Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Решение.

Фиксируем произвольное x 2 R: Обозначим через y := arcctg x 2 (0; ) : Тогда

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.4.5.Параметрически заданные функции и их

дифференцирование.

Пусть функции ' : T ! A; '-1 : A ! T взаимно обратны и непрерывны на множествах T и A, соответственно. Пусть, далее,

: T ! R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда функцию f : A ! R можно задать с

помощью соотношений

x = '(t);

y = (t); t 2 T;

следующим образом:

8x 2 A : x !f '-1(x)

или

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

В этом случае говорят, что функция f : A !

R задана параметрически и пишут

f :

x = '(t);

y = (t); t 2 T:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, параметрически заданная функция

f : A ! R дифференцируема в каждой точке x 2 A и производная параметрически задан-

ной функции

f :

x = '(t);

y = (t); t 2 T;

есть параметрически заданная функция

x = '(t);

f0 : y0 = '00((tt)); t 2 T:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Параметрически заданная функция f0 : A ! R определяется соотношением

8x 2 A : x !f0 t0 '-1(x) : 't0 ('-1(x))

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.4.5.1.Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть функции

' : T ! A; '-1 : A ! T

взаимно обратны и непрерывны на множествах T и A, соответственно.

Пусть, далее, функции

: T ! B; -1 : B ! T

взаимно обратны и непрерывны на множествах T и B, соответственно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда образ L := (T) множества T при отображении

t ! ('(t); (t)) 2 R2

является плоской кривой L и графиком па-

раметрически заданной функции

f :

x = '(t);

y = (t); t 2 T:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольное t0 2 T.

Точка M0 ('(t0); (t0)) принадлежит графику функции f. Если функции ' и дифференцируемы в точке t0 2 T и '0(t0) 6= 0, то в точке M0 2 graff можно провести касательную, уравнение которой задаётся формулой (5.6), то есть (см. раздел 5.4.5)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit