Тестирование и диагностика в инфокоммуникационных системах и сетях

551

Из анализа графиков, представленных на рис. 2.3, следует, что закон распределения

некоторый заданный интервал tг , tг .

Для поиска подобной вероятности достаточно подставить соотношение (2.14) в формулу,

аналогичную (2.7), но в которой переменная заменена на относительную tx , а пределы интеграла г1 и г2 - на равные относительные tг г .

Параметр tг называют в математике коэффициентом Стьюдента и для него принято

специальное обозначение. При расчетах случайных погрешностей измерений задают некоторую доверительную вероятность Pд P и число проводимых наблюдений n . Поэтому этот коэффициент обозначают через t Pд , n . Значения коэффициента Стьюдента приведены в таблице 2.2.

При использовании на практике коэффициентов Стьюдента задаются доверительной вероятностью Pд 0,9 .

Равномерный закон распределения имеет погрешности квантования в цифровых приборах, округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, определения момента времени для концов временного интервала при измерении частоты и периода методом дискретного счета. Сумма этих погрешностей образует трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон. При этом распределении все значения случайных погрешностей результата измерений расположены в интервале m , m , где m

- максимальная погрешность (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 – Равномерный закон распределения

553

Математически плотность вероятности равномерного закона распределения случайных погрешностей описывается формулой:

Вероятность того, что случайная погрешность измерений находится в симметричном интервале г , г , определяют с помощью формулы (2.7):

На графике плотности вероятности (см. рис.2.4) площадь заштрихованного прямоугольника с основанием 2 г и высотой 1 2m равна вероятности (2.16).

Треугольный закон распределения (закон Симпсона) характерен для случайных погрешностей цифровых измерительных приборов, в которых измеряемая величина преобразуется в пропорциональный интервал времени Tсч называемый временем счета.

Измерение этого интервала выполняется с помощью счетных импульсов стабильного генератора, имеющих заданный период следования T0 . В связи со случайным положением счетных импульсов относительно интервала Tсч , а также случайным соотношением между периодом T0 и временем счета Tсч треугольный закон представляет собой композицию

(соединение) двух равномерных законов с равными максимальными погрешностями m .

График треугольного закона распределения случайных погрешностей приведен на рис.2.5.

Рисунок 2.5 – Треугольный закон распределения

555

3 Обработка результатов измерений

3.1 Прямые измерения с многократными наблюдениями и обработка их результатов

Многократные наблюдения проводят при наличии значительных случайных погрешностей. Задача обработки результата измерений состоит в том, чтобы по результатам наблюдений определить наилучшую оценку измеряемой физической величины xи и

интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Эту задачу решают статистической обработкой результатов наблюдений, основанной на гипотезе о нормальном распределении случайных погрешностей. Приведенная ниже методика обработки результатов измерений дана для прямых измерений с многократными независимыми и равноточными наблюдениями.

3.1.1 Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений

Точность результата многократных наблюдений тем выше, чем меньше систематическая

погрешность. Поэтому ее важно исключить, для чего:

•устраняют источники систематических погрешностей до измерений;

•определяют поправки и вносят их в результат измерения;

•оценивают границы неисключенных систематических погрешностей (границы НСП измерения — значение суммы всех отдельных составляющих НСП измерения).

Оценка результата измерения и его СКО.

Для удобства анализа результатов и погрешностей измерений предположим, что при

наблюдения находят с некоторой абсолютной случайной погрешностью i i xi x .

Оценку СКО ряда наблюдений определяют по формуле (3.1):

Затем вычисляют оценку СКО результата измерения cp S A , которая характеризует степень разброса значений x A по отношению к истинному значению xи для различных n :

556

Рассмотрим случай измерений с многократными наблюдениями, когда результат i-го наблюдения содержит и случайную и постоянную систематическую погрешности:

3.1.2 Обнаружение и исключение грубых погрешностей

При статистической обработке результатов многократных наблюдений иногда выясняется, что некоторые результаты аномальны, т.е. отличаются от остальных и значительно превышают ожидаемую погрешность. Аномальные результаты могут быть проявлением случайного характера погрешностей или особенностей измеряемой величины.

