Статистика.-3
.pdf
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
Заметим, что в данном случае = 15 + 71 + 75 + 68 + 39 + 17 + 10 + 5 = 300. |
||||||||
Число интервалов = 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число параметров распределения Пуассона = 1. |
|
|||||||
Число степеней свободы = − − 1 = 8 − 1 − 1 = 6. |
|
|||||||
Рассчитаем статистику: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
− )2 |
= 7,33870408 |
|||
|
= ∑ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Определим пороговое значение с помощью стандартной функции EXCEL ХИ2ОБР: |
||||||||
2 |
= 2 |
|
= ХИ ОБР(0,05;6) =12,5915872. |
|||||
; |
0,05;6 |
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая фактическое значение статистики с пороговым значение, делаем вывод о том, |
||||||||
что исходные данные не противоречат основной гипотезе, т.е. число вызовов подчиняется |
||||||||
закону Пуассона – закону редких событий [3]! |
|
|
||||||
Для иллюстрации приведем еще графическое изображение плотности вероятности |
||||||||
Пуассона в сравнении с полигоном. |
|
|
|
|
|
|
||
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полигон |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределение |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
4 |
|
|
6 |
8 |
22
Лабораторная работа №5
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ СОВОКУПНОСТЕЙ
Цель работы. Научиться корректно формулировать основную и конкурирующую гипотезы для решения практической задачи, делать на основании решения корректный качественный вывод, содержащий рекомендации.
Компания рассматривает в качестве вариантов вложения два вида ценных бумаг,
имеющих следующую среднюю доходность в течение десяти месяцев в зависимости от количества купленных акций.
Акция |
|
А |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
Месяц |
доход, |
количество, |
доход, |
количество, |
|
% |
тыс. шт. |
% |
тыс. шт. |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
5,4 |
2 |
6,4 |
7 |
|
2 |
5,3 |
3 |
5,1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4,9 |
2 |
5,3 |
2 |
|
4 |
4,7 |
3 |
5,4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
7 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5,1 |
5 |
4,5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5,6 |
3 |
5,7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6 |
4 |
6 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
6,5 |
3 |
5,5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5,5 |
3 |
5,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Сравнить риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня, для акций данного типа на уровне значимости 0,05 . Дать рекомендации для приоритетного вложения средств.
Задание на лабораторную работу. Сформулировать и проверить основную и конкурирующую гипотезы для решения задачи, представленной примером.
Методические рекомендации для выполнения задания.
Основная гипотеза H 0 : 12 22 .
Конкурирующая гипотеза (односторонняя) H1 : 12 22 .
Для проверки гипотезы имеются две выборки : объемами n1 и n2
Задача проверки основной гипотезы сводится к сравнению исправленных выборочных
ˆ 2 |
|
2 |
ˆ 2 |
|
|
1 |
|
m1 |
2 |
|
ˆ 2 |
|
|
|
1 |
|
m2 |
2 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
xi |
x ni |
; |
|
|
|
|
yi |
y ni . |
||||||
дисперсий s1 |
и s |
: s1 |
1 |
s2 |
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
i 1 |
|
|
|
|
n |
2 |
i 1 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
ˆs 2 |
|
|
|
|
||
Сформируем статистику: F |
1 |
|
. Эта статистика имеет распределение Фишера-Снедекора |
||||
ˆs 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
с k1 n1 1и k2 n2 1 степенями свободы. |
|
|
|
||||
Основная гипотеза H 0 отвергается (принимается H1 ), если F F ;k ;k |
|
, либо F F1 ;k ;k |
. |
||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
В противном случае гипотеза H 0 |
не отвергается – принимается. |
|
|
|
|||
Пороговое значение статистики определить с помощью стандартной функции FРАСПОБР
(F.ОБР.ПХ. в последних версиях EXCEL) c параметрами , 1 и 2.
Примечание. Обратите внимание, что для определенности индекс «1» у объемов,
дисперсий и степеней свободы соответствует большей дисперсии.
Решение.
Определим для исходной таблицы величины, необходимые для расчета статистики.
|
|
1 = 30; |
2 = 35, |
|
= 5,54, |
|
= 5,37; |
|||
|
|
1 |
2 |
|||||||
|
|
|
̂ |
|
|
̂ |
||||
|
|
|
2 |
= 0,43; |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 = 0,25; |
||||||
1 = 1 − 1 = 30 − 1 = 29; |
2 = 2 − 1 = 35 − 1 = 34. |
|||||||||
Статистика: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
0,43 = 0,0798. |
|||||
|
|
= 1⁄ = |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,25 |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Пороговое значение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 2 |
= |
|
= РАСПОБР(0,05;29; 34) = 1,80. |
||||||
; 1 |
0,05;29,34 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая фактическое значение с пороговым, делаем вывод о том, что исходные данные не противоречат основной гипотезе. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемые виды ценных бумаг имеют практически одинаковые риски, связанные с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня. Но так как у акций А немного выше средняя доходность за десять месяцев, то вкладывать средства целесообразно именно в данные ценные бумаги.
Лабораторная работа №6
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ ОБ ОДНОРОДНОСТИ ВЫБОРОК
Цель работы: научиться выдвигать и проверять предположение об однородности двух выборок.
Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.
Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из двух генеральных совокупностей с неизвестными функциями распределения 1( ) и 2( ). Необходимо
|
|
|
|
24 |
|
проверить нулевую гипотезу 0: 1( ) = 2( ) |
против альтернативной гипотезы 1: |
||||
1( ) ≠ 2( ). Будем предполагать, что 1( ) и 2( ) непрерывны. |
|||||
|
Критерий Колмогорова-Смирнова |
||||
Определим в качестве статистики критерия меру расхождения между двумя |
|||||
эмпирическими функциями распределения: |
|
||||
|
|
|
|
||
|
′ = √ |
1 2 |
∙ | 1эмп( ) − 2эмп( )| |
||
|
1 + 2 |
||||
|
|
|
|
||
Здесь эмп( ) |
и эмп( ) эмпирические функции распределения, построенные по |
||||
1 |
2 |
|
|
|
|
имеющимся выборкам объемами 1 |
и 2. |
|
|||
Гипотеза |
отвергается, |
если фактическое значение статистики ′ больше |
|||
0 |
|
|
|
|
|
порогового ′кр, и принимается в противном случае. Для больших объемов выборок статистика ′ имеет распределение Колмогорова, поэтому критическое значение определяется по таблице Колмогорова. Выдержка из этой таблицы приведены ниже.
Уровень значимости, |
0,40 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Критическое значение, ′кр |
0,89 |
0,97 |
1,07 |
1,22 |
1,36 |
1,48 |
1,63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема применения данного критерия заключается в следующем.
5.По выборкам построить эмпирические функции распределения (накопленные частости).
6.Определить меру расхождения с помощью статистики ′.
7.Для выбранного уровня значимости найти критическое значение ′кр.
8.Принять решение об однородности выборок, сравнив фактическое и пороговое значения статистики.
25
Задание на лабораторную работу.
Имеются две выборки значений показателя качества однотипной продукции,
изготовленной двумя фирмами.
Показатель |
|
14 |
17 |
20 |
23 |
|
26 |
29 |
32 |
35 |
|
38 |
|
41 |
|||
качества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота |
|
2 |
4 |
10 |
15 |
|
20 |
27 |
18 |
16 |
|
8 |
|
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Показатель |
16 |
|
20 |
|
24 |
|
28 |
32 |
|
36 |
|
40 |
|
44 |
|||
качества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частота |
3 |
|
9 |
|
12 |
|
17 |
16 |
|
13 |
|
7 |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что рассматриваемый показатель качества продукции двух фирм описывается одной и той же функцией распределения. Дать качественную интерпретацию полученного результата.
Замечания.
1.Для выполнения работы сначала привести обе выборки к одному и тому же набору интервалов, пересчитав границы и частоты. Предварительно определить по формуле Стерджеса минимальное число интервалов и шаг.
2.Найти для каждой выборки накопленные частости и изобразить их на диаграмме в виде кумулят (эмпирических функций распределения).
3.Вычислить для каждого интервала | 1эмп( ) − 2эмп( )| и определить максимальное значение. Убедиться, что результат соответствует графику.
4.Применить критерий Колмогорова-Смирнова.
Решение.
Количество интервалов по формуле Стерджеса:
= 1 + 3,322 ∙ lg( 1 + 2) = 1 + 3,322 ∙ lg 205 ≈ 9
Шаг (глубина интервала):
= − = 44 − 14 = 3,33
9
Результат выполнения пп.1 и 2 приведен в следующих таблицах.
26
|
Показатель |
|
|
|
|
|
Первая выборка |
|
|
|
|
|
|
|
Вторая выборка |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
качества |
|
|
Частота |
|
|
Накопленная |
|
Накопленная |
|
|
Частота |
|
|
Накопленная |
|
|
Накопленная |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
частота |
|
|
|
частость |
|
|
|
|
частота |
|
|
частость |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
12,33 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
15,67 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
0,016 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
19,00 |
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
0,048 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
0,0375 |
|
|
|
22,33 |
|
|
10 |
|
|
16 |
|
|
|
0,128 |
|
|
|
9 |
|
|
12 |
|
|
0,15 |
|
|
|
25,67 |
|
|
15 |
|
|
31 |
|
|
|
0,248 |
|
|
|
12 |
|
|
24 |
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29,00 |
|
|
47 |
|
|
78 |
|
|
|
0,624 |
|
|
|
17 |
|
|
41 |
|
|
0,5125 |
|
|
|
32,33 |
|
|
18 |
|
|
96 |
|
|
|
0,768 |
|
|
|
16 |
|
|
57 |
|
|
0,7125 |
|
|
|
35,67 |
|
|
16 |
|
|
112 |
|
|
|
0,896 |
|
|
|
0 |
|
|
57 |
|
|
0,7125 |
|
|
|
39,00 |
|
|
8 |
|
|
120 |
|
|
|
0,96 |
|
|
|
20 |
|
|
77 |
|
|
0,9625 |
|
|
|
42,33 |
|
|
5 |
|
|
125 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
77 |
|
|
0,9625 |
|
|
|
45,67 |
|
|
0 |
|
|
125 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
80 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Показатель |
|
Модуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
качества |
|
разности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
12,33 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
15,67 |
|
0,016 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
19,00 |
|
0,0105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
22,33 |
|
0,022 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25,67 |
|
0,052 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
29,00 |
|
0,1115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32,33 |
|
0,0555 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
35,67 |
|
0,1835 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
39,00 |
|
0,0025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
42,33 |
|
0,0375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
45,67 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Максимальное значение модуля разности:
| 1эмп( ) − 2эмп( )| = 0,1835
На следующем рисунке приведена иллюстрация табличных данных.
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,96 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,896 |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,768 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7125 |
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
0,624 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5125 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,048 |
|
|
0,3 |
|
Выборка 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0,248 |
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
0,016 |
|
|
|
|
Выборка 2 |
|
||
|
|
|
|
|
0,128 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0,0375 |
|
|
|
|
|
0,00 |
5,00 |
10,00 |
15,00 |
20,00 |
25,00 |
30,00 |
35,00 |
40,00 |
45,00 |
|
Фактическое значение статистики: |
|
|
|
|
|
|
||||
′ = √ |
1 2 |
∙ | 1эмп( ) − 2эмп( )| ≈ 1,28 |
|
1 + 2 |
|||
|
|
Пороговое значение для уровня значимости 0,05 (см. таблицу) составляет 1,36.
Сравнивая фактическое и пороговое значения, делаем вывод о том, что имеющиеся данные не противоречат основной гипотезе. Таким образом, качество продукции рассматриваемых фирм-изготовителей не имеет существенных различий.
28
Литература
1.Статистика: Курс лекций / Гендрина И. Ю., Сидоренко М. Г. - 2017. 124 с.: Научно-
образовательный портал ТУСУР, https://edu.tusur.ru/publications/6843 .
2.Статистика. Методические указания к практическим и самостоятельным работам. / Гендрина И. Ю., Сидоренко М. Г. - 2018. 85 с.: Научно-образовательный портал ТУСУР, https://edu.tusur.ru/publications/7611 .
3.Кремер, Наум Шевелевич. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов/Н. Ш. Кремер.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2007. – 573 с.