горизонтальная асимптота

y 0 .

Вот график этой функции:

177

Задача Д-64. (На повторение формулы полной производной).

Дано: F (x, y, z) x2 yz . Точка движется по прямой:

x 1 t, y 3t, z 2 4t . Вычислить	dF	с помощью формулы
	dt

полной производной и без еѐ использования.

Решение.

1 способ. Сведѐм к функции от t и вычислим для неѐ обычную производную.

F (x(t), y(t), z(t)) x 2 yz = (1 t)2 3t(2 4t) = t 2 2t 1 12t 2 6t =

				dF
13t 2		8t 1,				= 13t 2 8t 1 = 26t 8.
13t 2		8t 1,		dt		= 13t 2 8t 1 = 26t 8.
				dt
2 способ. По формуле полной производной:
	dF		F x (t)		F y (t)		F z (t) = 2x x (t) z y (t) y z (t) =
			F x (t)		F y (t)		F z (t) = 2x x (t) z y (t) y z (t) =
	dt		x		y		z

= 2x 1 z 3 y 4 а теперь уже в этом выражении выразим x, y, z

через t :	2x 3z 4 y =	2(1 t) 3(2 4t) 4(3t) =
2 2t 6 12t 12t = 26t 8.
Ответ.	26t 8.

178

Литература.

1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова.

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. http://edu.tusur.ru/publications/2244

2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие. http://edu.tusur.ru/publications/2246

Все учебные пособия кафедры математики можно найти на сайте кафедры по ссылке: http://math.tusur.ru/book.html

179

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб12Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб4Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб3Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб2Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб2Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб2Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб2Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб4Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб3Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб39Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf