Математические модели в экономике.-1

2. Производственные функции

Рассмотрим основные понятия и теоремы для производственных функций,

которые используются в качестве моделей макроэкономики и моделей микроэко-

номики (например, в качестве модели фирмы).

Пусть: Y 0 валовой продукт, K 0 основные фонды, L 0 трудовые ре-

сурсы. Тогда функция F(K,L) 0, определяющая зависимость валового продукта от основных фондов и трудовых ресурсов, т.е.

то ПФ F(K,L) называется однородной ПФ со степенью однородности . Если

11

F(K,L) AK L

называется ПФ Кобба Дугласа.

Теорема 2.2. Пусть Fi(K,L), i 1,N,являются однородной ПФ со степенями однородности i , тогда ПФ

т.е. y это количество валового продукта, приходящегося на единицу трудовых

12

сурсов.

Предельной производительностью труда или нормой прибыли с трудовых ре-

сурсов называется величина

т.е. это прирост валового продукта, приходящийся на единицу прироста тру-

довых ресурсов.

Предельной фондоотдачей или нормой прибыли с основных фондов называ-

т.е. r это прирост валового продукта, приходящийся на единицу основных фон-

дов.

Пусть при заданном K прирост трудовых ресурсов, равный L, вызывает прирост валового продукта, равный F . Тогда, согласно (2.4), F / L. Пусть при заданном L прирост основных фондов, равный K , вызывает прирост вало-

вого продукта, равный F . Тогда, согласно (2.11), r F / K . Таким образом,

экономический смысл параметров и r очевиден.

Очевидно, что

являются соответственно доходами, полученными с основных фондов и трудовых ресурсов. Тогда для линейно-однородной ПФ, согласно (2.11), (2.12), следует, что

F(K,L) YK YL .

Таким образом, теорема Эйлера для линейно-однородная ПФ дает представ-

ление валового продукта в виде суммы YK и YL .

Коэффициентом эластичности по фондам называется величина

13

т.е. это процентный прирост валового продукта, приходящийся на один про-

цент прироста основных фондов.

Коэффициентом эластичности по трудовым ресурсам называется величина

т.е. это процентный прирост валового продукта, приходящийся на один про-

цент прироста трудовых ресурсов.

Справедливость следующих двух формул очевидна

r / z, / y. (2.15)

Теорема 2.3. Пусть F(K,L)являются линейно-однородная ПФ со степенью однородности , тогда имеет место свойство

.

Пусть F(K,L) однородная ПФ со степенью однородности . Тогда соотно-

шению F( K, L) F(K,L) эквивалентно соотношение y L 1 f (k),

где y Y / L, k K / L соответственно средняя производительность труда и фон-

довооруженность труда, а f (k) 0 для k 0 имеет вид f (k) F(k,1).

Очевидно, что неоклассические условия для f (k) имеют вид (здесь и далее штри-

хи, как правые верхние индексы, означают производные соответствующего поряд-

ка по k )

10) f (k) 0; 20) f (k) 0;

30) lim f (k) ;

k 0

40) lim f (k) 0.

k

Теорема 2.4. Если F(K,L) однородная ПФ со степенью однородности , то

F(K,L) и f (k)связаны соотношениями

14

F(K,L) L f (k).

Теорема 2.5. Экономико математические параметры z, , r, , для одно-

родной ПФ определяются формулами

z(1/k)L 1 f (k),

L 1[ f (k) kf (k)],

rL 1 f (k),

k[ f (k)/ f (k)],

k[f (k)/ f (k)].

Если F(K,L) линейно-однородная ПФ, то r является убывающей, а воз-

растающей функцией фондовооруженности k .

Если хотя бы один из коэффициентов эластичности либо не зависит от

фондовооруженности k , то линейно-однородная ПФ является ПФ Кобба Дугласа.

Рссмотрим параметры эластичности замены факторов.

Пусть фактор K получил приращение K . Ставится вопрос: на какую вели-

чину L должен уменьшиться фактор L, чтобы величина валового продукта не изменилась. Справедлив и обратный вопрос. Таким образом, основное соотноше-

ние для решения поставленного вопроса замены одного фактора производства другим имеет вид

Произведение предельных норм замены равно единице, т.е.

15

SKSL 1.

Если ПФ является однородной со степенью однородности , то имеют место формулы

Для однородной ПФ со степенью однородности имеет место свойство

K L , которая определяется формулой

Теорема 2.6. Для того, чтобы норма замены SK либо SL линейно-однородной ПФ не зависела от фондовооруженности k , необходимо и достаточно, чтобы она была линейной, т.е.

16

то ПФ F(x1,x2,...,xn) называется однородной ПФ со степенью однородности . Ес-

ли 1, то однородная ПФ называется линейно однородной ПФ.

Теорема 2.7. (Теорема Эйлера). Если F(x1,x2,...,xn) является однородной ПФ

со степенью однородности , то имеет место свойство

называется ПФ Кобба Дугласа.

Средней производительностью фактора xi называется величина

17

Предельной производительностью фактора xi или нормой прибыли с фактора xi называется величина

i F(x1,x2,...,xn) ,

xi

т.е. i это прирост валового продукта, приходящийся на единицу прироста фак-

тора xi.

Очевидно, что

Yi F(x1,x2,...,xn) xi

xi

является доходом, полученным за счет фактора xi. Тогда для линейно-однородная ПФ, справедливо равенство

n

F(x1,x2,...,xn) Yi ,

i 1

т.е. для линейно-однородной ПФ теорема Эйлера дает представление валового продукта в виде суммы Yi .

Коэффициентом эластичности по фактору xi называется величина

т.е. i это процентный прирост валового продукта, приходящийся на один про-

цент прироста фактора xi.

Теорема 2.8. Пусть F(x1,x2,...,xn) является однородной ПФ со степенью одно-

родности . Тогда имеет место свойство

n

i .

i1

Теорема 2.9. Пусть

Тогда

F(x1,x2,...,xn) xi fi(),

18

Предельной нормой замены Si, j фактора xj фактором xi называется величи-

на

Si, j dxi , dxj

определяемая формулой

Предельная норма замены имеет представление

fi()/ kj,i

Si, j fi() km,i fi() . m i km,i

Произведение предельных норм замены Si, j и Sj,i равно единице, т.е.

Si, jSj,i 1.

ЗАДАНИЕ

1. Пусть F(K,L) является производственной функцией Кобба-Дугласа, т.е.

A > 0 , > 0, > 0, + = 1.

-Проверить, что ПФ вида (1) является неоклассической.

-Показать, что ПФ вида (1) является линейно-однородной ПФ, т.е. = 1.

2.Пусть F(K,L) является однородной ПФ. Доказать свойство

19

5.Пусть F(K,L) является ПФ Кобба-Дугласа.

-Показать, что параметры и в представлении функции являются соответ-

ственно коэффициентами эластичности по фондам и трудовым ресурсам. Най-

ти z, v, r.

- Показать, что

- Найти экономико–математические параметры на основе представления f(k) =

A k и показать, что полученные формулы совпадают с найденными выраже-

ниями на основе F(K,L) = L .

6. Пусть F(K,L) является однородной ПФ. Показать, что

8. Доказать, что для того, чтобы норма замены SK или SL линейно-однородная

ПФ не зависела от k, необходимо и достаточно, чтобы она была линейной, т.е.

20