Эти результаты следует сохранить для последующей обработки. Однако появление аномальных результатов может быть и обусловлено факторами, не отражающими сущность эксперимента, и необходимо проверить, не являются ли они грубыми погрешностями,

подлежащими исключению.

Решение данной задачи выполняют общими методами проверки статистических гипотез в предположении нормального распределения результатов наблюдений. Проверка гипотезы состоит в утверждении, что результат i-го наблюдения xi , не содержит грубой погрешности,

а значит, является найденным значением измеряемой величины. Используя определенные,

статистические критерии, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если эти удается,

то результат наблюдения рассматривают как грубую погрешность и его исключают.

Разработка и анализ методов исключения грубых погрешностей имеют большое практическое значение, поскольку при использовании сложной измерительной аппаратуры доля аномальных результатов может достигать 10...15% общего числа измерений.

Задачу исключения аномальных результатов однозначно решить в общем виде невозможно, поскольку для принятия такого решения необходим тщательный анализ конкретных целей эксперимента, особенностей измерительной аппаратуры и характера поведения измеряемой величины. Особую осторожность следует проявлять тогда, когда ис-

следуются процессы с мало изученными характеристиками.

557

В ряде случаев основанием для исключения аномальных результатов могут служить эвристические предпосылки, связанные, например, с воспоминаниями оператора о нарушениях условий эксперимента. Если же проведение эксперимента и обработку его результатов осуществляют с помощью компьютеров, то необходимы формальные признаки исключения грубых погрешностей.

Наиболее распространенным методом исключения результатов, содержащих грубые погрешности, является, метод цензурирования результатов измерений - исключение результатов, погрешности которых превышают установленные границы цензурирования xц

.

Критерий оценки нормальности закона распределения при известном СКО.

При исключении грубых погрешностей из результатов наблюдений по этому критерию

проводят следующие операции.

1.Результаты группы; из n наблюдений (объем выборки) упорядочивают по возрастанию x1 x2 ... xn . По (2.12) и (3.2) вычисляют оценки среднего арифметического значения x и

СКО наблюдений этой выборки. Для предполагаемых промахов, например, результаты x1

и xn проводят расчет коэффициентов:

2.Задаются уровнем значимости критерия ошибки q . Очевидно, что этот уровень должен быть достаточно малым, чтобы вероятность ошибки была невелика. Из таблицы 3.1 по

3.Сравнивают коэффициенты, определяемые по формулам (3.4) и (3.5). Если

Чаше всего критерий применяют для результатов измерений, распределенных по нормальному закону, и одним из граничных параметров при этом служит оценка СКО измерений.

интервала. Доверительную вероятность запишем как

P A г A A г Pд .

Границы доверительного интервала принято указывать симметричными относительно результата измерения. При технических измерениях доверительную вероятность устанавливают Pд 0,95 .

При нормальном законе распределения поиск доверительной границы г , выполняется с

560

При одной и той же доверительной вероятности с уменьшением числа наблюдений доверительный интервал увеличивается, т. е. точность измерений ухудшается.

3.1.4 Границы неисключенных систематических погрешностей результата

измерения

Неисключенные систематические погрешности принято рассматривать как случайные с равномерным симметричным законом распределения плотности вероятности и определять

Границы погрешности результата измерения.

Обычно на погрешность результата измерения с многократными наблюдениями влияют случайные погрешности и НСП. Тогда границы погрешности результата измерения

оцениваются так.

1. Если значение общей границы погрешности 0,8S A , то НСП пренебрегают,

считая их несущественными по сравнению со случайными погрешностями, и полагают, что граница погрешности результата измерения г t Pд , n S A .

2.При значении 8S A пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с НСП

иполагают, что граница погрешности результата измерения .

3. Если 0,8S A 8S A , границу погрешности результата измерения вычисляют

путем композиции распределений случайных погрешностей и НСП, рассматриваемых как случайные величины: