Замечание. Из непрерывности функции в точке не следует существование производной функции в этой точке.
Функция f(x) = jxj непрерывна в точке x0 = 0; но не является дифференцируемой в этой точке (см. рис. 5.7).
Рис. 5.7 График функции f(x) = jxj
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Отметим, что график функции f : [a; b] ! R дифференцируемой на сегменте [a; b] есть непрерывная гладкая кривая в пространстве R2, соединяющая две точки (a; f(a)) и (b; f(b)).
ФУНКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ НА СЕГМЕНТЕ 
Последовательность Ваших действий:
"derivative" или "continuity and derivative"
"click for a problem"
подберите "b" или "a" и "b" так чтобы функция f была дифференцируемой всюду.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
5.4. Основные правила дифференцирования.
Построение дифференциала заданной функции или, что равносильно, нахождение её производной называется операцией дифференцирования функции.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Замечание. При математической равносильности задачи построения дифференциала функции и задачи нахождения производной функции всё же дифференциал и производная не одно и то же, и поэтому, например, во французском математическом языке имеются два термина: derivation - нахождение производной и di erentiation - нахождение дифференциала.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
5.4.1.Дифференцирование и арифметические операции.
Теорема 73. Если функции u : A ! R; v : A ! R дифференцируемы в точке x 2 A \ A0, то их сумма дифференцируема в точке x, причём
(u(x) + v(x))0 = u0(x) + v0(x);
символическая запись
(u + v)0 = u0 + v0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Обозначим f = u + v и
фиксируем произвольную точку x0 2 A:
f(x0; x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(u(x0 + x) + v(x0 |
+ x)) - (u(x0) + v(x0)) |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
u(x0 + x) - u(x0) |
+ |
v(x0 + x) - v(x0) |
(5.10) |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так |
как lim |
u(x |
+ x)-u(x |
) |
|
u0(x0) и |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
= |
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
v(x0+ x)-v(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
|
|
|
= v0(x0), то, в силу тео- |
x 0 |
|
|
|
|
ремы 30, |
из (5.10) следует, что |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
f(x0; x) |
0(x0) + v |
0(x0); |
|
lim |
|
|
|
|
|
= u |
|
|
x |
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть (u + v)0(x0) = u0(x0) + v0(x0):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 74. Если функции u : A ! R; v : A ! R дифференцируемы в точке x 2 A \ A0, то их произведение дифференцируемо в точке x, причём
(u(x) v(x))0 = u0(x) v(x) + u(x) v0(x);
символическая запись
(u v)0 = u0 v + u v0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Обозначим f = u v и фиксируем произвольную точку x0 2 A:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x0; x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
u(x0 + x) v(x0 + x) - u(x0) v(x0) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ x) - v(x0)) |
(5.11) |
(u(x0 + x) - u(x0)) v(x0 + x) + u(x0) (v(x0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
u(x0 + x) - u(x0) |
v(x0 |
+ x) + u(x0) |
v(x0 + x) - v(x0) |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
lim
x!0
Функция v дифференцируема в точке x0, а значит и непрерывна в этой точке [см. теоре-
му 72], то есть |
|
lim |
v(x0 + x) = v(x0): |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
u(x0+ x)-u(x0) |
|
|
Так |
|
как |
x 0 |
|
! |
x |
= u0(x0) |
и |
lim |
|
v(x0+ x)-v(x0) |
|
|
|
0 |
|
|
x! |
|
|
|
|
= v0(x0), то, в силу тео- |
x |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рем 30 и 31, из (5.11) следует, что
f(x0; x) = u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0);x
т.е.(u v)0 (x0) = u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
