Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Переписывая последнюю формулу в виде

x-0'(t0) = y -0 (t0);

'(t0) (t0)

получим каноническое уравнение касатель-

ной к плоской кривой. В последней форме записи уравнение годится и для случая, ко-

ляющим вектором касательной к плоской кривой и называется касательным вектором плоской кривой в точке M0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из уравнения (5.7) получаем уравнение

вектором нормали к плоской кривой и называется нормальным вектором плоской кривой в точке M0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 101. Напишите уравнения касательных и нормалей к кривой

x= 2 cos t - cos 2t; y = 2 sin t - sin 2t

вточках:

1) t = 2; 2) t = :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Находим производные

xt0(t) = -2 sin t + 2 sin 2t; yt0(t) = 2 cos t - 2 cos 2t:

1). Вычисляем

x(2) = 1; y(2) = 2; xt0(2) = -2; yt0(2) = 2:

Записываем каноническое уравнение касательной к кривой в точке M1(1; 2):

x - 1 = y - 2 -2 2

или

y = -x + 3:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Записываем уравнение нормали к кривой в точке M1(1; 2):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2). Вычисляем

x( ) = -3; y( ) = 0; xt0( ) = 0; yt0( ) = -4:

Записываем каноническое уравнение касательной к кривой в точке M2(-3; 0):

т.е. кривая в точке M2 имеет вертикальную касательную (см. рис. 5.8). Записываем уравнение нормали к кривой в точке M2(-3; 0):

x + 3 = y - 0 или y = 0: -4 0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.4.6.Касательная к пространственной кривой.

имно обратны и непрерывны на множествах

Пусть функции ' : T ! A; '-1 : A ! T вза- и ,

T A соответственно, и функции : T

!

B; -1 : B ! T взаимно обратны и непрерывны на множествах T и B, соответственно.

Пусть, далее, функции : T ! C; -1 : C ! T взаимно обратны и непрерывны на множествах T и C, соответственно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда образ L := (T) множества T при отображении

t ! ('(t); (t); (t)) 2 R3

является пространственной кривой L. Фиксируем произвольное t0 2 T и последовательность (tn; n 2 N); сходящуюся к t0. Тогда последовательность точек

Mn ('(tn); (tn); (tn)) 2 L сходится к точке M0 ('(t0); (t0); (t0)) 2 L.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Канонические уравнения секущей M0Mn, как уравнения пространственной прямой, проходящей через две точки, имеют следующий вид:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit